平面六邊形運動學優化設計與分析

王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京 100044）

平面六邊形運動學優化設計與分析

王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京 100044）

基于平面六邊形的分析，提出了平面六邊形靜運動學優化分析。首先我們從靜力學入手，采用窮舉法對六邊形的步態進行初步分析，并且給出了優化的三個指標，分別為節能性、速度性和穩定性，通過這三個方面，對平面六邊形的步態優劣進行分析。從靜運動學考慮到動力學的分析，根據實時zmp判斷其是否存在翻倒步態。通過三個方面的綜合考量得出最終優化后的步態，再考慮其可行性。

平面六邊形機構；靜運動學；優化指標；滾動機構

六邊形相對于四邊形，離近似圓形的狀態接近，所以不必和四邊形機構一樣只能依靠滾動模式向前運動，六邊形通過角度的變化，可以實現滾動與類履帶式穩定運動的結合。本文主要深入剖析-六邊形的運動模式，并給出足夠的數據分析。我們通過運動學正解與反解給出六邊形一定的幾何規律，并以此作為基礎，對各個指標進行準確的計算，從理想假定的優化情況對所舉列出的所有步態進行綜合考量，得出近似的符合條件的運動模式。再通過計算更加精確地得出每一步所需角度變化，最后通過數據反推計算和仿真模擬確定方案的正確性。

1 六邊形的靜運動學分析

1.1 運動學正解

靜運動學的正解主要是基于質心和各個角度的關系，通過向量的求解，在給出任意角度時給出其質心的位置。

對于任意的六邊形，存在限制方程，即x、y方向上的向量和為零，故給出三個角度即可準確確定其質心的位置。

2 六邊形的動力學分析

2.1 拉格朗日函數求解驅動力矩的確定

在得到最優步態后，需要求解出最優步態下對應的驅動力矩來實現目標運動。

首先求解出各桿件的角速度。

由矢量方程：

我們得到：

求解出各桿件的角速度后利用拉格朗日方程求解驅動力矩：

各桿件具有相對地面運動的動能與各構件之間相對轉動的動能。所以整個系統的動能可以寫出為：

公式中各數據均可由解析法分析六桿機構得出。

描述整個構件的勢能時，選取桿1所在的平面（即水平面）為零勢能面，則勢能函數為：

將動能函數（3）與勢能函數（4）代入拉格朗日函數（1）后可求得：

可見為了實現相應的運動步態我們能求出對應的驅動力矩，證明了運動步態的可實現性。

2.2 ZMP點的求解

ZMP準則可以判斷機構的穩定性，對于平面六連桿機構，可采用ZMP準則判定其是否翻倒，ZMP的計算公式為：

當ZMP點在機構支撐范圍內，機構不會發生傾倒；ZMP點在機構支撐范圍外，機構將發生傾倒。

3 基于速度、能量、平穩性指標下的優化

3.1 節能性步態優化

在窮舉法的判定中，我們得出六邊形轉變為五邊形最優的步態為如下：

在此優化條件下，可以根據靜運動學中關于質心的正解，以每個角度運動速度為勻速過程，給出運動過程中微量變化后質心的圖像，如下圖1所示。

由圖像可以得出質心的變化范圍在0.866l～0.94l之間，較為穩定。

3.2 穩定性步態優化

穩定最優，我們給定的判斷條件是，質心在y方向上的變化量△y 為最小時，判定其穩定性最優，機構在運動中與地面的沖擊力越小，穩定性能越好。

圖1

我們將運動模型進行理想化分析，假定在一個步態的運動過程中，質心y的值始終保持在同一直線上。以x=0.5l；y=0.866l，即正六邊形為起始狀態，采用靜運動學中關于質心的反解，得出各個角度的對應值。所得如圖2所示。

圖2

初步帶入數值進行驗證，xc=0.5l時各個角度相交于120°，判定曲線大致正確，再運用曲線的擬合得出每個角度的變化情況。

4 結語

（2）基于給定的指標，給定了對應的最優步態，并通過動力學的計算驗證了運動的可實現性，通過模擬仿真驗證步態的正確性。

（3）六桿機構應用領域廣泛，研究出的步態具有可實現性。同時平面運動步態的研究為相應的空間運動步態研究打下基礎。

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