例談函數(shù)的單調性在高考中的應用

王霞

函數(shù)的單調性一直以來都是高考的熱點問題之一，但是，最近幾年，對函數(shù)單調性的考查有所變化.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題已逐漸凸顯出來.對函數(shù)單調性定義的考查多以選擇題的形式出現(xiàn)。

例1（01年全國高考）在區(qū)間（-1，0）內的函數(shù)f（x）=log2a（x+1）滿足f（x）>0，則a的取值范圍是？下面舉例說明：

分析：由x的取值范圍求出對數(shù)的范圍，再根據(jù)對數(shù)的符號，判斷出底數(shù)的范圍，列出不等式進行求參數(shù)的范圍。

答案：當x∈（-1，0）時，則x+1∈（0，1），因為函數(shù)，f（x）=log2a（x+1）>0，

故有0<2a<1，即0

函數(shù)的單調性的定義可分為三個部分：

（1）自變量x1和x2的大小關系；（2）函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大下關系；（3）函數(shù)y=f（x）的單調性。

三者可以形成三個真命題：（1）（2）?（3）；（1）（3）?（2）；（2）（3）?（1）。

例1是以（1）（2）?（3）的結構形式出現(xiàn)的，例2是以（2）（3）?（1）的結構形式出現(xiàn)的。以上兩個題目都是對單調性的定義進行考查的。可以形象地這樣說：給自變量x1和x2“穿上”函數(shù)的外衣，得到函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小關系；反之，將函數(shù)值f（x1）和f（x2）“脫掉”函數(shù)的外衣后，得到自變量x1和x2的大小關系。因此，要想準確的“穿上”或“脫掉”函數(shù)的外衣，必須對基本函數(shù)的單調性具備條件非常熟悉。

顯然，以上兩題均以選擇題的形式出現(xiàn)的。其實，在對函數(shù)單調性的考查中，解答題也是屢見不鮮的。

（2）由（1）可知a=1

下面用單調性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)任取兩個實數(shù)x1，x2∈（0，+∞）且x1

用定義證明函數(shù)的單調性的步驟如下：

取值→作差（變形）→判斷符號→得出結論對差式的變形，通常用到的方法有：通分，提取公因式，因式分解。有時也會用到分子有理化或分母有理化等等。差式變形的徹不徹底直接影響到符號的判斷。一般情況下，把差式變形為積的形式，基本上算徹底了。

對差式進行判斷符號時，要證明或說明每個因式與會零的大小關系。若含有參數(shù)，則必須對其分類討論，而不能置之不理。

得出結論時，前后要呼應，由x1與x2和f（x1）與f（x2）的大小關系共同決定。即若x1與x2和f（x1）與f（x2）的大小關系一致，則函數(shù)為增函數(shù)；若x1與x2和f（x1）與f（x2）的大小關系不一致，則函數(shù)為減函數(shù)。

如果例3（2）利用導數(shù)證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，將會使問題變得簡單多了。下面用導數(shù)證明之：

如果說例3我們還可以選擇別的方法，那么，下面的例子選擇方法的方向就更明確了。

例4（2012年全國高考）設函數(shù)f（x）=ex-ax-2。（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間。

解析：∵f（x）=ex-ax-2∴f?（x）= ex-a

若a≤0，則f?（x）= ex-a>0恒成立，∴函數(shù)f（x）=ex-ax-2在R上為增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=ex-ax-2增區(qū)間為R。

若若a>0，則f?（x）= ex-a>0即ex>a，x>lna時，函數(shù)f（x）=ex-ax-2為增函數(shù)；當f?（x）= ex-a<0即ex

要想利用導數(shù)解決單調性問題，首先，對基本函數(shù)的導數(shù)公式要熟記，如：

以及

其次，要掌握函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負的關系在區(qū)間（a，b）內如下：

通過以上例題，我們不難看出，隨著高考改革的逐步深入和新教材的不斷更新，利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題逐漸成為高考的熱點之一，在總復習時，應成為重點復習對象，進一步適應高考試題的方向要求上來。

參考文獻：

[1]中學教學教與學（2002年第1期）.