最佳合影

盧聲怡

上一期，孔老師和弟子們利用手指解決了一道關于周期的難題，讓我們體會到了手指尖上的智慧。這一期，畫師給大家出了一道排列組合難題，會難倒他們嗎？來，我們看故事吧！

杏壇學校本學期的學習即將結束，我對班上的同學們提議，說：“學期快結束了，我們請畫師來給全班師生畫個合影吧！上周末我回家，爸爸媽媽專門請了個畫師來畫全家福。我覺得我們班也是一個大家庭，也可以畫一張‘全家福。”

大家一聽，都贊同，商量第二天在杏湖邊排好位置再畫，最重要的是，要把孔老師叫上。

第二天，大家都來到杏湖邊。湖邊的銀杏樹已經落了葉，滿地金黃，藍天碧水，賞心悅目，這真是一個適合出來放松的天氣。

到場的共有9人，顏回、子路、我（子盧）、閔損、宰予、子貢、冉有、言偃和曾參。師母帶孔鯉去鎮上新開的兒童樂園玩，而孔老師去送他們，要過會兒才到。不過，咱們9位同學一聚集，就已經七嘴八舌，相當熱鬧了。這也難怪，平時孔老師上課太有趣，我們都把精力全放學習上了，沒空聊學習之外的事。

今天請來的畫師是爸爸幫我約的，是鎮上最有名的吳畫師。聽說他的技藝非常高超，尤其擅長畫陰影和立體，畫出來的人物栩栩如生。唯一的缺點就是——收費太貴，所以鎮上的人們都舍不得畫一張單人的，而多是請吳畫師畫全家福。這樣一來，就發展出了一種新的畫——合影畫，而吳畫師也成了魯國這方面最知名的工匠。

吳畫師沒想到是要畫這么多人的合影，看到我們就愣住了。這也難怪，鎮上的人們都是請他畫家里人的合影，最多不過五六人。

他想了一下，對我們說：“我呢，來得匆忙，沒想到你們這么多人，顏料不夠，現在我要回家取。”

子路不高興了：“你是打算把我們晾在這兒？”

“不不不，”吳畫師連忙解釋，“我去去就來，去去就來。對了，你們不如用我去取顏料的時間，想一想你們怎么排列吧！”他打量了一下我們，又說：“你們不是9人嗎？等你們9人把所有的排列都試一遍，我就回來了。到時候，只要你們告訴我一共有多少種不同的排列方法，我就免費幫你們畫一張合影，怎么樣？”

“太好啦。”同學們紛紛贊成。

子路還對吳畫師說：“那你趕緊去吧，我們還要研究研究呢。”

吳畫師背著他的畫具走了，我們開始研究。

子路突然有個想法：“不如我和子貢、子盧暫且當一下‘道具，大家先研究一下3人排列的規律吧。”

“對！實際操作能讓我們更快看出規律。”子貢爽快地表示同意。

我攤攤手，說：“這簡單呀，一共6種排法。從左往右，我子路子貢、我子貢子路、子路我子貢、子路子貢我、子貢我子路、子貢子路我。”

宰予笑了起來：“你這倒有點像孔老師整理的‘詩三百了，不過孔老師整理的都是四字一句，你這是五字一句，還真絕。”

“我這就叫——‘五言絕句。”我得意地說。

“你厲害，我覺得你可以算我們三人中的主角，還是你站在中間好了，這樣有幾種不同的排法呢？”

“這樣就更簡單了。”我用雙手做了個交換的動作，“我在中間不動，你們兩人一交換，排法只有2種。”

顏回笑著指指我：“你有沒有發現這種情況下，排法的數量和沒你在是一樣的。你這主角還真是‘重要呀！”

“呃。”

看到我、子路和子貢輪流變換著位置，大家都覺得很有意思，紛紛組成幾人小組，試驗起來。有“同組人組合”，有“前后桌組合”，還有“學霸組合”“死黨組合”“愛吹牛組合”等。

經過試驗，大家覺得對3人排列非常有把握了。3人排列最關鍵的，就是要讓其中一個人固定不動，然后調整另外兩個人，一共有6種排法。

如果是4人，那么第一個人不動時，其他3人有6種排法，這樣一來，4人輪流作為第一個，就有4×6=24（種）不同的排法。

“是的。第一個位置讓誰站，有4種選擇；第一個位置站好后剩下三個人，第二個位置有3種選擇；第三個位置有2種選擇；到第四個位置，只剩一個人沒站好，只有1種選擇。”

“一共就有4×3×2×1種選擇。”

同學們七嘴八舌地互相補充著，似乎已經找到了排列規律。

“我們9人一共有多少種排法呢？我們來試一試吧。”

顏回搖頭，對宰予的提議補充：“我們要給孔老師留一個位置，等他回來，就可以加進來了。”

“孔老師的位置嗎？好辦，我去搬來。”子路話剛說完，人已經跑得沒影了。一會兒，他就面不改色心不跳地搬來了孔老師書房里的大椅子。

子路把椅子一把放在正中間，說：“孔老師當然是坐中間了。”

“有道理。我想挨著孔老師。”

“我也想。”

“不如我們都緊挨著孔老師吧。”

“那不就把孔老師‘包成一個球了？”

大伙兒議論紛紛，最后不知誰說了這么一句話，把大家都逗樂了。回頭一看，孔老師就站在我們身后。原來，剛剛那句話是他說的！

不過，我們看到孔老師臉上帶著微笑，看來并沒有生氣，大家吐吐舌頭，也就釋然了。

顏回把剛才吳畫師說的話跟孔老師報告了一遍。

孔老師的笑容凝結在臉上。

“你們不知道9人排列一共有多少種排法？”

“知道呀，我們剛才研究了3人和4人的情況，發現排列其實是分步做的。第一步是先選出一個人站第一個位置，一共有多少人就有多少種選擇；然后選第二個人站第二個位置……計算時，把每一步的選擇數相乘就是排列方案的總數了。”

“9×8×7×6×5×4×3×2×1種。”顏回作為班長，總結了大家的說法。

“你們算一算得數。”孔老師的話，讓同學們都紛紛找工具計算起來。

還真是不算不知道，一算嚇一跳，居然有362880種排法，這還只是9人的情況，或者說是把孔老師固定在中間的大椅子上。

如果不把孔老師固定在中間，那就變成了10人排列，有3628800種。這真是一個巨大的數呀！一年最多有366天，一天排1種，要排上快10000年。如果每天排10種，也要近1000年。每天排100種，差不多要100年……

我看著吳畫師消失的方向，喃喃地說道：“看來吳畫師是不會回來了！”

數學點睛：排列組合，可以稱為“搭配的學問”，它將貫穿我們學數學的整個過程。除了要知道分步做的事情用“乘法原理”，分類做的事情用“加法原理”之外，我們還應當多了解一些有趣的現象。例如在排列中當把一個人固定在某個位置時，其實是不必計算的（相當于1）。再比如從1到10的所有自然數的乘積叫10的階乘，可以用“10！”表示，這是一個很大的數喲。