一類具有隨機擾動的傳染病SEIR模型穩定性分析

徐 敏, 胡良劍, 丁永生

(1.上海對外經貿大學 商務信息學院, 上海 201620；2.東華大學 a. 理學院; b. 信息科學與技術學院, 上海 201620)

一類具有隨機擾動的傳染病SEIR模型穩定性分析

徐 敏1, 胡良劍2a, 丁永生2b

(1.上海對外經貿大學 商務信息學院, 上海 201620；2.東華大學 a. 理學院; b. 信息科學與技術學院, 上海 201620)

考慮疾病傳播過程中的隨機干擾, 運用隨機人口建模中參數擾動的標準化技術, 建立了一類具有隨機擾動的傳染病SEIR(susceptible-exposed but not infectious-infectious-removed)模型, 證明了模型解的存在唯一性及非負性, 并研究了無病平衡點滿足p階矩指數穩定的條件.研究結果為傳染病預防與控制提供一定的理論依據與決策支持.

隨機擾動; SEIR模型; 無病平衡點;p階矩指數穩定性

1927年, 文獻[1]報道了著名的SIRS(susceptible-infective-removed-susceptible)模型, 用于傳染病傳播過程的建模, 并將人群分成3類, 即易感者(susceptible)、感染者(infective)和移出者(removed).這類模型適用于疾病無潛伏期的情況, 然而, 對大部分傳染病而言,從感染到發病需要一段時間, 因此, 具有潛伏期的傳染病的傳播可以用SEIR(susceptible-exposed but not infectious-infectious-removed)模型建模, 近年來, 有大量學者對傳染病SEIR模型進行研究.文獻[2]研究了一類具有年齡依賴潛伏期和復發的SEIR模型的全局漸近穩定性; 文獻[3]研究了一類具有非線性發病率的SIR(susceptible-infectious-removed)和SEIR模型的動力學行為; 文獻[4]研究了一類具有一般發病率的非自主性SEIRS(susceptible-exposed but not infectious-infectious-removed-susceptible))模型, 得出了疾病滅絕的條件.文獻[5]得到了一類SEIR模型的解析解, 通過仿真對該模型的精確解和解析解進行對比.疾病的傳播一般會受到隨機因素的干擾, 基于此, 文獻[6]建立了一類帶有無限時滯的兩群組的隨機SEIR模型, 得到了其漸近穩定性的條件并進行了仿真.文獻[7]建立了一類帶跳的隨機SEIR模型, 研究了解的漸近穩定性.文獻[8]建立了一類具有獨立隨機擾動的SEIR模型, 證明了其無病平衡點的幾乎必然指數穩定性.文獻[9]研究了一類具有隨機擾動的多群組的SEIR模型.文獻[10]建立了一類帶有隨機擾動的多群組SEIR模型和SIR模型, 并研究了其隨機漸近穩定性.在考慮到疾病的傳播率受到環境因素的干擾下, 文獻[11]建立了一類帶有環境噪聲干擾的隨機SEIR模型, 并證明了其全局漸近穩定性.

本文對文獻[11]中的隨機SEIR模型補充證明了其解的存在唯一性以及非負性, 進一步得到了該模型的平凡解p階矩穩定性的條件, 為具有潛伏期的傳染病預防及控制提供一定的理論依據與決策支持.

1 隨機SEIR模型的生成

不失一般性, 設t時刻總人口數為N(t), 假設不考慮人口的遷移, 令N(t)=N,S(t)表示t時刻未染病但有可能被疾病傳染的人數占總人口數的比例,I(t)表示t時刻已被傳染成病人而且具有傳染力的人數占總人口數的比例.病人在被感染后成為患病者之前有一段病菌潛伏期, 假定在潛伏期內的感染者沒有傳染力, 記t時刻潛伏者人數占總人口數的比例為E(t),R(t)表示t時刻已從染病者康復的人數占總人口數的比例, 并假定病人康復后具有永久免疫力.考慮一類具有常數移民的SEIR傳染病模型:

(1)

假設總人口恒定, 即在疾病流行期間, 考慮人口的出生與自然死亡等變化, 假定出生率(單位時間內出生的人數在總人數中的比例)與死亡率相等, 用b表示,λ表示疾病傳播率, 疾病的平均潛伏期為1/ω,γ表示病人康復后退出系統的移出率.對該確定性的SEIR模型而言, 文獻[12]得出了疾病再生數R0為

(2)

當R0≤1時, 無病平衡點P0(N, 0, 0, 0)全局漸近穩定; 當R0>1時, 無病平衡點P0(N, 0, 0, 0)不穩定.考慮疾病傳播過程中環境因素的干擾, 將環境噪聲引入模型, 考察其解的特性, 利用隨機人口建模中的標準技術, 假設疾病傳播率λ受到環境因素的干擾, 假設噪聲的干擾強度為σ, 用λ+σdωt代替λ, 得到一類隨機SEIR模型如下:

dS((t)=(b-bS(t)-λS(t)I(t))dt-σS(t)I(t)dωt

(3)

dE(t)=(λS(t)I(t)-(ε+b)E(t))dt+

σS(t)I(t)dωt

(4)

dI(t)=(εE-(γ+b)I)dt

(5)

dR(t)=(γI-bR)dt

(6)

ωt是一維納過程(布朗運動), 故滿足

Eωt=0,Dωt=1

2 解的非負性

引理1 如下不等式成立:

u≤2(u+1-log(u))-(4-2log2), ?u>0

證明： 對?u>0定義函數

f(u)=u+2-2log(u)

證明： 根據已知E(t)≥I(t), 則由式(5)得:

于是

音樂作為人們內心世界的隱喻，或者說作為人的內在情感的某種外化，它能夠把人的各種情感形態隱喻地表現出來（王炳社，2013）。但音樂的聽覺隱喻性及其表達方式在國內一直沒有得到學者的重視。戴維斯劃分音樂為悲傷和快樂兩種類型，音樂的“悲傷”等修飾語也屬于情感的隱喻表達。Grey認為音樂隱喻有兩種模式：敘事模式和圖畫式的視覺模式。敘事模式關注敘事方式和結構過程、敘事情境和敘事風格。音樂敘事的目的是使聽者能在較深的層面對音樂意涵有較為理性的感悟。宋瑾（2011）認為音樂的技術術語中也有感覺術語和情感術語，感覺術語如演奏中的“快速”“中弱”等，情感術語如“抒情地”“憂郁地”等等，這些都具有音樂隱喻性。

I(t)≥I(0)·e(ε-(γ+b))t>0 a.s.

同理, 由于I(t)≥R(t), 由式(6)得:

R(t)≥R(0)·e(γ-b))t>0 a.s.

下證對?t≥0,S(t)>0,E(t)>0 a.s.

τk=inf{t∈[0, τe): S(t)?(1/k, k)

orE(t)?(1/k, k)}

V(x)=S(t)+1-logS(t)+E(t)+1-logE(t)

dV(y(t))≤(c1+λE(t))dt+σNdωt

由引理1和V的定義可知,E(t)≤2V(x)-(4-2log2), 于是有

dV(y(t))≤(c2(1+V(x)))dt+σNdωt

于是

EV(y(τk∧t1))≤V(y0)+c2T+

根據Gronwall不等式,EV(y(τk∧T))≤c3,c3=(V(y0)+c2T)ec2T, 對k≥k1, 令P(Ωk≥ε), 則P(Ωk≥ε), 于是

V(y(τk,ω))≥[k+1-log(k)]∧[(1/k)+

1+log(k)],

由Ωk的定義可知c3≥E[1Ωk(ω)V(y(τk,ω))]≥ε([k+1-log(k)]∧[(1/k)+1+log(k)])

令k→∞, 得∞>c3=∞, 矛盾, 于是τ∞=∞ a.s.

3 指數穩定性

筆者已得出模型(3)～(6)的解全局漸近穩定性的條件[11], 更進一步, 這里討論方程(3)～(6)的平凡解的p階矩指數穩定性.不失一般性, 在[0, ∞)上具有初始值x(0)=x0的d維隨機微分方程為:

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dωt

(7)

假定對?t≥t0,f(0,t)=0,g(0,t)=0, 則對應于初始條件x(t0)=0, 方程(7)有解x(t)≡0, 該解稱為平凡解或平衡位置.

定義1[13]若存在一對正數λ和C使得對?t≥0,E|x(t;x0)|p≤C|x0|pe-λt, 則稱式(7)的平凡解是p階矩指數穩定的.

兩邊從0到t積分, 得

則對任何正整數p, 有

同上可得,

其中κ2=λ-b, 根據定義1及已知條件可知, 定理2成立.

4 結 語

[1] KERMACK W O, MCKENDRICK A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[C]//Proceedings of the Royal Society of London. 1927: 700-721.

[2] LIU L L, WANG J L, LIU X N.Global stability of an SEIR epidemic model with age-dependent latency and relapse[J]. Nonlinear Analysis(Real World Applications), 2015, 24: 18-35.

[3] LIU J L, PENG B Y, ZHANG T L.Effect of discretization on dynamical behavior of SEIR and SIR models with nonlinear incidence[J]. Applied Mathematics Letters, 2015, 39: 60-66.

[4] MATEUSA J P, SILVA C M.A non-autonomous SEIRS model with general incidence rate[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 247: 169-189.

[5] WANG X Y, WEI L J, ZHANG J. Dynamical analysis and perturbation solution of an SEIR epidemic model[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 232: 479-486.

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[9] YANG Q S, MAO X R. Extinction and recurrence of multi-group SEIR epidemic models with stochastic perturbations [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2013, 14(3): 1434-1456.

[10] YUAN C J, JIANG D Q, O’REGAN D, et al. Stochastically asymptotically stability of the multi-group SEIR and SIR models with random perturbation [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(6): 2501-2516.

[11] XU M, HU L J.Global asymptotic stability of an SEIR model with random perturbation [J]. Journal of Donghua University (English Edition), 2014, 31(2): 152-154.

[12] LI M Y, GRAEF J R, WANG L, et al. Global dynamics of a SEIR model with varying total population size[J], Mathematical Biosciences, 1999, 160(2): 191-213.

[13] MAO X R.Stochastic differential equations and applications[M]. Chichester: Ellis Horwood, 1997: 206-212.

(責任編輯: 徐惠華)

Stability Analysis of Solution for an Epidemics SEIR Model with Random Perturbation

XUMin1,HULiangjian2a,DINGYongsheng2b

(1.Business Information Management School, Shanghai University of International Business and Economics,Shanghai 201620, China; a. College of Science; b. College of Information Science and Technology,2.Donghua University, Shanghai 201620, China)

Stochasticity is introduced into an epidemics SEIR(susceptible-exposed but not infectious-infectious-removed) model via the technique of parameter perturbation which is standard in stochastic population modeling. The existence and uniqueness are also proved for the solution. The model possessing non-negative solutions established are also proved as desired in any population dynamics. And the condition is obtained for the trivial solution of the model to be p-th moment exponential stable. In this way, theoretical foundation and decision support is provided for epidemics’ prevention and control.

random perturbation; SEIR(susceptible-exposed but not infectious-infectious-removed) model; disease free equilibrium;p-th moment exponential stability

1671-0444 (2017)02-0305-04

2016-02-23

教育部人文社會科學基金資助項目(15YJCZH2010)；上海市教委創新資助項目(14YZ134)；上海市高校085資助項目

徐 敏(1980—)，女，安徽安慶人，副教授，博士，研究方向為隨機模型、管理決策和風險管理.E-mail: xumin@suibe.edu.cn

X 43; O 141.4

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