一類幾何非線性系統的H0pf分岔研究

牛瑞濤　牛坤

摘要：研究了一類具有無理非線性恢復力的幾何非線性系統的Hop盼岔問題，首先，應用Lagrange方程建立了幾何非線性動力學運動微分方程，分析了平衡點的分岔及穩定性等復雜動力學行為，利用泰勒級數對原系統逼近并進行五次截斷，引A.Van del Pol阻尼擾動得到五次非線性Lienard系統，然后利用Hop盼岔理論，得到了系統在分岔突變點附近的三個Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系統平衡點穩定性發生改變并在平衡點附近出現極限環。

關鍵詞：幾何非線性系統；五次非線性；Hopf分岔；極限環；Runge-Kutta法

幾何非線性是當代科學技術與工程應用中經常遇到的重要非線性因素，與材料非線性、接觸非線性構成工程應用研究中的三大非線性問題，基于無理非線性特性出現了一類嶄新的幾何非線性動力系統，并且該系統被命名為SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，該振子依賴于系統參數表現出光滑動力學到不連續動力學的轉遷特性。

文章研究非線性Van del Pol阻尼擾動的耦合SD振子的Hopf分岔，理論分析得到系統的多Hopf分岔行為，數值模擬驗證幾何非線性系統的多極限環共存現象。

1.幾何非線性動力學系統

1.1力學模型

基于SD振子力學模型，我們建立了幾何非線性動力學系統（或耦合SD振子）的力學模型，它由一個質量塊m和連接于質量塊的一對傾斜且能夠被拉壓彈簧上構成.彈簧的剛度系數和自然長度分別為k和L，末端固定在一個剛性底座上，雖然彈簧提供線性回復力，但是由于模型幾何非線性構型的改變使作用在質量塊上的水平方向的力表現為強無理非線性特性。

幾何非線性系統的運動微分方程為

Hopf分岔理論研究的是自治系統平衡點解分岔產生穩態周期解的問題，基本思想是基于經典穩定性理論，從方程的攝動方程零解穩定性來判別平衡點解的穩定性.Hopf證明了系統在分岔值處將從平衡點解分岔出一個非常量的周期解，即對應系統的極限環，系統發生振蕩或振蕩失穩。因此追蹤系統平衡解流形、確定分岔點位置，對于了解無理非線性系統穩定性及其變化規律有重要的意義。

3.結語

文章分析了未擾動幾何非線性系統的光滑與不連續動力學轉遷特性，包括平衡點分岔、恢復力及勢能函數，給出了Vander Pol阻尼擾動下系統的HoDf分岔條件.理論結果為幾何非線性系統的Hopf分岔及穩定性的控制與設計參數選取提供理論依據。