一種基于FFT的快速高精度的頻偏估計算法

蔡 青，陳海騰，徐 勇

（南京熊貓漢達科技有限公司，南京 210014）

一種基于FFT的快速高精度的頻偏估計算法

蔡 青，陳海騰，徐 勇

（南京熊貓漢達科技有限公司，南京 210014）

在衛星通信系統中，低速率信號的傳輸和接收端的低信噪比會導致很大的頻率偏移。針對這一問題，本文提出了一種基于快速傅里葉變換（FFT）的三譜線內插算法。

快速傅里葉變換FFT；頻率估計；Quinn算法；Rife算法；克拉美-羅限

1 引言

由于衛星通信設備需要適應多種復雜度不同的通信環境，因此針對處于噪聲污染環境中的接收端設備而言，快速獲得高精度的頻率參數估計便顯得尤為重要。在衛星通信過程中，為了修正移動載體和衛星之間的相對運動而產生的多普勒頻移，衛星通信設備通常采用載波同步技術對該頻差予以補償。基于鎖相環跟蹤的傳統載波同步算法因收斂速率慢，捕獲時間長，并且頻偏估計精度容易受到信噪比的影響，其性能受到一定的限制[1]。近年來，基于FFT的載波頻率估計插值算法，因其速度快、精度高、計算量小等優點，在深海探測、雷達、振動工程等領域也得到廣泛的應用。

國內外學者對頻域估計算法的研究提出了很多方法。例如：最大似然估計（Maximum Likelihood Estimation，ML）算法，當用ML算法對高斯白噪聲估計載波信號頻率，估計誤差可以達到CRLB。因此，ML算法是一種最優估計，但其缺陷是信號搜索需非常大的計算量和時間；另一種算法則是將信號幅度譜的兩根最大譜線進行插值估計頻率的方法（Rife算法），其缺陷是當接近量化頻點時估計誤差相當大，而改進后的Rife算法仍然需要龐大的計算量；第三種是Quinn算法，即利用信號FFT主瓣內幅度次大譜線與最大譜線的FFT系數復數值之比的實部進行插值，其缺點是低信噪比條件下，當信號頻率靠近DFT的量化頻率時，估計誤差較大。

上述算法都有各自優缺點，不能同時在獲得高穩定性、高精度的同時兼具較低計算量，在實際應用場景中，通常需要快速的獲得更高的精度。本文提出利用FFT的復數結果，將最大峰值頻譜和相鄰兩側一個量化頻點的譜線進行插值算法，在僅比Rife和Quinn算法計算增量不多的情況下，獲得更高的估計準確性和穩定性。

2 Triple_IN算法的原理

假設該檢測信號為單頻率的復正弦信號x(t)=A*exp[j(2πf0+θ) ]+z(t)，式中信號的振幅、頻率和初始相位值分別為A、f0和θ。z(t)表示均值為零、方差為2σ2的高斯白噪聲。若采樣時長T=N?fs，頻譜分辨率是?f=1?T，其中fs是采樣頻率，N是待采樣點數。采樣序列為

而δ為信號真實頻率與頻率粗估計值得差值相對?f的倍數即估計誤差精度，該值在[-0.5,0.5]的范圍內。根據的最大幅度頻譜的|X(k) |所對應頻率索引m'，殘余頻偏δ，則估計位置m0=m'+δ，所以實際估值頻率為

現利用幅度譜S(k)=|X(k) |進行多項式頻率插值以提高估計頻率的精度，設二次多項式S(k)=Ak2+Bk+C近似于幅度譜的值，則k0及相鄰量化頻點位置為(k0-1,S(k0-1))，(k0,S(k0))， (k0+1,S(k0+1))，即得

此處要求估計位置m'必須在[1,N?2]范圍內，估計精度范圍δ∈[-0.5,0.5]。該算法的均方根誤差（RMSE）在-5dB信噪比條件下達到CRLB的漸近線（Asymototic CRLB，ACRB）的1.1812倍，具備非常高的準確性和穩定性。

3 算法的仿真和性能分析

為了準確和可靠的評估各載波頻率估計算法的性能，以高斯白噪聲下的估計范圍內，不同條件下的MATLAB中進行算法建模，每次進行10萬次的蒙特卡洛仿真。根據公式（1）的載波信號，輸入信噪比SNR=A2/2σ2，設置參數：初始相位θ設為固定π?3，fs為5e3赫茲，N值為1024，且設定初始頻率f0=((212+δ)*fs) ?N，δ為[-0.5,0.5]內步進為0.025的共41個離散頻率值。當N》1時，頻率無偏估計值的最低方差下限CRLB可以近似為ACRB為

本文根據頻率估值歸一化頻率的R MSE與RMSE{ACRB}的對比來衡量綜合算法估計值的精確性。

3.1 估計性能分析

Triple_IN算法的應用必須符合奈奎斯特采樣定理，即2f0≤fs。假設采樣頻率fs=1?T，則頻率估計范圍即f0≤|fs?2|。如圖1可知，在δ的變化范圍內，SNR在{-8dB，-5dB，0dB，5dB}條件下反映本算法歸一化頻率估計性能的穩定性。

如圖1所示，在殘余頻偏δ的變化范圍內，估值性能趨于穩定，而伴隨信噪比的陡降，當SNR=-8dB時，在0.45≤|δ|≤0.5時仍逼近ACRB的1.2898倍，說明其穩定性不受信噪比影響。在[-10dB, 10dB]范圍內，|δ|取{0，0.05，0.15，0.25，0.35，0.45}條件下，進一步觀察該算法可靠性。

如圖2所示，隨著信噪比的增大，估值頻率的RMSE越趨于ACRB曲線，而隨著信噪比的降低，|δ|越大越偏離ACRB。但即使在信噪比低于-5dB時，|δ|越大性能有較大的差異性，所以-5dB是該算法的門限。所以，在一定信噪比下，本算法性能在噪聲干擾下敏感度低。

3.2 與經典算法的估計性能比較

首先，將Triple_IN算法跟經典Quinn、Rife算法在SNR{-8dB，5dB}條件下與ACRB進行估計性能比較。從圖3與圖4的仿真結果，可以發現在0≤|δ|≤0.25時，Rife算法性能差距大，而Triple_IN算法在此時卻可以逼近ACRB，但在0.25≤|δ|≤0.5時逐漸偏離理論曲線；Quinn正好與Triple_IN算法相反，在偏離量化頻點時精度越高。同時，相對經典算法可以看出本算法在信噪比變化下的曲線相對平穩，而其他經典算法曲線抖動變化大即相對可靠性較低。

圖1 Triple_IN算法|δ|在[0, 0.5]內各信噪比下的RMSE

圖2 SNR在一定范圍內各殘余頻偏δ下的RMSE

圖3 Triple_IN與各經典算法在5dB下的RMSE比較

圖4 Triple_IN與各經典算法在-8dB下的RMSE比較

圖5 SNR在[-10, 5]dB范圍內殘余頻偏δ下各經典算法的比較

在|δ|=0.15和0.45的條件下進一步比較三者性能，仿真如圖5所示。發現Rife算法對噪聲最為敏感，Quinn算法接近量化頻點時在噪聲影響下曲線有明顯變化，兩者的性能在信噪比門限下都不如Triple_IN算法可靠性高。

4 計算量比較

如表1所示，Rife算法運算量小，但是算法本身的缺陷也較為明顯。相比于Quinn算法，本算法少1次復數乘法運算，計算量小很多。雖然Quinn精度上略高于該算法，但在低信噪比的性能的穩定性和0≤|δ|≤0.25的估計準確性Triple_IN算法具有更高的表現。

5 結束語

本文通過研究經典頻率估計插值算法的性能，提出了一種穩定度和精度較高、計算量較小的Triple_IN算法。頻率的估計精度與信噪比及待觀測時長有關，通過仿真結果分析，該算法在同等的低信噪比條件下，估計精度要遠高于Rife算法，略低于Quinn算法。從估值效果即穩定性上該算法具有顯著優勢，其估值曲線不隨|δ|和SNR值的變化而明顯變化。運算量較Quinn算法節約一個復數乘法器，在FPGA工程實現過程中降低了復雜度，提高了計算精度。本算法已成功應用于實際研發項目且收效良好，故具備一定的推廣應用價值。

表1 各經典算法計算量大小的比較

[1] 譚曉衡，張毛．一種高精度的改進FFT頻偏估計算法[J]．重慶理工大學學報（自然科學版），2010.7, 24(7): 72-75

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[3] Rife D C and Boorstyn R R, Multiple tone parameter estimation from discrete-time obser-vations[J], Bell Syst Tech J, 1976, 55(9): 1389–1410.

[4] Rife D C and Vincent G A. Use of the Discrete Fourier Transform in the measurement of Frequencies and Levels of tones[J]. Bell Syst Tech, 1978, 52(2):1285-1290.

[5] Quinn B G. Estimation of frequency, amplitude and phase from the DFT of a time series [J]. IEEE Trans. on SP. 1997, 45(3): 814-817.

[6] Quinn B G. Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients [J]. IEEE Trans-SP, 1994, 42(5): 1264-1268.

[7] 王旭東，劉渝，鄧振淼．基于修正Rife算法的正弦波頻率估計及FPGA實現[J]．系統工程與電子技術，2008. 30(4): 621-624

[8] 鄧振淼，劉渝，王志忠．正弦波頻率估計的修正Rife算法[J] ．數據采集與處理，2006, 21(4): 473–447

Ixia斬獲Cloud China 2017云帆獎 “云計算優秀解決方案”

2016年5月12日，行業知名的網絡測試、可視性和安全解決方案提供商Ixia宣布，在工業和信息化部主辦的第五屆中國國際云計算技術和應用展覽會暨論壇（Cloud China 2017）中，憑借其業界領先的創新性產品 CloudLens?平臺獲得專家評審團與大眾認可，斬獲云帆獎年度“云計算優秀解決方案”。

云帆獎創立于2015年，由工業和信息化部國際經濟技術合作中心設立，過去兩年中，該獎項致力于表彰和推動中國云計算產業的創新發展與進步，為普及云計算建設應用起到了積極的引領作用。

當前，云計算技術發展迅猛，各企業對云計算的應用需求也與日俱增。 雖然云部署有諸多好處，但是訪問和監測虛擬流量卻充滿挑戰。 若無法對虛擬流量進行精細操作，將導致網絡中出現盲點，影響應用性能或安全性。

Ixia 提供的可跨越所有云環境（公共云、私有云和混合云）的CloudLens? 平臺，通過采用情景感知和威脅情報結合的安全架構，以擴展虛擬探針和數據過濾來滿足云客戶期望的彈性需求，為用戶帶來前所未有的可視性。

Ixia中國區總經理張煒表示：“我們十分榮幸此次能夠在Cloud China 2017云帆獎的評選中贏得年度‘云計算優秀解決方案’獎項， 這無疑是Ixia在中國市場展現技術實力的又一力證！”

An Faster and High Accurate Frequency Offset Estimator Based on FFT

Cai Qing, Chen Haiteng, Xu Yong
（Nanjing Panda Handa Technology Co., LTD., Nanjing, 210014）

A low rate of signal in the satellite communication system and a low signal to noise ratio (SNR) at the receiving side results in a normalized large frequency offset. To solve this problem, this paper proposed a interpolation algorithm of the Triple spectral lines based on Faster Fourier Transform by comparing the computational complexity.

Faster Fourier Transform; Frequency Estimation; Quinn Algorithm; Rife Algorithm; Cramer-Rao Lower Bound

10.3969/J.ISSN.1672-7274.2017.05.004

TN92

A文章編碼：1672-7274（2017）05-0011-04

蔡 青，碩士，南京熊貓漢達科技有限公司高級工程師。

陳海騰，碩士，南京熊貓漢達科技有限公司工程師。

徐 勇，碩士，南京熊貓漢達科技有限公司工程師。