BP神經網絡與多項式擬合在沉降監測中的應用

王存友，黃張裕，汪閂林，歐陽經富

（1.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 21009）

BP神經網絡與多項式擬合在沉降監測中的應用

王存友1，黃張裕1，汪閂林1，歐陽經富1

（1.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 21009）

采用BP神經網絡和多項式擬合的數據處理方法并在MATLAB中編程實現，將兩種模型在隧道沉降監測與預報中的可行性和精確性進行對比，得出兩種模型的適用范圍和預報精度。

BP神經網絡；多項式擬合；MATLAB；隧道沉降；預報

在施工過程中對隧道進行長期監測不僅能夠得出隧道的沉降量，還能根據長期的監測數據分析出隧道變形的發展趨勢。現階段預測沉降的模型和方法有很多，本文采用BP神經網絡和多項式擬合模型對隧道的沉降進行預測并在MATLAB中實現，通過對兩種方法進行比較得到模型各自的特點和適用范圍。

1 兩種模型的基本原理

1.1 BP神經網絡

傳統的變形監測預報都是尋求影響因子與變形量之間的線性關系，但通常情況下變形體的變形都呈現非線性特征。根據神經網絡的特征可知，神經網絡是通過函數直接尋求輸入和輸出的關系，不考慮問題內部的機理。因此神經網絡在處理內部機理比較復雜的問題上具有非常獨特的優勢，為非線性系統的建模、識別和預測提供了一個嶄新而有效的途徑。

BP神經網絡是一種按誤差逆向傳播算法訓練出來的多層前饋網絡，是目前應用最廣泛的神經網絡模型之一。其學習規則是使用最速下降法，通過誤差反向傳播來不斷調整網絡的權值和閾值，使實際輸出相對于期望輸出的誤差平方和最小。一個完整的BP神經網絡包括輸入層、隱含層和輸出層，各層之間由權值實現連接。其結構見圖1。

圖1 BP神經網絡原理圖

1.2 BP網絡算法的數學描述

假設BP神經網絡的三層節點分別為輸入層節點Xi、隱含層節點Pi和輸出層節點Yi，輸入層和隱含層之間的權值為Wij，隱含層和輸出層之間的權值為Tij，預測的期望值為tl。則隱含層節點的計算公式為：

輸出層節點的計算公式為：

式（1）和式（2）中的θi代表網絡的閾值，與權值一樣在網絡的訓練過程中不斷地被修正，利用以上兩個公式就可以計算出網絡正向傳播的結果，得出輸出值。

在網絡的反向傳播時，根據BP神經網絡的學習規則可知期望輸出tl與實際輸出Yi的誤差平方和公式為：

當計算的E值大于限定的數值時就說明網絡不合格，需要通過調整各連接的權值和閾值來對網絡進行訓練，直到最后的E值小于限定的數值網絡訓練才結束，從而得到合適的網絡進行預測。網絡的校正是從后向前反向進行的，因此又叫做誤差逆傳播。將式（1）和式（2）代入（3）式展開得到：

分別對E求Tli和Wij的偏導數，化簡后得出權的修正值ΔTli和ΔWij正比于誤差函數沿梯度下降。因此，輸出層到隱含層連接權的修正量為：

隱含層到輸入層連接權值的修正量為：

1.3 多項式擬合

多項式擬合又叫作最小二乘擬合，常用于把離散的數據歸納總結為連續的函數。多項式擬合具體過程如下：

假設給定數據(Xi,Yi)（i=0,1,…,m)，f為所有次數不超過n（n≤m）的多項式構成的函數類，現求pn(x)=使得：

滿足式（7）的Pn(x) 稱為最小二乘擬合多項式。當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。根據I=可以得出式（7）為a,a,a,…,a的多012n元函數，因此可以將上述問題轉化為求I=I (a0,a1,…，an)的極值問題。對I分別求aj的偏導數得：

將式（8）展開為：

這是關于a0, a1, a2, …, an的線性方程組，寫成向量與矩陣的形式為：

式（10）稱為法方程，可以證明此線性方程組的系數矩陣為非奇異矩陣，所以方程組存在唯一解pn(x)=可以求出唯一的a(k=1, 2, 3, …, n)，從而得出k多項式。

2 實例分析

2.1 數據處理

本文所分析的數據來源于某隧道19期的沉降實測資料，其中多項式擬合階數選用了4階和5階進行擬合，BP神經網絡用前13期的實測數據訓練網絡來預測后6期。表1為某一點前13期的沉降監測數據。

根據多項式擬合模型，利用某點前13期的沉降監測數據分別建立4階和5階多項式函數曲線趨勢模型。根據多項式趨勢模型預測后續觀測時段的高程值，并與實際值比較，其預測結果如表2所示。

表1 某點前13期沉降監測數據

表2 多項式擬合預測結果

通過表2可以看出，多項式擬合模型前幾期預測精度很高，但后面誤差逐漸增大，精度下降。主要由于隧道在后期變形逐漸趨緩，漸漸穩定，沒有延續前期的增長趨勢。

根據BP神經網絡模型，同樣利用前13期的沉降監測數據建立模型，預測后6期的高程值并與觀測值進行比較，預測結果如表3所示。

表3 BP神經網絡預測結果

通過表3可以看出，BP神經網絡模型的預測精度較好，高于表2的多項式擬合模型。主要是由于隨著施工的進展，隧道載荷基本固定而且地基壓縮空間減小，隧道變形趨勢逐漸趨緩，沒有延續前期的增長趨勢。BP神經網絡比較適合處理非線性的問題，預測精度較好，但隨著時間的推移，預測精度仍然有明顯降低。

以中誤差比較上述多項式擬合模型和BP神經網絡模型的優劣，其結果為BP神經網絡的中誤差1．02 mm，4階多項式的中誤差3．06 mm，5階多項式的中誤差1．78 mm。

采用BP神經網絡模型和多項式擬合模型對監測點進行預測，不同模型的預測結果與實測值不盡相同。BP神經網絡的預測精度在mm級，高于多項式擬合的精度，而且BP神經網絡在處理非線性問題上優于多項式擬合，比較適合隧道變形監測數據處理與預測。

2.2 結 論

BP神經網絡模型結構簡單、可操作性強，在MATLAB的環境下可以實現預報的可視化，更直觀地反映沉降的趨勢。但每種模型都有各自的適用范圍、特點和局限性，對于短期的沉降監測因為沒有足夠的監測數據進行BP神經網絡的訓練，網絡的預測結果精度不高，但隨著預測期數的增加，BP神經網絡的預測精度會提高。多項式擬合是一種趨勢分析法，其預測精度要高于BP神經網絡，當選擇過高的階數進行擬合時增加了計算量且預測精度不會有明顯提高，因此采用多項式擬合模型時選擇合適的階數十分重要。

3 結 語

BP神經網絡在變形監測分析與預報方面表現出了非常好的優越性。但BP神經網絡自身也存在一些缺陷，比如誤差收斂速度慢，學習時間過長，學習過程易陷入局部極小值從而無法得到全局最優解，網絡的泛化能力差和構建網絡結構缺乏統一原則等問題。針對這些問題，對BP神經網絡還需要更多的研究來完善，在變形監測分析與預報方面有很好的應用前景。

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B文章編號：1672-4623（2017）06-0107-02

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.06.033

王存友，碩士研究生，研究方向為變形監測數據處理。

2015-08-07。