對“乘法分配律”的教學研究

張濤興

一、問題

乘法分配律在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中叫做乘法對加法的分配律。關于乘法分配律的“分配”的理解，我們認為，分配應不作為一個完整的詞而將其分開為“分”與“配”，“分”即為分開，“配”即為結合。這樣理解容易把握其含義。

與其他運算律相比，乘法分配律是運算定律教學中的難點。一是它涉及兩種運算，既有加法，又有乘法，學生初學時對其特征較難把握，對一些相似的式子如a×b+a+c，a+b×a+c等常會誤套用。二是它有兩個表達式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×（b+c）=a×b+a×c。在表述上需要將“兩個數的和乘一個數”與“一個數乘兩個數的和”概括為“兩個數的和與一個數相乘”，增加了概括的難度。三是文字表述涉及較多的概念。如“兩個數的和”、“分別相乘”，學生難于獨立完成抽象概括。

二、教前思考

（一）目標與任務分析

課標關于這部分內容的要求為“探索和了解運算定律，能運用運算定律進行一些簡便運算”。人教版《教師教學用書》關于本節課教學目標為“探索和理解乘法分配律，能運用運算定律進行一些簡便運算”。“探索乘法分配律”即要求學生參與特定的數學活動，發現乘法分配律。“理解乘法分配律”即能描述乘法分配律的特征和由來，闡述乘法分配律與其他運算律的聯系與區別。為此，在教學中應完成以下相應的任務：（1）探索乘法分配律。包括以下方面：從實際問題的中發現有關例證，即解決有些問題可以用形如（a+b）×c的算式來算，也可以用形如a×c+b×c的算式來算。在此基礎上提出猜想：（a+b）×c=a×c+b×c；驗證猜想。通過若干具體算式計算或說理驗證（a+b）×c與a×c+b×c相等；引導學生用文字進行歸納，并嘗試用字母或其它符號表示。（2）理解乘法分配律。從理解結構特點入手，進行形式化練習，把握乘法分配律的內涵。（3）應用運算定律進行簡便計算。

（二）設計思考

1.設計策略

一是重視利用乘法的意義理解乘法的分配律。注重通過圖示而不是通過計算判斷算式的結果是否相等。二是通過較為充分的例證，特別是要讓學生能否提供反例。從中讓學生感受用不完全歸納法得出結論時要注意的問題。

2.設計思路

根據以上認識，本課關于學習目標、學習任務、學習活動與方式的設計如下：

三、教學實踐

【活動一】創設情境，體會“乘法分配律”在生活中的意義。

（投影出示植樹活動情景圖）

師：你能解決下面3個問題嗎？

投影出示：

問題1：負責挖坑、種樹的一共有多少人？

問題2：負責抬水、澆樹的一共有多少人？

問題3：一共有多少名同學參加了這次植樹活動？

學生解答完后，讓學生說說問題3的思路。

生1：根據先算出每個小組人數，在算總人數，列式得：（4+2）×25。

生2：根據先分別計算干不同活的學生人數，再算總人數，列式得：4×25+2×25。

師：比較（4+2）×25和4×25+2×25有什么關系？

生：相等。

師：你是怎么知道的？

生：結果相等。

師：不計算，你能很快地知道它們相等嗎？

生：（4+2）×25表示（4+2）個25，4×25+2×25表示4個25加2個25，它們都表示6個25，所以相等。

【活動二】舉例，理解“乘法分配律”的本質。

師：你能舉出像這樣的例子嗎？

生1：（3+2）×30=3×30+2×30

生2：（5+6）×36=5×36+6×36

師：不計算，你是怎么知道等式是成立的？

生1：3+2=5，左邊式子表示5個30，右邊式子表示3個30+2個30，也表示5個30。

師：也就是說把5個30分成了3個30和2個30。

師：這樣的例子還有嗎？有幾個？

生：有無數個。

師：老師也舉一個例子：25×（4+2）○25×4+25×2，相等嗎？

生：相等。

師：你是怎么想的？

生1：結果相等。

生2：兩邊式子都可以表示6個25。

生3：把25個6分成了25個4和25個2。

師：你能舉出像這樣的例子嗎？

生：20×（4+6）=20×4+20×6

師：不計算，你是怎么知道這兩個式子是相等的？

生：把20個10分成了20個4和20個6。

師：這樣的例子能寫出幾個？

生：無數個。

師：老師也舉兩個，你們判斷一下相等嗎？10×（2×3）○10×2+10×3，

8×（2+3）○8×2+8

生：不相等。

師：你是怎么想的？

生1：10×（2×3）表示6個10，10×2+10×3表示5個10，所以不相等。應該把10×（2×3）改成10×（2+3）。

生2：8×（2+3）表示5個8，8×2+8表示2個8+1個8，一共3個8，所以不相等。應該在8×2+8后添×3。

【活動三】比較、歸納、概括“乘法分配律”。

師：請觀察等式左邊的式子的運算順序有什么共同地方？

生：先算加法，再算乘法。

師：對，先算兩個數的和，再與另一個數相乘，這個數可以放在右邊相乘，也可以放在左邊相乘。

（師板書：和、相乘）

師：等號右邊的式子的運算順序有什么共同地方？

生：先兩邊相乘，再相加。

師：左右兩個式子有什么關系？

生1：左右兩個式子相等。

生2：把左邊式子括號里的兩個數分別相乘，再相加，就得到了右邊的式子。

（師板書：分別相乘，再相加）

師：你能用自己的話說說什么叫做乘法分配律？

生：兩個數的和與其中一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。

師：有什么辦法表示乘法分配律？

生1：（a+b）×c=a×c+b×c

生2：（○+△）×□=○×□+△×□

生3：…

四、討論

1.加強對運算定律本質與思考

如何從源頭加強學生對乘法分配律本質的理解，本節課從生活情境著手，使學生領悟概念的本質，這是實現有效教學的根本。

（1）創設情境，從生活到數學。創設情境不僅可以激發學生探究興趣，還可以引出算式，更是學生理解和思考的依托。如在本節課教學設計上教師注重了從學生的植樹情境的實際出發，把數學知識和實際生活緊密聯系起來，讓學生在不斷的感悟和體驗中學習知識。

（2）經歷數學活動，從表象到本質。數學活動是學生經歷數學化過程的再創造活動，是學生自己建構數學知識的活動。本節課的數學活動中，讓學生用兩種不同的方法解決實際問題，在兩個不同的算式之間建立起聯系，讓學生初步感知乘法分配律。之后，給學生提供體驗感悟的空間，讓學生寫出符合規律的式子，引導學生在研究討論中，進一步形成清晰的表象。在此基礎上，讓學生自己再寫出一些符合乘法分配律的等式例子，既為概括乘法分配律提供更豐富的素材，又加深了學生對乘法分配律本質的認識。

2.進一步思考的問題

用怎樣合適的教學方式改進學生的理解水平呢？本節課的教學方式是：注重引導學生在課前“先學”，變教學生“學會”為指導學生“先學”，課中采用小組合作的數學活動形式教學，在小組自主探索的數學活動中，引導學生理解乘法分配律的內涵、意義和形式，從而感悟和發現乘法分配律。

總之，在整節課中，學生親歷觀察、小組合作、歸納、舉例、驗證等探究發現的全過程，學生不僅發現乘法分配律的知識，而且學習到了科學探究的方法，數學思維能力得到了發展。