斜面上最大靜摩擦力約束的動態平衡典例分析

摘 要：最大靜摩擦力和滑動摩擦力類似，與正壓力成正比.斜面上的物體對斜面的正壓力隨斜面傾角的緩慢增大而減小，隨之物體受到的最大靜摩擦力隨斜面傾角的緩慢增大而減小，物體的下滑力隨之逐漸增大，當tanθ>μ時，物體沿斜面下滑，一旦在其他外力作用下物體緩慢下滑，保持動態平衡，似靜似動，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.

關鍵詞：最大靜摩擦因數；動摩擦因數；動態平衡；正弦函數曲線

作者簡介：李文科（1986-），男，甘肅會寧人，大學本科學歷.一級教師，主要研究教學難點突破.

本文以一道處于原長的彈簧振子處在水平木板向上，隨木板逆時針緩慢旋轉，滑塊（振子）隨木板逆時針緩慢旋轉，相對木板靜止，所受靜摩擦力達到最大靜摩擦力后，滑塊開始向下緩慢滑動壓縮彈簧，在最大靜摩擦力等于滑動摩擦力的前提下，滑塊似動非動，處于動態平衡中.分析緩慢旋轉的動態過程中彈簧彈力與最大靜摩擦力的關系，即彈簧彈力與木板傾角的關系，可以得到彈力與傾角的關系圖線.

例題 如圖1所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質彈簧.緊貼彈簧放置一質量為m的滑塊，此時彈簧處于自然長度.已知滑塊與板間的動摩擦因數為θ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.現將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為θ，最后直至板豎直，此過程中彈簧彈力的大小F隨夾角θ的變化關系可能是如圖2所示選項中的解析 首先分析圖3.滑動摩擦力Fμ約束的水平彈簧振子，向右運動的平衡位置為O1點，向左運動的平衡位置為O2點，振子做阻尼振動，滑動摩擦力做功機械能轉化為內能，最終靜止在兩平衡位置O1O2之間某處，而受到靜摩擦力（彈簧原長處O點除外）與彈簧彈力是一對平衡力.受此啟示，分析上述題目涉及的摩擦力.

此題目的物理情境與上述彈簧振子受到的靜摩擦力類似，只不過水平面上的振動變成了斜面上的緩慢移動.處在斜面上的滑塊是否滑動與斜面的傾角θ直接有關，分別是：（1）μ≤tanθ時，滑塊滑動受滑動摩擦力作用；（2）μ>tanθ時，滑塊最終靜止受靜摩擦力作用；（3）最大靜摩擦力Fmax=μsFN（μs為最大靜摩擦因數）.滑塊是否滑動的臨界傾角θ0，由μ=tanθ0知θ0=arctan3

3=π6.可見木板從水平位置逆時針開始旋轉，傾角在π6之前，滑塊相對木板靜止，彈簧處于原長，彈力F1=0；傾角超過π6之后，滑塊相對木板滑動，下面著重分析木板傾角θ>π6時，滑塊開始下滑的情況.

木板逆時針緩慢旋轉超過π6時，滑塊沿木板斜面緩慢向下滑動，壓縮彈簧，隨著木板緩慢旋轉，滑塊似靜似動，緩慢下滑，為一動態平衡過程，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力.自始至終滑塊受到向上的最大靜摩擦力Fmax=μsFN，又正壓力FN=mgcosθ，即Fmax=μsmgcosθ.繼續旋轉木板，滑塊又下滑，再一次相對靜止的時候，向下的下滑力mgsinθ與向上的彈力F2和最大靜摩擦力Fmax三力平衡.根據題目條件最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，動摩擦因數與最大靜摩擦因數相等μ=μs，即mgsinθ=F2+μmgcosθ，彈力F2=mgsinθ-μmgcosθ=mg1+μ2sin（θ-θ2），可見彈簧彈力與傾角的關系是正弦型曲線，振幅為mg1+μ2，橫軸上的截距為π6，所以選項C正確.

析評 斜面上物體下滑，在最大靜摩擦力等于滑動摩擦力的前提下，即最大靜摩擦因數等于動摩擦因數時，物體在外力作用下緩慢向下滑動，一旦相對靜止，受到的靜摩擦力就是最大靜摩擦力，這是解決問題的關鍵所在.