幾個典型的數學物理方程的物理解讀*

徐 美

(北京科技大學數理學院應用物理系 北京 100083)

幾個典型的數學物理方程的物理解讀*

徐 美

(北京科技大學數理學院應用物理系 北京 100083)

拉普拉斯方程、泊松方程、熱傳導方程(擴散方程)和波動方程是大學物理教學中常見的幾個典型的微分方程，分別涉及到了流體力學、電磁學、熱學和波動等重點教學內容.探索了如何用直觀明確而容易理解的物理語言解讀這些方程.從拉普拉斯方程的物理本質出發，通過改變該方程右端的形式，分別引出泊松方程、熱傳導方程(擴散方程)和波動方程，詳細闡述了上述方程與相關物理現象之間的內在聯系，提出了一種關于以上方程的縱向對比講授法，為學生深入理解典型的數學物理微分方程的物理含義提供了可行的思路.

數學物理方程 拉普拉斯方程 二階偏導數 極值

數學是物理學的語言，它邏輯嚴密、描述準確，可以使物理思想和物理規律以和諧而簡練的形式呈現出來. 例如，物理學中的很多問題都可以用高等數學中的微分方程來進行表述，這些方程通常被稱為“數學物理方程”.對初學大學物理課的學生來說，數學語言不免有點枯燥而生硬、難解而無趣，往往令人望而生畏；如果能用大學生樂于接受的語言，用他們容易理解的邏輯，結合人們熟知的物理現象，來講解物理學中的數學問題，其效果一定會事半功倍. 這種做法既不能犧牲數學的嚴謹和高雅，也不是一味追求平庸的簡單易懂，而是將物理現象的本質與數學表述聯系起來，用通俗易懂的語言深入淺出地闡釋數學物理方程的內涵.

我們以數學物理方程中最簡單的拉普拉斯方程為例，探討這種“數學方程的物理講解”，探討過程中力求避免純粹的數學語言，而是著重于陳述與方程相關的物理事實；并由拉普拉斯方程出發，逐步改變方程右端的表達式，依次得到泊松方程、熱傳導方程(擴散方程)和波動方程[1].

1 拉普拉斯方程

對于自然界中很多現象的分析，都可以歸結為求解拉普拉斯方程，例如薄膜的平衡、無熱源區域的熱平衡狀態、理想不可壓縮流體的平面定常無旋運動、源區以外的磁場和電場等等[2～6]. 這么多不同的物理現象居然能夠統一到一個完全一樣的方程之上，反映了一種深刻的內涵：物理世界是和諧統一的.反過來，同一個方程可以描述諸多性質相去甚遠、形式迥然不同的現象，這使我們不禁感嘆數學工具的強大有力.

拉普拉斯方程的形式簡單而對稱，結構和諧而美觀；在三維直角坐標系中，可以寫成

(1)

方程左端各項是函數關于空間坐標x，y，z的二階偏導數，而此三者之和等于零[7]. 數學家早已詳盡無遺地證明了拉普拉斯方程的各種性質，如定義域內無極值等等[6,8]，那么，這些性質如何體現在物理現象中呢？

在剛剛學習微積分時我們就知道，一個函數的二階導數的正負決定了相應曲線的“凹凸”. 如圖1所示，函數的二階導數大于零，則曲線向下凹陷，形成“山谷”，函數存在極小值；二階導數小于零，則曲線向上凸起，形成“山峰”，函數存在極大值；而如果函數的二階導數等于零，則曲線既不下凹，也不上凸，即為直線，曲線在定義域內不存在極值. 將這一結果推廣至三維情況，我們就可以用最簡單的微積分知識理解拉普拉斯方程的重要性質——“定義域內無極值”.

圖1 二階導數的正負與曲線的形狀關系

通過以上分析，我們對拉普拉斯方程的性質和內涵有了物理上的直觀認識. 下面將以拉普拉斯方程的形式為基礎，進一步分析幾個典型的數學物理方程.

2 泊松方程

如果用一個不恒等于零的空間坐標函數f(x,y,z)代替拉普拉斯方程右端的零，則得到如下的泊松方程

(2)

例如，在靜電場中，電勢Φ所滿足的泊松方程為

(3)

圖2 靜電場中電勢的泊松方程的物理圖像

3 熱傳導方程(擴散方程)

(4)

此處Φ表示溫度或者擴散物質的密度.

4 波動方程

(5)

圖3 彈性繩中的波動方程的物理圖像

5 結束語

通過上面的論述可以看出，拉普拉斯方程、泊松方程、熱傳導方程(擴散方程)和波動方程在數學表述上具有共通性：

(6)

方程右端不同的函數形式分別體現了各方程的物理內涵. 這一組方程分別涉及到了流體力學、電磁學、熱學和波動等重點教學內容，因此，在大學物理教學過程中采用這種縱向對比的講授方法，將使學生能夠融會貫通地理解和真正接受與上述方程相關聯的物理知識，同時將有助于學生體會到數學物理的美之所在.

1 嚴鎮軍.數學物理方程(第2版).合肥：中國科學技術大學出版社，1996.5～6

2LandauLD,LifshitzEM.FluidMechanics. 2ndEdition.Oxford:PergamonPress,1987.1～40,445～447

3 吳望一.流體力學(下冊).北京：北京大學出版社，1983.1～153

4 胡友秋，程福臻.電磁學與電動力學(下冊).北京：科學出版社，2008.37～92

5 廊道，栗弗席茲.場論.任浪，袁炳南,譯.北京：人民教育出版社，1978.75～122

6 復旦大學數學系.數學物理方程(第2版).上海：上海科學技術出版社，1978.10～21,145～157

7 葉其孝，沈永歡.實用數學手冊(第2版).北京：科學出版社，2007.3648 MathewsJ, Walker RL.Mathematical methods of physi-cs. 2nd Edition.California: TheBenjamin/cummings Pu-blishing Company, 1970.217～219

9F·W·拜侖，R·W·富勒.物理學中的數學方法(第一卷).熊家炯，曹小平，譯.北京：科學出版社，1982.30～32

PhysicalInterpretationofSeveralTypicalMathematicalPhysicsEquations

XuMei

(DepartmentofAppliedPhysics,SchoolofMathematicsandPhysics,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083)

Laplace′s equation, Poisson equation, diffusion equation (heat conduction equation) and wave equation are some of the most common and typical equations in college physics teaching, which are involved in the teaching key points such as hydromechanics, electromagnetism, thermologyand undulatory theory. In this paper, we explore how to understand the aforementioned mathematical physics equationsusing clear and easy physical language. At first, the physical nature of Laplace′s equation is explained and then Poisson equation, diffusion equation (heat conduction equation) and wave equation are introduced by changing the right side of Laplace′s equation. The intrinsic connection between these equations and the relevant physical phenomena is described in detail. Students can understand the physical meaning of the typical mathematical physics differential equations more deeply by this longitudinal comparative teaching method for above equations.

equations of mathematical physics; Laplace′s equation; second-order partial derivative; extreme value

*北京科技大學青年教學骨干人才培養計劃；北京科技大學2015年度教育教學改革與研究項目，項目編號：JG2015Z02， JG2015M30

徐美(1979- )，女，講師，主要從事光電功能材料研究和大學物理教學工作.

2017-02-24)