來瞧瞧一伙怪名朋友

文/圖 大可

來瞧瞧一伙怪名朋友

文/圖 大可

2016年諾貝爾物理學獎，授給了“在理論上發現了物質的拓撲相變和拓撲相”的科學家。

“拓撲”“相”“相變”“拓撲相”“拓撲相變”……在說些什么呀？!

還說跟我們的生活有關！比如，可以大幅度降低電的損耗、手機不再發燙等等。

看來，得先把這些詞兒搞個明白！

甜甜圈

拓撲

這是一個當時傳得火熱的新聞：諾貝爾獲獎科學家拿出了三個面包，一個沒有洞，類似原味面包，一個有一個洞，類似甜甜圈，一個有兩個洞，這是德國、奧地利等國家的人很喜歡吃的堿水面包。

我們把這三個都稱作“面包”，意思是不管它們形狀怎樣（哪怕是半個）、味道如何，都是一類東西——面包，你肯定同意吧？

可是，拓撲就不這么認為，它說，因為有洞沒洞，洞多洞少，它們仨是不同性質的三類！

比如，體育課代表發給你一個游泳圈，發給你的同桌一個籃球，說：“好了，你們都拿到了運動器材，接下來看你們的表現了！”拓撲學不干了：“憑什么呀，游泳圈、籃球能用‘都’來統稱嗎？游泳圈當中是個空洞，在我們拓撲界里屬于環面空間；籃球是球面空間，不一樣的，好嗎！”

環面與球面

全等

拓撲等價

其實想想很有意思，如果按照拓撲學的眼光來看，我們身邊的很多東西，不是“環面空間”就是“球面空間”：

比如沒有洞的籃球、足球、正方體積木；有一個洞的游泳圈、甜甜圈；有兩個洞的堿水面包、開襟衣服（兩個袖洞）；有三個洞的套頭衫（多了一個套頭洞）……

“拓撲”是希臘語的譯音，意思是“地貌”，本來主要用在研究地形、地貌的學科上。因為研究內容豐富，現在屬于數學中的幾何研究的一個分支。

數學要研究的內容很豐富，“幾何”是數學中的一個重要方面。“幾何”這個詞，是明代大科學家、上海人徐光啟創造的翻譯名詞，而原文的意思，是把希臘語“土地”和“測量”合成起來，叫做“土地的測量”，巧得很，跟拓撲一樣，都是從地形研究開始的。其實，很多高深的科學知識，都是從研究具體事物開始，漸漸總結出理論知識，這叫——從具象到抽象。

幾何，就是研究空間結構性質的。哦，你別以為很高深，你現在學習計算面積、體積，就是研究幾何的開始呀!

我們把一塊積木與另一塊積木疊在一起，如果兩塊完全重合，就說它倆“全等”。在數學課上，如果畫了兩個三角形，把它們剪下來，疊在一起完全重合，那么這兩個圖形叫做“全等形”。

如果對你說：圓柱、長方體、三棱柱是“相等”的，你肯定要嗤之以鼻了吧？

拓撲學卻說：這個可以有！拓撲學研究的是幾何形狀，特別是在連續改變形狀后，還能保持不變的一些性質。

連續變形：經過了扭曲、 拉伸或變形。它的意思是可以伸展、變化，但不能撕裂或者合并。比如，可以把原味面包盡情揉捏、拉伸，但是不能挖個洞，那就不是原味面包，而是甜甜圈了。當然，也不能掰開。

我們來體會一下，拿一根橡皮筋，把它拉成圓形、三角形、長方形、梯形……這叫拓撲變形：不管怎么變，橡皮筋上的任何兩個點都沒有碰在一起，用科學的語言是：沒有把兩個點重合在一起。從拓撲學的角度看，這些圖形都是一樣的“等價圖形”，這叫“拓 撲 等價”。

如果你把橡皮筋一擰，有兩個點重合了，也就是兩個點合并了，就成了一個“8”字，這在拓撲變形中是不允許的，從拓撲學來說，就改變了性質，與圓形、三角形等就不等價了。如果把橡皮筋一擰再擰，它與“8”字形的也不等價了。

如果在連續的變形下不會改變，那么這個屬性就會被稱為拓撲不變量。

了解了對連續性的拓撲定義，對拓撲的“不連續”特征就不難理解了（友情提示：可以想想那三個面包 ），那也是拓撲研究的重要方面。先記住這點，等會兒還會提到哦。

不等價

相

很多物質有“三態”，比如當水嘩嘩流的時候，我們稱它是“液態”；當寒冬降臨，小河里的水結成了冰的時候，我們稱它是“固態”；當水壺的水燒開，飄出水蒸氣的時候，我們稱它為“氣態”。

固態是一種“相”，液態是另一種“相”，氣態也是一種“相”。

相變

如果給固相的冰加熱，它會變成液相的水，這樣的變化就是“相變”。

我們在今年第二期的《4D打印》里講到了水分子：一滴水就是無數水分子組成的。水相變的原因，是因為在不同溫度情況下，水分子的間隔、排列方式會起變化。當分子“士兵”們乖乖地整齊排列的時候，就呈現出冰的模樣；當把冰加熱后，分子“士兵”們雖然還排列著，但不那么整齊了，還都有些自由活動的小動作，呈現出來的就是水的模樣；當加溫的溫度再升高，分子“士兵”們就完全放開手腳地運動起來，呈現出來的就是水蒸氣的模樣。

拓撲相

在高溫或者低溫下，不管水分子“士兵”們多么活躍，呈現出來的液相、氣相還是很有序的相，因為它們的“自由運動”還是遵循規律的。比如，自然凝結的冰，是水分子按照網格排列起來的晶體。

順便說一句，很多固態的物質都是晶體，比如食鹽是立方體，明礬是八面體，石榴石是菱形十二面體等等。

人們曾經認為，很薄很薄的物質，分子的“自由運動”不會遵循規律，意思是不會呈現有序的“相”。但是科學家發現，只要溫度足夠低，它們也可以有有序的“相”。這樣的相，相變特別奇異，被稱為“拓撲相變”。

拓撲相變

科學家這樣描述：一群士兵分別圍繞幾個軍官轉圈。為了一直轉下去，有一群順時針轉圈的A1隊士兵，就要有一群逆時針轉的B1隊士兵，有一群順時針轉圈的A2隊士兵，就要有一群逆時針轉的B2隊士兵……

一開始，A1隊軍官和B1隊軍官配對，A2隊軍官和B2隊軍官配對……

A1隊士兵只補充給B1隊，B1隊士兵只補充給A1隊，A2隊士兵也都只補充給B2隊，B2隊士兵也都只補充給A2隊……

后來A1隊軍官和B1隊軍官、A2隊軍官和B2隊軍官……都分開了，各管各地自由運動，士兵也不再補充給配對的那一方，而是送給所有A、B方，這樣拓撲結構發生了改變，從而產生了拓撲相變。

這個拓撲相變的描述，說的是成對結合到分離的過程，這個過程需要用拓撲的不連續特征來描述，科學家把這個過程稱為“拓撲激發”。

成對結合——A1與B1配對結合、A2與B2配對結合……

分離—分開，各管各自由運動。

科學家發現，在很薄很薄的物質上有很多“旋”，低溫的時候是兩個兩個成對出現，也就是成對結合，溫度一升高，一下子全都分開成一個個的了，玩得可叫那個嗨，完全沒有顧及原來成對中的另一方的意思。

如果你準備泡澡，倒也可以試試這個“拓撲激發”：在浴缸放滿水后先別進去，兩個手在水里分別順時針與逆時針劃圈，當然必須一起劃，出現的是一對對漩渦，這時對水流動沒有任何影響；接著左右手不配合地“自由運動”，對遠處的水流就產生了影響。

拓撲學的用處

我們以前講過“量子”、DNA、計算機、機器人、建筑學等等，都有拓撲學的功勞。比如機器人的手臂要多少個關節、高樓大廈的樣子與周圍場地的關系（是不是又看到了地形、地貌、土地測量的影子了），等等。