改進的防空導彈武器系統作戰效能評估模型*

陳金宏，魯明，黃凱

(海軍指揮學院，江蘇 南京 210016)

改進的防空導彈武器系統作戰效能評估模型*

陳金宏，魯明，黃凱

(海軍指揮學院，江蘇 南京 210016)

針對當前防空導彈武器系統作戰效能評估模型的局限性，運用排隊論基本原理，基于目標有限等待和差錯服務，構建了改進的作戰效能評估模型，并應用該模型進行了驗證計算。結果表明，防空導彈的飛行速度、殺傷區遠界和每次射擊擊毀概率是影響防空導彈武器系統作戰效能的主要因素，對于優化防空兵力部署、改進武器系統性能具有一定的參考價值。

防空導彈武器系統；作戰效能評估；目標有限等待；差錯服務；飛離強度；有效服務強度

0 引言

防空導彈武器系統作戰效能分析是合理構建防空體系的重要依據。從排隊論的角度看，來襲目標飛越防空導彈武器系統射擊服務區(以下簡稱射擊服務區)的過程，相當于有限等待和接受差錯服務[1]，若目標成功接受射擊服務(被擊毀)而消失，視為服務有效，否則目標再次接受射擊服務；若目標等待服務或接受服務的時間過長，目標將飛離射擊服務區而成功突防。本文基于目標有限等待和差錯服務，對所有進入射擊服務區的目標計算飛離強度，并以有效服務強度作為系統服務能力指標，改進了防空導彈武器系統的作戰效能評估模型。

1 基本假設

(1) 長時間持續來襲的目標流近似于強度為λ的泊松流，即在時間(0，t)內來襲目標數Xt的概率分布為P(Xt=k)=(λt)ke-λt/k! (k=0，1，2，…)。

由于泊松流最難于抗擊[2]，將目標流視為泊松流，可以從最困難條件下分析防空導彈武器系統的作戰效能。防空導彈武器系統部署于保衛目標旁，來襲目標徑直攻擊保衛目標，不干擾、抗擊或機動規避防空導彈武器系統的攔截。

圖1 射擊服務區與殺傷區的垂直剖面示意圖Fig.1 Schematic diagram of vertical section of shoot service zone and kill zone

在上述假設條件下，防空導彈武器系統可視為基于目標有限等待和差錯服務的M/M/n：∞/∞/FCFS隨機服務系統，即來襲目標流是泊松流，射擊時間服從負指數分布，n個服務臺，系統容量無限，目標源總量無限，先到先服務。射擊服務過程的排隊模型如圖2所示。

圖2 射擊服務過程的排隊模型Fig.2 Queuing model for shooting service process

2 狀態分析

定義t時刻隨機服務系統的狀態為此時處于射擊服務區內目標的隨機數量Xt。則服務系統可能處于以下3種狀態：

(1)Xt=0，射擊服務區內目標數為0，n個火力通道均不射擊；

(2)Xt=k(k=1，2，…，n-1)，射擊服務區內目標數為k，k個火力通道正在射擊；

(3)Xt=n+s(s=0，1，2，…)，射擊服務區內目標數為n+s，n個火力通道均在射擊，s個目標在等待射擊。

由基本假設可知：

以Pi(t)(i=0，1，…)表示t時刻系統處于狀態Xt=i的概率，下面對Pi(t)進行討論。

(1) 系統處于狀態Xt=0時

t+Δt時刻，系統處于狀態Xt+Δt=0的概率可表述為下列3個獨立事件的概率之和：

1)t時刻，系統處于狀態Xt=0，且Δt時間內無新目標進入。該事件概率為P0(t)[1-λΔt+ο(Δt)] =(1-λΔt)P0(t)+ο(Δt)。

2)t時刻，系統處于狀態Xt=1，Δt時間內，無新目標進入，分配給目標的火力通道完成射擊并擊毀目標，且無目標飛離射擊服務區。該事件概率為P1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][μΔt+ο(Δt)]Pc[1-νΔt+ο(Δt)]=μPcΔtP1(t)+ο(Δt)。

3)t時刻，系統處于狀態Xt=1，Δt時間內，無新目標進入，分配給目標的火力通道未完成射擊，該目標飛離射擊服務區。該事件概率為P1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][1-μΔt+ο(Δt)][νΔt+ο(Δt)]=νΔtP1(t)+ο(Δt)。

因此，t+Δt時刻，系統處于狀態Xt+Δt=0的概率為P0(t+Δt)=(1-λΔt)P0(t)+(μPc+ν)Δt·P1(t)+ο(Δt)，則[P0(t+Δt)-P0(t)]/Δt=-λP0(t)+(μPc+ν)P1(t)+ο(Δt)/Δt。

(2) 系統處于狀態Xt=k(k=1，2，…，n-1)時

t+Δt時刻，系統處于狀態Xt+Δt=k的概率可表述為下列5個獨立事件的概率之和：

1)t時刻，系統處于狀態Xt=k，Δt時間內，無新目標進入，k個火力通道均未完成射擊，且k個目標均未飛離射擊服務區。該事件概率為Pk(t)[1-λΔt+ο(Δt)][1-kμΔt+ο(Δt)]·[1-kνΔt+ο(Δt)]=[1-(λ+kμ+kν)Δt]·Pk(t)+ο(Δt)。

2)t時刻，系統處于狀態Xt=k，Δt時間內，無新目標進入，僅1個火力通道完成射擊但未擊毀目標，且k個目標均未飛離射擊服務區。該事件概率為Pk(t)[1-λΔt+ο(Δt)][kμΔt+ο(Δt)](1-Pc)[1-kνΔt+ο(Δt)]=kμ(1-Pc)ΔtPk(t)+ο(Δt)。

3)t時刻，系統處于狀態Xt=k+1，Δt時間內，無新目標進入，僅1個火力通道完成射擊并擊毀目標，且k+1個目標均未飛離射擊服務區。該事件概率為Pk+1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][(k+1)μΔt+ο(Δt)]Pc[1-(k+1)νΔt+ο(Δt)]=(k+1)·μPcΔtPk+1(t)+ο(Δt)。

4)t時刻，系統處于狀態Xt=k+1，Δt時間內，無新目標進入，k+1個火力通道均未完成射擊，僅1個目標飛離射擊服務區。該事件概率為Pk+1(t)·[1-λΔt+ο(Δt)][1-(k+1)μΔt+ο(Δt)]·[(k+1)νΔt+ο(Δt)]=(k+1)νΔtPk+1(t)+ο(Δt)。

5)t時刻，系統處于狀態Xt=k-1，Δt時間內，僅1個新目標進入，k-1個火力通道均未完成射擊，且k-1個目標均未飛離射擊服務區。該事件概率為Pk-1(t)[λΔt+ο(Δt)][1-(k-1)μΔt+ο(Δt)][1-(k-1)νΔt+ο(Δt)]=λΔtPk-1(t)+ο(Δt)。

因此，t+Δt時刻，系統處于狀態Xt+Δt=k的概率為Pk(t+Δt)=[1-(λ+kμPc+kν)Δt]Pk(t)+[(k+1)(μPc+ν)Δt]Pk+1(t)+λΔtPk-1(t)+ο(Δt)，則[Pk(t+Δt)-Pk(t)]/Δt=-[λ+k(μPc+ν)]Pk(t)+(k+1)(μPc+ν)Pk+1(t)+λPk-1(t)+ο(Δt)/Δt。

類似可得服務系統狀態變化的微分方程組為

(1)

由微分方程組(1)可知，該服務系統狀態轉移圖如圖3所示。當系統中目標數為k(k=1，2，…，n-1)時，目標流將受到強度為kμPc的有效射擊而損毀，同時將有強度為kν的目標流飛離射擊服務區而成功突防；當系統中目標數為n+s(s=0，1，2，…)時，目標流將受到強度為nμPc(已達系統最大有效服務能力)的有效射擊而損毀，同時將有強度為(n+s)ν的目標流成功突防。

文獻[3-13]中系統狀態轉移圖如圖4所示。對比圖3、圖4可知，本文建立的模型與文獻[3-13]存在2個區別：

(1) 文獻[3-13]主張未接受射擊服務的目標有限等待，對于接受射擊服務的目標不考慮飛離強度，一旦服務開始，不管等待時間多長，都將完成射擊服務，但實際上可能出現未完成射擊服務，目標就已飛離射擊服務區的情況。本文基于所有目標有限等待，從狀態Xt=0開始引入飛離強度ν，更符合作戰過程，因為任一目標飛越射擊服務區相當于有限等待，飛越時間達到有限等待時間，該目標都將飛離射擊服務區成功突防，而與目標是否接受射擊服務無關。

(2) 文獻[3-13]以服務強度μ作為系統服務能力指標，計算穩態下未受射擊而直接突防的概率Pt和目標受射擊概率Ps(Ps=1-Pt)，進而求得目標流擊毀概率Ph(Ph=PsPc)，相當于以未受射擊而直接突防的目標數推算受射擊目標數，以受射擊目標數乘以擊毀概率Pc計算擊毀目標數。通常擊毀概率Pc是經大量射擊試驗后，由擊毀目標數除以總射擊次數得來。由于實際作戰中每個目標對應的射擊次數是不定的，以受射擊目標數代替總射擊次數來計算擊毀目標數，將帶來一定誤差。實際上，射擊過程具有差錯服務的特點，目標流在受到強度為μ的射擊后，平均強度為μPc的目標流被擊毀而消失，即單火力通道有效服務強度為μPc，受射擊但未被擊毀(服務無效)的目標將繼續留在隊列中再次接受服務，直至被擊毀或飛離射擊服務區，可一定程度上體現射擊次數，以此計算的擊毀目標數更為合理。因此，本文基于差錯服務，以有效服務強度μPc作為系統服務能力指標，能更真實地反映作戰過程。

3 系統性能指標

圖3 基于目標有限等待和差錯服務的防空導彈武器系統狀態轉移圖Fig.3 State transition diagram of air defense missile weapon system based on target finite waiting and false-serving

圖4 文獻[3-13]中防空導彈武器系統狀態轉移圖Fig.4 State transition diagram of air defense missile weapon system in the literature [3-13]

(2)

于是得到：

(3)

s=0，1，2，….

(4)

(5)

系統主要性能指標如下：

進入防空導彈射擊服務區的目標的平均數，即平均隊長為

(6)

射擊服務區中正受到射擊的目標的平均數，即平均服務隊長為

(7)

飛離射擊服務區前未接受射擊服務的目標的平均數，即平均排隊長為

(8)

對于射擊服務區中每個未接受射擊服務的目標都將以強度ν飛離射擊服務區，因此目標等待射擊服務超時而直接突防的概率為

(9)

對于射擊服務區中每個接受射擊服務的目標也將以強度ν飛離射擊服務區，因此目標接受射擊服務超時而突防的概率為

(10)

射擊服務區中的所有目標都以強度ν飛離，目標總突防概率為

(11)

防空導彈武器系統以強度μPc擊毀所射擊的目標，目標被擊毀概率為

(12)

防空導彈武器系統的作戰目的就是最大限度地擊毀來襲目標，因此本文以目標被擊毀概率Ph作為防空導彈武器系統的作戰效能指標。

受到射擊的目標中，被擊毀的概率為

(13)

圖隨ν/μ變化的曲線Fig.5 Curves of with ν/μ changes

實際防空作戰中，還需考慮目標發現概率、指揮概率、引導概率、截獲概率、可靠性概率、反干擾概率、反機動概率，可用乘積方式將有效服務強度由μPc修正為μPcx；當目標流中部分目標的突防高度超出武器系統有效抗擊范圍[15]時，視為未發現目標，可用該比例修正目標發現概率；考慮武器系統(服務臺)戰損概率，相當于火力通道數n減少。

4 算例分析

假設某防空導彈武器系統裝備有8輛垂直發射車，每輛垂直發射車有2個發射通道，即系統火力通道數為16，導彈平均速度vd為1 km/s，射擊準備時間tz為8 s，每次射擊擊毀概率Pc=0.75，目標發現概率等其余概率均假設為1。該防空導彈武器系統部署于保衛目標旁，采用單射方式攔截來襲目標，備彈充足，裝填及時。來襲飛機防區外發射巡航導彈或是距保衛目標25 km時發射高速反輻射導彈然后返航。對于速度為300 m/s、高度為25 m超低空突防的來襲飛機，由于殺傷區遠界過近，無法抗擊，而只能攔截其發射的導彈。防空導彈武器系統假想參數如表1所示。

表1 防空導彈武器系統假想參數Table 1 Hypotheticalparametersof air defense missile weapon system

(14)

(15)

(16)

根據式(5)，(12)，可求得不同目標流強度下的目標被擊毀概率Ph，并以此作為防空導彈武器系統的作戰效能指標。計算結果如表2所示。

由式(13)整理可得

(17)

從以上曲線可以判斷：提高防空導彈飛行速度vd和每次射擊擊毀概率Pc，延伸防空導彈殺傷區遠界Xb，均可大幅提升防空導彈武器系統的作戰效能，但提升幅度逐漸趨緩，進一步提高參數，收效不明顯；縮短射擊準備時間tz，對抗擊導彈目標意義較大，但對抗擊飛機目標效果并不明顯。

圖 隨vd變化的曲線Fig.

圖 隨Pc變化的曲線Fig.7 Curves of with Pc changes

目標飛機導彈v:0.6km/sh:12kmv:0.3km/sh:12kmv:0.3km/sh:6kmv:0.9km/sh:1kmv:0.3km/sh:0.025kmλ/min-120.6080.7460.7180.4200.66340.6080.7460.7180.4200.66380.6070.7420.7170.4200.663160.5080.5390.6270.4200.663320.2590.2700.3200.4200.661640.1290.1350.1600.3940.5221280.0650.0670.0800.2340.262P'c0.6080.7460.7180.4200.663

圖 隨Xb變化的曲線Fig.8 Curves of with Xb changes

圖 隨tz變化的曲線Fig.9 Curves of with tz changes

5 結束語

本文針對當前防空導彈武器系統作戰效能評估模型的局限性，運用排隊論基本原理，基于目標有限等待和差錯服務，構建了改進的作戰效能評估模型，并應用該模型進行了驗證計算。結果表明，防空導彈的飛行速度、殺傷區遠界和每次射擊擊毀概率是影響防空導彈武器系統作戰效能的主要因素。為達到預期的防空作戰效能指標，應針對這三個主要因素，優選防空導彈武器系統或改進現有的防空導彈武器系統性能，并以此作為構建防空體系、優化防空部署的重要依據。

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Improved Model for Operational Effectiveness Assessment of Air Defense Missile Weapon System

CHEN Jin-hong，LU Ming，HUANG Kai

(Naval Command College，Jiangsu Nanjing 210016，China)

Aiming at the current limit in assessing operational effectiveness of air defense missile weapon system, applying basic principle of queuing theory, and based on target finite waiting and false-serving, an improved model is established for operational effectiveness assessment. The verifying results show that flight speed, kill zone boundary and destruction probability of air defense missile are major factors affecting the operational effectiveness of air defense missile weapon system．This assessment model can provide reference value in optimizing disposition of air defense troops and improving performance of weapon system.

air defense missile weapon system；operational effectiveness assessment；target finite waiting；failed serving；flying away intensity；effective service intensity

2016-07-20；

2016-09-06

陳金宏(1985-),男,福建福州人。博士生,主要研究方向為海軍戰術應用理論。

通信地址：210016 江蘇省南京市玄武區半山園21號研究生2隊 E-mail：cjh5666083@163.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.03.003

TJ761.1；E844

A

1009-086X(2017)-03-0013-09