平面六邊形運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析

王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044）

平面六邊形運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析

王煒堃，江錄春，高大偉

（北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044）

基于平面六邊形的分析，提出了平面六邊形靜運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化分析。首先我們從靜力學(xué)入手，采用窮舉法對(duì)六邊形的步態(tài)進(jìn)行初步分析，并且給出了優(yōu)化的三個(gè)指標(biāo)，分別為節(jié)能性、速度性和穩(wěn)定性，通過這三個(gè)方面，對(duì)平面六邊形的步態(tài)優(yōu)劣進(jìn)行分析。從靜運(yùn)動(dòng)學(xué)考慮到動(dòng)力學(xué)的分析，根據(jù)實(shí)時(shí)zmp判斷其是否存在翻倒步態(tài)。通過三個(gè)方面的綜合考量得出最終優(yōu)化后的步態(tài)，再考慮其可行性。

平面六邊形機(jī)構(gòu)；靜運(yùn)動(dòng)學(xué)；優(yōu)化指標(biāo)；滾動(dòng)機(jī)構(gòu)

六邊形相對(duì)于四邊形，離近似圓形的狀態(tài)接近，所以不必和四邊形機(jī)構(gòu)一樣只能依靠滾動(dòng)模式向前運(yùn)動(dòng)，六邊形通過角度的變化，可以實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)與類履帶式穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的結(jié)合。本文主要深入剖析-六邊形的運(yùn)動(dòng)模式，并給出足夠的數(shù)據(jù)分析。我們通過運(yùn)動(dòng)學(xué)正解與反解給出六邊形一定的幾何規(guī)律，并以此作為基礎(chǔ)，對(duì)各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，從理想假定的優(yōu)化情況對(duì)所舉列出的所有步態(tài)進(jìn)行綜合考量，得出近似的符合條件的運(yùn)動(dòng)模式。再通過計(jì)算更加精確地得出每一步所需角度變化，最后通過數(shù)據(jù)反推計(jì)算和仿真模擬確定方案的正確性。

1 六邊形的靜運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

靜運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解主要是基于質(zhì)心和各個(gè)角度的關(guān)系，通過向量的求解，在給出任意角度時(shí)給出其質(zhì)心的位置。

對(duì)于任意的六邊形，存在限制方程，即x、y方向上的向量和為零，故給出三個(gè)角度即可準(zhǔn)確確定其質(zhì)心的位置。

2 六邊形的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 拉格朗日函數(shù)求解驅(qū)動(dòng)力矩的確定

在得到最優(yōu)步態(tài)后，需要求解出最優(yōu)步態(tài)下對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。

首先求解出各桿件的角速度。

由矢量方程：

我們得到：

求解出各桿件的角速度后利用拉格朗日方程求解驅(qū)動(dòng)力矩：

各桿件具有相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與各構(gòu)件之間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。所以整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能可以寫出為：

公式中各數(shù)據(jù)均可由解析法分析六桿機(jī)構(gòu)得出。

描述整個(gè)構(gòu)件的勢(shì)能時(shí)，選取桿1所在的平面（即水平面）為零勢(shì)能面，則勢(shì)能函數(shù)為：

將動(dòng)能函數(shù)（3）與勢(shì)能函數(shù)（4）代入拉格朗日函數(shù)（1）后可求得：

可見為了實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)步態(tài)我們能求出對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩，證明了運(yùn)動(dòng)步態(tài)的可實(shí)現(xiàn)性。

2.2 ZMP點(diǎn)的求解

ZMP準(zhǔn)則可以判斷機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性，對(duì)于平面六連桿機(jī)構(gòu)，可采用ZMP準(zhǔn)則判定其是否翻倒，ZMP的計(jì)算公式為：

當(dāng)ZMP點(diǎn)在機(jī)構(gòu)支撐范圍內(nèi)，機(jī)構(gòu)不會(huì)發(fā)生傾倒；ZMP點(diǎn)在機(jī)構(gòu)支撐范圍外，機(jī)構(gòu)將發(fā)生傾倒。

3 基于速度、能量、平穩(wěn)性指標(biāo)下的優(yōu)化

3.1 節(jié)能性步態(tài)優(yōu)化

在窮舉法的判定中，我們得出六邊形轉(zhuǎn)變?yōu)槲暹呅巫顑?yōu)的步態(tài)為如下：

在此優(yōu)化條件下，可以根據(jù)靜運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)于質(zhì)心的正解，以每個(gè)角度運(yùn)動(dòng)速度為勻速過程，給出運(yùn)動(dòng)過程中微量變化后質(zhì)心的圖像，如下圖1所示。

由圖像可以得出質(zhì)心的變化范圍在0.866l～0.94l之間，較為穩(wěn)定。

3.2 穩(wěn)定性步態(tài)優(yōu)化

穩(wěn)定最優(yōu)，我們給定的判斷條件是，質(zhì)心在y方向上的變化量△y 為最小時(shí)，判定其穩(wěn)定性最優(yōu)，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)中與地面的沖擊力越小，穩(wěn)定性能越好。

圖1

我們將運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行理想化分析，假定在一個(gè)步態(tài)的運(yùn)動(dòng)過程中，質(zhì)心y的值始終保持在同一直線上。以x=0.5l；y=0.866l，即正六邊形為起始狀態(tài)，采用靜運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)于質(zhì)心的反解，得出各個(gè)角度的對(duì)應(yīng)值。所得如圖2所示。

圖2

初步帶入數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，xc=0.5l時(shí)各個(gè)角度相交于120°，判定曲線大致正確，再運(yùn)用曲線的擬合得出每個(gè)角度的變化情況。

4 結(jié)語(yǔ)

（2）基于給定的指標(biāo)，給定了對(duì)應(yīng)的最優(yōu)步態(tài)，并通過動(dòng)力學(xué)的計(jì)算驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)的可實(shí)現(xiàn)性，通過模擬仿真驗(yàn)證步態(tài)的正確性。

（3）六桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，研究出的步態(tài)具有可實(shí)現(xiàn)性。同時(shí)平面運(yùn)動(dòng)步態(tài)的研究為相應(yīng)的空間運(yùn)動(dòng)步態(tài)研究打下基礎(chǔ)。

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