論卡西尼曲線與無限長均勻帶電直線系統等勢線的關系

姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

論卡西尼曲線與無限長均勻帶電直線系統等勢線的關系

姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

通過對卡西尼曲線和伯努利雙紐線一般形式的研究得到了其基本的幾何性質，由此猜想了廣義的卡西尼曲線和廣義的卡西尼曲線簇，并用Maple13對其進行了數值模擬.接著推導出了無限長均勻帶電直線系統等勢線方程，發現其等勢線方程與廣義的卡西尼曲線簇具有相同的形式，從而證明了廣義的卡西尼曲線簇就是無限長均勻帶電直線系統等勢線.

卡西尼曲線 無限長均勻帶電直線系統 等勢線

1 卡西尼卵形線和伯努利雙紐線簡介

卡西尼卵形線是這樣的曲線：設點M到兩個定點F1與F2的距離的乘積是個常量，即

MF1·MF2=b2

式中b是一個常數.點M的幾何軌跡叫做卡西尼卵形線[1].

設F1F2=2a，取F1F2所在直線為極軸，線段F1F2的中點O為極點，則可推導出卵形線的極坐標方程為

兩種情況的圖形如圖1所示，第一種情形對應一條封閉的曲線，第二種情形對應于兩個分開的封閉曲線，而當a2=b2時，所對應的曲線即伯努利雙紐線(圖2)[1]，所對應的方程為

r2=a2cos 2θ

圖1 a2b2卵形線

圖2 伯努利雙紐線

對于卵形線和雙紐線，還有下列性質[2]：

(1)當a2b2時，r的最大值和最小值分別為

(2)當b2≥2a2，曲線是一條凸曲線.

(3)當b2=0時，曲線退化為2個點，即F1和F2.

2 廣義的卡西尼曲線

設F1，F2，F3,…,FN是平面內N個定點，點M到F1，F2，F3,…,FN的距離滿足以下等式

MF1τ1·MF2τ2·…·MFNτN=bN

點M的軌跡就是廣義上的卡西尼曲線，式中τ1,τ2,…,τN為一系列的實數，b,N為兩個實數.

若N=2,b變化時，則會得到一個卡西尼曲線簇，如圖3和圖4所示.由圖可知,它們開始是分離的兩個卵形曲線，后來會變成一個完整的曲線；若τ1,τ2,…,τN的正負相同，則會有伯努利雙紐線；若τ1,τ2,…,τN正負不同，不會形成伯努利雙紐線.

圖3 廣義的卡西尼曲線簇τ1=2,τ2=1

圖4 廣義的卡西尼曲線簇τ1=2,τ2=-1

3 無限長均勻帶電直線系統形成的等勢線

若能求出一根無限長均勻帶電直線的等勢線方程，再利用電勢的疊加原理就可以得出多根無限長均勻帶電直線的等勢線方程.

3．1 一根無限長均勻帶電直線產生的電勢[3]

圖5 均勻帶電無限長直線的電勢

積分結果是無窮大，無窮大的出現與電荷不是有限區域內的分布有關.計算兩點P與P0的電勢差可以不出現無窮大.設P0點與導線的垂直距離為R0，則P點與P0點的電勢差為

若選P0為參考點，規定φ(P0)=0，則

3.2 兩根無限長均勻帶電直線形成的等勢線方程

如果平面上有兩根無限長帶電直線，則某點M的電勢可以寫成

式中τ1,τ2分別為兩根無限長帶電直線電荷的線密度，F1,F2分別為兩根無限長帶電直線的中心點，P0為參考點，規定φ(R0)=0[4].

若設

則可以化簡為

MF1τ1·MF2τ2=R0τ1+τ2e-2πε0C

若令R0τ1+τ2e-2πε0C=b2，則可變為廣義的卡西尼曲線的一般形式

MF1τ1·MF2τ2·…·MFNτN=bN

當式中b取不同的數值時就會得到廣義的卡西尼曲線簇，如圖6所示.

圖6 廣義的卡西尼曲線簇

4 結束語

廣義的卡西尼曲線簇在本質上是無限長均勻帶電直線系統形成的等勢線，其中卵的中心就是每根帶電直線的中心，若這些中心某幾個可以包裹在一個封閉的曲線里，則說明它們帶電的性質相同；若開始相互隔開的，則它們的電性相反；若某幾個中心開始是隔開的最后在更遠距離上包裹在一個封閉的曲線里，則說明后來被包裹的那個直線的電荷量小于包裹它的那幾根直線的總電荷量.無限長均勻帶電直線系統的等勢線還可以利用莫爾條紋來分析[4]，限于篇幅這里不再贅述.

1 B·H·斯米爾諾夫著.高等數學教程.孫念增,譯.北京：商務印書館，1956.200～201

2 王敘貴.多卵線與多紐線——卡西尼卵形線與伯努利雙紐線的推廣.昆明師范高等專科學校學報,2001，23(4)：34～36

3 郭碩鴻.電動力學.北京：高等教育出版社，2012.37～43

4 李治林，劉建科．利用莫爾條紋模擬疊加靜電場的等勢線．大學物理，2011(6):47～51

2016-12-16)