例析三角形全等的隱含條件

梁燕

摘 要：在判定三角形全等的問題中，題目直接給出的全等條件往往只有一個或兩個（有時可能連一個也沒有），而其余的條件常常隱藏于題設中或圖形之中，需要我們自己去挖掘，本文我將介紹一下隱含條件的隱身之處。

關鍵詞：三角形，全等，全等判定

在三角形全等的判定：“SAS、ASA、AAS、SSS”及直角三角形全等的判定“HL”中，一般要給出三個條件，才能判定兩個三角形全等。但在實際問題中往往只給出兩個條件，這就需要尋找題中的第三個條件。本文從對頂角、公共邊、公共角等三個方面分析三角形全等的隱含條件。

一、對頂角

例1 如圖1，AB與CD相交于點O，且OA=OB，∠A=∠B，試說明：AC=BD.

分析：根據對頂角相等，得∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，∠A=∠B，∴△AOC≌△BOD（ASA）.∴AC=BD.

二、公共邊

公共邊包括全部公共邊、部分公共邊和隱含公共邊三種。

1.全部公共邊

例2 如圖2，已知：△ABC與△DCB中，∠ACB=∠DBC，AC=DB，試說明：∠A=∠D.

分析：∵AC=DB，∠ACB=∠DBC，BC=CB為全部公共邊，利用“SAS”可說明△ABC≌△DCB，∴∠A=∠D.

例3 如圖3，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90 ，AC=AD，試說明：BC=BD.

分析：∵∠C=

∠D=90 ，AC=AD，AB是全部公共邊，利用“HL”可證明：Rt△ABC≌Rt△ABD，由此得BC=BD.

2.部分公共邊

例4 如圖4，∠B=∠F，BE=FC，∠ACB=∠DEF，試說明：AB=DF.

分析：∵BE=FC，∴BE+CE=FC+CE，即BC=FE（這里CE為部分公共邊），又∵∠B=∠F，∠ACB=∠DEF，∴△ABC≌△DFE（ASA），于是得AB=DF.

例5 如圖5，∠A=∠E，∠ACB=

∠EDF，BD=FC，試說明：AB∥EF.

分析：∵BD=FC，∴BD+CD=FC+CD.即BC=FD（這里CD為部分公共邊）可說明△ABC≌△EFD（AAS）.∴∠B=∠F，由此得AB∥EF.

3.隱含公共邊

所謂隱含公共邊是題中沒有相應的線段，必須添加輔助線，使其成為所要證明的兩個三角形的公共邊。

例6 如圖6，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，試說明：∠B=∠D.

分析：要證明∠B=∠D，必須說明它們所在的兩個三角形全等，若添加輔助線AC，則AC是隱含的公共邊，利用“SSS”可證明△ABC≌△CDA，從而得∠B=∠D.

例7 如圖7，AB=DC，AC與DB相交于點O，且DB=CA，試說明：∠B=∠C.

分析：∠B和∠C分別在△ABO與△DCO中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。但添加輔助線AD后，就構造了另一對全等三角形，其中AD=DA是隱含的公共邊，利用“SSS”可證明△ABD≌△DCA，故得∠B=∠C.

三、公共角

公共角包括全部公共角和部分公共角，舉例如下。

1.全部公共角

例8 如圖8，AD=AE，AC=AB，試說明：BE=CD.

分析：本題僅給出AD=AE，AC=AB，兩個條件，其隱含條件為“公共角”：∠A=∠A，根據“SAS”可證明△ABE≌△ACD，由此得BE=CD.

2.部分公共角

例9 如圖9，AB=AD，AC=AE，∠BAE

=∠DAC，試說明：∠C=∠E.

分析：∠CAE是△ABC和△ADE的部分公共角，只要在∠BAE=∠DAC兩邊加上∠CAE，就得到：∠BAC=∠DAE，∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E.

例10 如圖10，AB=AE，AD=AC，∠BAC=∠EAD，試說明：EC=BD.

分析：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD（∠CAD為部分公共角），即∠BAD=∠EAC.又∵AB=AE，AD=AC，∴△ABD≌△AEC（SAS），于是得EC=BD.

例11 已知：如圖11，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形。

（1）求證：AN=BM；

（2）若將△CBN繞點C旋轉成圖12的情形，還有“AN=BM”的結論嗎？如果有，請給予證明。

分析：此題線段多，三角形多，學生容易受到干擾，可通過AN、BM找其所在的三角形△ANC和△BMC.再證明△ANC≌△BMC.

（1）∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60 .∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，（∠MCN為部分公共角）即∠ACN=∠BCM，∴△ANC≌△BMC（SAS），∴AN=BM.

（2）如果將圖11中的△CBN繞點C旋轉成圖12的情形，同樣有“AN=BM”的結論。證明方法與（1）完全一樣。在初學判定兩個三角形全等時，要認真仔細地觀察圖形是否有“對頂角、公共邊、公共角”等隱含條件，只有充分挖掘、利用好這些隱含條件，才能解決好三角形全等的問題。