函數單調性的應用

陳威

【摘 要】函數的單調性是函數的一條重要性質，本文主要討論了函數的單調性在中學數學解題中的應用。

【關鍵詞】函數；單調性；判斷方法

函數的單調性是函數的重要性質之一，是今后研究具體函數單調性的理論基礎，在比較大小、解決函數圖象、值域、最值以及證券市場分析、財務管理等專業課中均有廣泛應用。通過對函數單調性的研究可以讓大家對知識結構不斷充實、完善的過程，而且可進一步加深對函數本質的認識，起到承上啟下的作用。

單調性在中學數學解題中的應用：

單調性是函數的一個基本性質，該性質有廣泛的應用，主要用于如下幾個方面：

一、比較兩個數的大小

例1：比較log2（x+1）和log2（2x+3）的大小

分析：從題設的兩個對數，便聯想起y=log2u在（0，+∞）上是單調增函數，因此，只要比較兩個真數的大小，原題就可獲解

解 ，解得x>-1當x>-1時，有0

二、證明不等式

在證明不等式中，通過聯想構造函數，將常量作為變量的瞬時狀態，置于構造函數的單調區間內，利用其單調性證明一些不等式，十分便捷。

例2：（福建） 已知f（x）為R上的減函數，則滿足的實數x的取值范圍（ ）

A（-1，1） B （0，1）

C （-1，0）∪（0，1） D （-∞，1）∪（1，∞）

解析：借助單調性將不等式轉換為自變量應滿足的關系式.很容易可以做出選C.

三、求參數的取值范圍

例3：已知f（x）是奇函數，在實數集R上又是單調遞減函數，且時，求t的取值范圍。

分析：因已知函數f（x）是奇函數將已知不等式移項后可得

根據f（x）是減函數脫去f，然后由式子特征構造相應單調函數。

解 <

設x=sinθ，0

x2-3tx<-1 解得 t>

四、利用函數單調性求函數的值域或最值

例4：若，求函數的值域。

解析 設，則

=

∵，

∴f（x1）-f（x2）<0即f（x1）

∴

f（x）值域為

綜上所述，用函數單詞性解題的關鍵是通過觀察、分析、聯想，構造一個適當的函數，若構造的這個函數的單調性不明顯，則需證明它具有單調性，然后根據函數的單調性去求解或證明。