“板塊疊加”模型的思維誤區與思路引導

摘 要：“板塊疊加模型”具有很強的綜合性和技巧性；對模型中臨界力的求解，常常會出現諸多的思維誤區；把握物體由“靜”到“動”的臨界條件，可以采取不同的解決思路：外力增大“三步法”、加速度“比較法”、運動“被動法”、按質“分配法”、參考系“變換法”；多角度思考有助于掌握模型的本質特點.

關鍵詞：板塊疊加；物理模型；思維誤區；思路引導

作者簡介：劉二虎（1986-），男，中學一級教師，碩士研究生學歷，從事高中物理教學工作.

“板塊疊加”是應用牛頓第二定律解決問題中最經典的模型之一，題型靈活多樣，具有很強的綜合性和技巧性，成為近幾年各地模考和高考的熱點.“板塊疊加”模型本身并不復雜，但學生處理起來往往感到十分困惑，容易出現思維誤區，在實際考試中的得分率并不理想.實際上，抓住由“靜”到“動”的臨界條件，解決這類問題的思路可以靈活多樣.

1 典型例題

例題 在水平地面上靜止放置一足夠長的木板N，將一物塊M放在長木板上，在長木板的右端加一水平向右的拉力F，拉力的大小由零逐漸增大.已知物塊的質量2m、長木板的質量m，物塊與長木板間的動摩擦因數μ，長木板與水平面間的動摩擦因數為0.5μ，且滿足最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，

重力加速度用g表示，則

A.如果外力F<2μmg，則物塊與長木板靜止在水平面上不動

B.如果外力F=2.5μmg，則物塊的加速度大小為13μg

C.如果外力F>3.5μmg，則物塊與長木板之間有相對運動

D.在逐漸增大外力F的過程中，物塊加速度的最大值大于μg

分析 這是一道典型的“板塊疊加”模型問題.題中對木板施加逐漸增大的外力，物塊和木板的運動狀態隨著外力的增加而改變.起初，物塊和木板相對地面靜止，當外力克服地面的摩擦力時，二者一起加速，外力再增大達到一定程度，物塊和木板會發生相對運動.解決問題的重點在于求解物塊和木板發生相對運動時臨界外力的大小.

2 常見的思維誤區

物塊和木板的上下疊加，看似簡單，但涉及到兩個物體運動狀態的分析，要求學生有較強的過程分析能力，實際在處理問題時容易產生諸多思維誤區.

2.1 錯判運動狀態

這類誤區主要是認為物塊和木板始終一起向右加速.實際上地面滑動摩擦力大小為1.5μmg，當外力小于1.5μmg時，物塊和木塊始終相對地面保持靜止；當外力大于地面的滑動摩擦力時，物塊和木板才會一起向右加速.

2.2 忽略“板塊”分離時的加速度

在物塊和木板發生相對運動時，容易產生的誤區是認為外力只要克服木板-地面、物塊-木板兩個摩擦力即可，認為外力F>3.5μmg就會發生相對運動；沒有意識到在發生相對運動時，物塊和木板實際都是有加速度的，并不是相對地面保持靜止.

2.3 受力分析時摩擦力判斷混亂

在受力分析時，主要難點在于木板-地面、物塊-木板兩個摩擦力的判斷.這里的誤區主要有兩個：一是認為木板-地面、物塊-木板兩個摩擦力是同時產生的，二是判斷兩個摩擦力是靜摩擦力還是滑動摩擦力比較混亂.由于外力是施加在木板上，兩個摩擦力的產生也是有先后順序：外力小于1.5μmg時，系統相對地面靜止，木板-地面間先產生靜摩擦力，物塊-木板間沒有摩擦力；當物塊和木板一起向右加速時，木板-地面間變成滑動摩擦力，物塊-木板開始有靜摩擦力；物塊-木板間的靜摩擦力隨著外力的增大而增大，并由此來判斷相對運動的臨界條件.

思維誤區的產生，本質上是對這類模型解決思路不明確，沒有把握好“疊加體”運動狀態的變化過程.把握好兩個接觸面的摩擦力以及物塊和木板之間相對運動的條件，求解出兩個外力臨界值：一起向右加速克服地面摩擦力時的臨界力1.5μmg；物塊和木板發生相對運動時的臨界力4.5μmg，由此，問題迎刃而解.

3 模型的解決思路

對“板塊疊加”模型，首先要做好物塊和木板運動情況的分析，特別是隨著外力的增大時二者的運動情況的變化，抓住系統由“靜”到“動”的臨界條件，求出發生相對運動時臨界外力的大小，是解決問題的關鍵.這類模型具有很強的技巧性，實際處理起來時，可以不同的思路.

3.1 外力增大“三步法”

分析運動過程可知，物塊和木板的運動隨著外力的增加而發生改變.當外力F<1.5μmg時系統相對地面靜止，繼續增大外力，二者一起加速，此時彼此之間依靠靜摩擦力相互連接.隨著外力增加，加速度相應增大，靜摩擦力達到最大靜摩擦力這一臨界條件時，外力增加到第二個臨界值.對于這個臨界力的求解可以依據外力增大“三步法”的思路：

第一步“整體”，當F比較小時二者一起加速，設加速度大小為a，有

F-0.5μ（2m+m）g=（M+m）a（1）

第二步“隔離”，分析物塊的受力，此時物塊和木板間的靜摩擦力f滿足：

f=2ma（2）

第三步“判斷”，依據臨界條件判斷即當M的摩擦力達到最大靜摩擦力時達到臨界條件，若外力繼續增大，物塊和木板發生相對運動時，彼此之間的靜摩擦力達到最大，有

f=2μmg（3）

由（2）、（3）式得出發生相對運動時臨界加速度a=μg，代入（1）式可求出臨界力F=4.5μmg，從而進行判斷.

依照“整體”、“隔離”、“判斷”三步推進，讓解決問題的思路簡潔清晰，能輕松的求解出臨界力，且方法易于掌握.

3.2 加速度“比較法”

從運動的角度來看，發生相對運動時二者的加速度大小不一樣.考慮到外力施加在木板上，當木板加速度大于物塊所能達到的最大加速時，二者發生相對運動.

設物塊的加速度為a1，木板加速度為a2，物塊與木板間的摩擦力為f，對木板f=2ma1，對木板F-0.5μ（2m+m）g-f=ma2，發生相對運動時，物塊與木板之間的摩擦力突變為滑動摩擦力，f=2μmg，此時a1=μg，且滿足，a2>a1，可求出外力F>4.5μmg，即臨界力為4.5μmg.

加速度“比較法”依據發生相對運動的運動條件來分析，易于理解和接受，是處理“板塊疊加”模型很好的思路.

3.3 運動“被動法”

在運動過程中，由于外力是直接施加在木板上面，可以認為木板是受外力的作用“主動”運動，而物塊是由于二者之間的靜摩擦力帶動運動，處于“被動”狀態.二者一起加速，加速度相同，但作為“被動”運動的物塊，所能承受的最大加速度是有限的.

當物塊的加速度最大時，此時的加速度是二者一起加速的最大加速度，彼此間的靜摩擦力達到最大靜摩擦力.

整個過程中，“被動”運動的物塊最大靜摩擦力f=2μmg，此時系統一起加速的最大加速度為am=μg，若F-0.5μ（2m+m）g>（2m+m）am，物塊和木板發生相對運動，可求出力F>4.5μmg，即臨界力為4.5μmg.

運動的“被動”分析法對思維的要求相對較高，需要對運動過程有清晰的認知.

3.4 按質“分配法”

對于“連接體”問題，系統受到的外力可以等效的分配到各個物體上，每個物體受到的“等效合力”按質量的比例來分配[1].當物塊和木板一起向右加速時，二者相對靜止，系統總外力F合=F-0.5μ（2m+m）g，此時物塊的“等效合力”為mm+2mF合； 一起加速時，物塊的 “等效合力” 和實際受到的合力相等，即mm+2mF合=f，物塊和木板分離的瞬間f=2μmg，可求出力F=4.5μmg，即臨界力為4.5μmg.

對于連接體，系統其受到合外力按質量分配到各個物體上，這一原理簡單實用.用按質“分配法”的思路處理“板塊疊加”問題時，首先要理解好“等效合外力”的思想.

3.5 參考系“變換法”

參考系“變換法”是用相對運動的思想來處理問題，將物塊運動的參考系從地面變換到木板上.

以地面為參考系，若木板的加速度大小為a，物塊和木板間的摩擦力大小為f，對木板：F-0.5μ（2m+m）g-f=ma.

以木板為參考系，物塊相對木板，需要考慮物塊受到兩個力的作用：一個是物塊和木板彼此間的摩擦力f，另一個是加速參考系帶來的“慣性力”2ma.一起加速時，物塊相對木板是靜止的，要實現這一“平衡”只要2ma=f.

當發生相對運動時，考慮到外力施加在木板上，物塊相對木板向“后”運動，則2ma>f，且f=2μmg， 可求出力F>4.5μmg，即臨界力為4.5μmg.

參考系“變換法”實際是選擇“非慣性”參考系來研究問題，難點在于 “慣性力”的理解和把握.

參考文獻：

[1]王益華.如何解決有外力作用的“疊加體”問題[J].物理教師，2015，04：59-60.

[2]陳玉生.“板-塊”疊加體的幾種典型模型[J].中學物理教學參考，2015，11：44-47.