旋轉矢量法在夫瑯禾費衍射中的應用*

汪連城

(南京工程學院數理部 江蘇 南京 211167)

旋轉矢量法在夫瑯禾費衍射中的應用*

汪連城

(南京工程學院數理部 江蘇 南京 211167)

應用簡諧振動的旋轉矢量表示法，將波動光學夫瑯禾費衍射中復振幅疊加轉換成旋轉矢量的合成，并針對夫瑯禾費單縫衍射和圓孔衍射的各級暗紋中心的衍射角和其在衍射屏上的位置進行了求解.相對于傳統的基于惠更斯-菲涅耳公式的解析計算方法，基于旋轉矢量合成的方法更為直觀，對數學知識的需求相對較少，同時對大學生學習和理解夫瑯禾費衍射以及其他波動光學問題具有一定的借鑒意義.

夫瑯禾費衍射 暗紋中心 旋轉矢量法 矢量合成

波動光學是大學物理的重要組成部分，而其中的夫瑯禾費衍射，包括單縫衍射和圓孔衍射，是波動光學學習中的重點和難點.對于單縫衍射和圓孔衍射的衍射光強分布，在專業的光學教程中是利用惠更斯-菲涅耳公式，直接通過嚴格的推導得到[1]，但因其中包含較為復雜的積分以及貝塞爾函數的解析運算而對非物理專業學生來說顯得較為困難.通過在直角坐標系下對波陣面進行條狀分割，可以將求解積分過程中的二重積分化簡為一元積分[2].也可以通過將求解疊加復振幅的積分函數展開成三角級數，利用三角函數的積分來替代需要利用貝塞爾函數的積分[3].此外，基于傅里葉變換的數值計算方法甚至可以得到任意形狀的波陣面所對應的衍射光強分布[4].但無論哪種方法，都對非物理專業學生的數學知識或是數值計算知識提出了較高要求.更重要的，直接采用惠更斯-菲涅耳公式的解析或數值運算對于學生對波動光學物理機制的理解上效果有限.

在本文中，我們從簡諧振動的旋轉矢量表示法出發，采取和同方向、同頻率的簡諧振動合成的旋轉矢量法[5]相類似的方法，對夫瑯禾費單縫衍射和圓孔衍射的衍射機理和光強分布結果進行了深入的探討.相對于傳統的采用惠更斯-菲涅耳公式的嚴格方法，我們的思路更為簡單和直觀，所需的數學知識也相對較少，更為重要的是為理論知識有限的非物理專業學生學習波動光學提供了一種較為有效的理解

方式.

1 簡諧振動的旋轉矢量表示法及其合成

簡諧振動的旋轉矢量表示法[5]是指將簡諧振動的位移、速度和加速度分別和一個長度為振動振幅、角速度為圓頻率的矢量相對應.旋轉矢量的端點在水平方向上的投影和簡諧振動的位移相對應，矢量端點速度的水平分量和簡諧振動的速度相對應，而矢量端點的向心加速度的水平分量和簡諧振動的加速度相對應.在這樣的設定下，兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成就可以用兩個旋轉矢量的合成來簡單地表達其結果.令A1和A2分別表示參與合成的兩個子振動的旋轉矢量，它們以共同的角速度ω繞坐標原點旋轉，A是以A1和A2為邊組成的平行四邊形的對角線，同時A也是兩個簡諧振動的合振動的旋轉矢量.這樣，兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合振動也是簡諧振動，其頻率保持不變，而合振動的振幅就是A矢量的長度，合振動的初相就是零時刻A與x軸的夾角.特別的，如果兩個子振動的旋轉矢量A1和A2方向相同，則合振幅最大，為A1+A2；如果A1和A2方向相反，則合振幅最小，為|A1-A2|.

如果是多個振動方向和頻率相同的簡諧振動合成，則只需重復上述步驟即可求出合振動的旋轉矢量.或者，更為直觀地來看，多個同向同頻簡諧振動合成的合振動的旋轉矢量就是各個子振動的旋轉矢量的合矢量.由于旋轉矢量是二維的，因此對于多個子矢量的合成問題，可以先將子矢量分別對水平、豎直兩個方向求其投影，再分別將兩個方向的投影分量進行加和，得到合矢量的兩個分量，最后由這兩個分量組合得到合矢量.

2 旋轉矢量法在單縫衍射中的應用

在夫瑯禾費單縫衍射中，根據惠更斯-菲涅耳原理，屏幕上某一點的光強將由單縫上所有子波波源的面積dS，子波到屏幕匯聚點的距離r和衍射角θ這3個因素共同決定.一般情況下，子波源到屏幕距離r和衍射角θ對子振動的振幅的影響可以忽略，這樣每一個子波源在屏幕上的匯聚點所激發的子振動的振幅就正比于子波源的波面面積dS.而屏幕上某一點的最終光強，將正比于所有這些子波在該點所激發的振動的合振幅的平方.因此，對于求解屏幕上的光強分布問題，就等價于求解屏幕上某個點的合振幅問題.而合振幅的求解，就可以采取本文第一部分中所描述的方法，先將所有子振動所對應的旋轉矢量放在一個矢量旋轉平面上，再對這些旋轉矢量進行合成求得合矢量，而合矢量長度的平方就正比于屏幕上該點的光強.如果是為了求解屏幕上光強分布的極值所在位置，那么就僅僅需要求解出合振幅何時取極值以及何時為零即可.

對于單縫波陣面上的子波的劃分，可以將波陣面分割成一系列平行的長條，如圖1所示.長條的水平長度和單縫的長度相同，令為a；而寬度取一個無窮小量dx，這樣每一個子波長條的面積就是adx.根據薄凸透鏡不引起附加的光程差原理，每一個長條上的各個子波到屏幕上匯聚點的光程是相等的，這樣就可以把一個長條看成一個子波，每一個長條子波將在屏幕匯聚點上激發一個子振動.由于各個長條在豎直方向上排列，每個子波長條將在屏幕匯聚點激發出相位不同的子振動.這些子振動對應著一系列初相不同的子旋轉矢量，只需要將這些子旋轉矢量的合矢量求解出來即可.子矢量的長度和激發該子振動的子波面積成正比，而子矢量的相對位置將由它們分別對應的光線之間的光程差決定.這里描述的波陣面劃分和合振動求解方法同樣適用于其他類型的夫瑯禾費衍射.

圖1 夫瑯禾費單縫衍射光路圖

其中xsinθ是位置為x的子波和中心子波的光程差.接著對旋轉矢量圖上所有的旋轉矢量進行分量的合成，其表達式分別為

和

這是一個初等函數積分，容易得到其表達式為

最后令

可得夫瑯禾費單縫衍射振幅表達式為

其中C是常數，a是單縫長度，d是單縫寬度，而Ψ即為單縫發出所有子波所激發振動的最大相位差的一半.令A等于零，解得衍射角θ的取值,可得各級暗紋中心所在位置；令A的導數等于零，解得衍射角θ的取值，可得各級明紋中心所在位置.對于這個積分的極值和零值的求解，可以利用旋轉矢量的分布結合對稱性分析，得到合振幅的關鍵取值關于衍射角θ的分布，從而繞開復雜的解析運算.

圖2 夫瑯禾費單縫衍射旋轉矢量圖

3 旋轉矢量法在圓孔衍射中的應用

在夫瑯禾費圓孔衍射中，波陣面從狹縫變成了圓孔，在和單縫衍射相同的子波源分割方法下，即將圓孔型波陣面分割成一系列水平的長條子波源后，每一個子波源還是在屏幕上的同一匯聚點上激發一個子振動，這些子振動的合振動就決定了屏幕上該點最終的光強.但是由于圓孔衍射的波陣面是圓形的，因此分割出來的各個子波源的面積是不相等的，這和單縫衍射的情況不同，如圖3所示.

圖3 夫瑯禾費圓孔衍射光路圖

因此，圓孔衍射各個子波源在屏幕上匯聚點所激發的子振動的振幅是不等的，即子旋轉矢量的長度是不相等的.根據惠更斯-菲涅耳原理，子旋轉矢量的長度應該和子波源的面積成正比.由于子波長條的寬度取相同的無窮小量，因此子旋轉矢量的長度就簡單地和子波長條的長度成正比.這樣，在同樣滿足在dsinθ=kλ,k≠0的衍射方向上，雖然各個子波所對應的旋轉矢量的角位置還是中心對稱地分布在原點周圍，但是各子矢量的長度不一.如圖4所示，位于圓孔圓心的子波帶所對應的子旋轉矢量A0的長度最長，而位于圓孔上沿、下沿的兩個子波的子振幅最小，這樣，在單縫衍射中應該是合成強度極小值的衍射方向上，到了圓孔衍射情形，其合振幅卻不再是零.

在最大光程差等于λ的衍射角下，各子旋轉矢量的相位關于原點對稱分布，但由于長度不等，因此合振幅并不為零.合振幅需要對各子旋轉矢量進行積分計算

圖4 夫瑯禾費圓孔衍射旋轉矢量圖

初相為

根據對稱性，圓孔上所有x>0的子波所對應的旋轉矢量和所有x<0的子波所對應的旋轉矢量應該對稱地分布在A0的兩側，即關于x軸對稱分布.這樣在求解子旋轉矢量的合矢量時，其y分量必然為零；而x分量的值取決于各子旋轉矢量x分量的疊加.可以求得P點合振動旋轉矢量x分量表達式為

Ax=2∫dAcosφ=

其中r為圓孔半徑，C為常數.令

上式化簡為

這個積分并不是簡單的積分，無法直接從積分表上查詢其積分函數.我們應用Mathematica的符號運算模塊，并令

或

其中d為圓孔直徑.可得

其中BesselJ[1,Ψ]為第一類一階貝塞爾函數，而Ψ即為圓孔上發出所有子波所激發振動的最大相位差的一半.令合振幅為零即可計算出各暗紋中心所對應的各級衍射角.通過Mathematica的一元方程函數求解，并只取正實數解，可得Ψ≈3.83，7.02，10.17,13.32，…，轉換成衍射角取值即

這個結果和利用惠更斯-菲涅耳公式計算結果一致(參考文獻[1]表9-1).利用其中一級暗紋衍射角即

4 結束語

綜上所述，利用簡諧振動的旋轉矢量表示法和同方向同頻率簡諧振動合成的旋轉矢量法，對夫瑯禾費單縫衍射及圓孔衍射的衍射光強分布進行了討論，得到了兩種衍射的各級暗紋中心位置分布.和傳統的基于惠更斯-菲涅耳公式的方法相比，我們的方法更為直觀，并且需要較少的數學知識，因此更利于非物理專業大學生對夫瑯禾費衍射的學習和理解.本文提出的將旋轉矢量的合成和惠更斯-菲涅耳原理相結合的思路對大學生深入學習和理解波動光學具有一定的借鑒意義.

1 母國光，戰元齡.光學.北京：高等教育出版社，2009.194～222

2 戴又善，戴亮.推導圓孔夫瑯禾費衍射光強分布分布的一種簡便方法.大學物理，2009,28(4)：29～32

3 李春庭，李君.夫瑯禾費圓孔衍射光強公式的一種推導方法.物理通報，2000(2)：14～15

4 謝佳寧，趙建林，陳偉成,等.夫瑯禾費衍射的計算機仿真.大學物理，2004，23(3)：51～54

5 劉揚正，張偉強.物理學及其工程應用.北京：高等教育出版社，2015.126～128

ApplicationonRotationVectorMethodinFraunhoferDiffraction

WangLiancheng

(DepartmentofMathematicsandPhysics,NanjingInstituteofTechnology,Nanjing,Jiangsu211167)

Applying rotational vector notation for the harmonic vibration, the superposition of optical waves in Fraunhofer diffraction is converted to composition of rotational vectors. The positions of the centers of dark patterns in the Fraunhofer diffraction on single slit and circular aperture are calculated. Compared with the calculations based on the Huygens-Fresnel formulas, our method is more intuitive and requires relatively less mathematical knowledge. Our approach can also help understanding in the study of Fraunhofer diffraction and other issues in wave optics for college students.

Fraunhofer diffraction; centers of dark pattern; rotation vector method; composition of vectors

*南京工程學院創新項目，項目編號：CKJB201509

2016-09-28)