六種情境下動量定理解題策略

■河南省洛陽市第二中學 王春旺

六種情境下動量定理解題策略

■河南省洛陽市第二中學 王春旺

動量定理是高中物理的重要規律之一,其內容為物體在一個過程始末的動量的變化量等于它在這個過程中所受力的沖量,表達式為p'-p=I或Δp=Ft。動量定理給出了沖量與動量變化的關系,動量定理表明沖量是使物體動量變化的原因。由動量定理可得F=,即物體所受合外力等于物體動量的變化率,該式是牛頓第二定律的又一種表達式。可以運用動量定理求解的試題通常有以下六種情境。

情境一:日常生活情境

解題策略:解釋與動量定理相關的日常生活現象時,需要從物體的動量變化和作用力、作用時間兩個角度分析。在動量變化相同的情況下,若需要增大作用時間,則可以減小作用力;若需要增大作用力,則可以減小作用時間。

下列對幾種常見物理現象的解釋中,正確的是( )。

A.砸釘子時不用橡皮錘,只是因為橡皮錘太輕

B.跳高時在沙坑里填沙,是為了減小沖量

C.推車時推不動,只是因為推力的沖量為零

D.動量相同的兩個物體受到相同的制動力的作用,兩個物體將同時停下來

解析:砸釘子時不用橡皮錘,一是因為橡皮錘太輕,質量m小,則動量改變量小,二是因為橡皮錘有彈性,使得砸釘子的緩沖時間延長,由動量定理Ft=Δp可知,作用于釘子的作用力F小,選項A錯誤。跳高時在沙坑里填沙,是為了增大力的作用時間,由動量定理Ft=Δp可知,可以減小對人的作用力,而沖量等于動量變化,因此不能減小沖量,選項B錯誤。推車時推不動,是因為車受到的合力為零,合力的沖量為零,但推力不為零,推力的沖量不為零,選項C錯誤。由動量定理可知,動量相同的兩個物體受到相同的制動力,將同時停下來,選項D正確。答案為D。

情境二:與彈性繩或彈簧相關情境

解題策略:輕彈簧、彈性繩中的彈力作用時間比較長,且該力為變力。蹦極運動中采用彈性繩,增大了力的作用時間,減小了彈性繩對人的作用力。

蹦極是一項勇敢者的運動。如圖1所示,某人用彈性橡皮繩拴住身體自高空P處自由下落,在空中感受失重的滋味。若此人的質量m=50kg,橡皮繩的自然長度l0=20m,人可以看成質點,取g=10m/s2。

圖1

(1)此人從P處由靜止下落至運動停止瞬間所用時間t=4s,求彈性橡皮繩對人的平均作用力。

(2)若橡皮繩相當于一根勁度系數k= 100N/m的輕彈簧,且彈簧彈力滿足胡克定律F=kx,x為彈簧的形變量。分析此人從P處下落到什么位置時具有最大速度。

解析:(1)此人自高空P處自由下落,由自由落體運動規律得l0=gt21,解得自由落體運動的時間t1=2s。彈性橡皮繩中有彈力作用的時間t2=t-t1=2s。設彈性橡皮繩對人的平均作用力為F,則由動量定理得mgt-Ft2=0,解得F=1000N。

(2)當彈簧彈力等于重力時,此人的加速度為零,速度最大。由mg=kx,解得x= 5m。所以此人從P處下落到距離跳臺的高度h=l0+x=25m時,速度最大。

情境三:流體情境

解題策略:在動量定理的相關計算中,若物體所受沖力遠大于物體重力,則一般忽略物體重力。在求解與動量定理相關的流體問題時,一般選擇微元,不考慮微元的重力。

(2016年高考全國Ⅰ卷)某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中。為計算方便起見,假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出;玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上水的速度變為零,在水平方向上朝四周均勻散開。忽略空氣阻力,已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g。求:

(1)噴泉單位時間內噴出的水的質量。

(2)玩具在空中懸停時,其底面相對于噴口的高度。

解析:(1)在水剛從噴口噴出一段很短的Δt時間內,可認為噴出的水柱保持速度v0不變。該時間內,噴出水柱的高度Δl= v0Δt,噴出水柱的質量Δm=ρΔV,其中ΔV為水柱體積,滿足ΔV=SΔl,解得噴泉單位時間內噴出的水的質量為=ρv0S。

(2)設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h,由玩具受力平衡得F沖=Mg,其中F沖為水柱對玩具底部的作用力,由牛頓第三定律得F壓=F沖,其中F壓為玩具底部對水柱的作用力,v'為水柱到達玩具底部時的速度,由運動學公式得v'2-v20=-2gh。在很短時間Δt內,沖擊玩具底部水柱的質量Δm=ρv0SΔt。在豎直方向上,對該部分水柱應用動量定理得(F壓+Δmg)Δt=Δmv',因為Δt很小,Δmg也很小,可以忽略,所以F壓Δt=Δmv'。聯立以上各式解得

情境四:人體觸地情境

解題策略:人體觸地情境包括各種情況下的觸地,例如,跳高時通常在地面上鋪海綿墊子,打籃球時穿鞋底具有彈性的籃球鞋,跳遠時需要采用沙坑,體操運動員在著地時屈腿等,這些措施都是為了延長作用時間,減小作用力。在求解與動量定理相關的人體觸地問題時,一般不能忽略重力,可以利用動量定理列方程解答。

據統計,人在運動過程中,腳底在接觸地面瞬間受到的沖擊力是人體自身重力的數倍。為探究這個問題,某實驗小組的同學利用落錘沖擊的方式進行了實驗,即通過一定質量的重物從某一高度自由下落沖擊地面來模擬人體落地時的情況。重物與地面的形變很小,可忽略不計,取g=10m/s2。某次實驗過程中的相關數據如表1。

表1

(1)請你選擇所需數據,通過計算回答下列問題:

a.重物受到地面的最大沖擊力時的加速度大小為多少?

b.在重物與地面接觸的過程中,重物受到的地面施加的平均作用力是重物所受重力的多少倍?

(2)如果人從某一確定高度由靜止豎直跳下,為減小腳底在與地面接觸過程中受到的沖擊力,可采取什么具體措施?請你提供一種可行的方法并說明理由。

解析:(1)a.設重物受到地面的最大沖擊力時加速度的大小為a,由牛頓第二定律得Fmax-mg=ma,解得a=90m/s2。

(2)如果人從某一確定高度由靜止豎直跳下,為減小腳底在與地面接觸過程中受到的沖擊力,由動量定理可知,可采取延長作用時間的方法。具體措施是:鞋底用彈性較好的橡膠、海綿等制作,地面加鋪海綿墊子等。

情境五:板—塊情境

解題策略:對于板—塊模型,涉及時間時,一般運用動量定理列方程解答,涉及位移時,一般運用動能定理列方程解答。

如圖2所示,質量mA=4kg的木板A放在水平面C上,木板與水平面間的動摩擦因數μ=0.24,木板右端放著質量mB=1kg的小物塊B(可視為質點),它們均處于靜止狀態。木板突然受到水平向右的瞬時沖量I=12N·s開始運動,當小物塊滑離木板時,木板的動能Ek=8J,小物塊的動能Ek'=0.5J,取重力加速度g=10m/s2,求:

圖2

(1)瞬時沖量作用結束時木板的速度v0。

(2)木板的長度L。

解析:(1)取水平向右為正方向,由動量定理得I=mAv0,解得v0=3m/s。

(2)設小物塊離開木板時,木板和小物塊的速度分別為vA和vB,由動能定理得解得vA=2m/s,vB=1m/s,Ek0=18J。設木板對小物塊、小物塊對木板、水平面對木板的滑動摩擦力的大小分別為fAB、fBA、fCA,小物塊在木板上滑行的時間為t,則-(fBA+fCA)t=mAvA-mAv0,fABt= mBvB,fAB=fBA,fCA=μ(mA+mB)g,解得fAB=fBA=4N,fCA=12N。設木板、小物塊相對于水平面的位移大小分別為sA和sB,則-(fBA+fCA)sA=Ek-Ek0,fABsB=Ek',解得m。因此木板的長度L=sA-sB=0.5m。

情境六:F-t圖像信息情境

解題策略:作用力(無論恒力還是變力)隨時間變化的圖像(F-t圖像)與橫軸所圍的面積等于力的沖量。在求解F-t圖像問題時,可以先利用F-t圖像計算出作用力的沖量,再利用動量定理列式求出待求量。

質量m=3kg的物體從靜止開始受到如圖3所示的外力F的作用,沿光滑水平面做直線運動,求:

(1)2s末物體的速度。

(2)4s末物體的動量。

圖3

解析:(1)物體從靜止出發,初動量為零,即p0=0。根據F-t圖像與橫軸所圍的面積等于力的沖量可知,在0~2s時間內,力F的沖量由動量定理得I=Δp=p1-p0,解得p1= 9kg·m/s。2s末物體的速度3m/s。

(2)根據F-t圖像與橫軸所圍的面積等于力的沖量可知,在0~4s時間內,力F的沖量由動量定理得I'=Δp'=p2-p0,解得p2= 12kg·m/s。

(責任編輯 張 巧)