基于自適應切空間的MRI圖像配準

劉 薇,陳雷霆

1.電子科技大學 計算機科學與工程學院,成都611731; 2.成都工業職業技術學院,成都 610218)(*通信作者電子郵箱WeiLiu0405@gmail.com)

基于自適應切空間的MRI圖像配準

劉 薇1,2*,陳雷霆1

1.電子科技大學 計算機科學與工程學院,成都611731; 2.成都工業職業技術學院,成都 610218)(*通信作者電子郵箱WeiLiu0405@gmail.com)

微分同胚是一種光滑可逆的變換,在MRI圖像配準中可以保證圖像形變后的拓撲結構保持不變，同時避免出現不合理的物理現象。為了在空間變換中獲得更合理的同胚映射,高維空間中數據的非線性結構被考慮,基于流形學習方法提出一種自適應切空間的MRI圖像配準算法。首先,把MRI數據構造成對稱正定(SPD)的協方差矩陣,然后形成李群;接著,利用樣本點鄰域的局部切空間來表示李群的幾何結構的非線性;接下來,在流形上用自適應鄰域選擇的方法形成的線性子空間去逼近局部切空間,提高切空間的局部線性化程度,從而最大限度地保留流形的局部非線性結構,得到最優的同胚映射。仿真數據和臨床數據的實驗結果顯示,與傳統的非參數微分同胚配準算法相比,該算法在高維稠密形變場上獲得更高的拓撲保持度,最終提高圖像配準精度。

微分同胚;切空間;李群;鄰域選擇;MRI圖像配準

0 引言

正常情況下,配準后的解剖結構圖像與參考圖像應具有相同的拓撲結構,不會產生新的組織,原有的結構不會消失,形變域也不會出現撕裂、折疊、空洞等不合理的物理結構。微分同胚是一種平滑、連續和可逆的變換,能夠使解剖結構圖像變形后的拓撲結構保持不變,在醫學圖像配準中是一個重要的應用。

Marsland等[1]把微分同胚變換看作時變速度場,用測地插值樣條基構造變換;Beg等[2]提出在速度場空間利用基于歐拉-拉格朗日方程的變分方法求解大形變的微分同胚變換,采用梯度下降法更新形變參數;Ashburner等[3]對文獻[2]進行改進,任意時刻的速度場都用初始速度場來表示,配準的每次迭代都利用初始形變值來計算,減少了對內存和外存的要求;Ashburner[4]提出非時變速度場的配準方法,同胚變換構成了復合運算下的李群,將大形變同胚變換分解為一系列小形變來處理,使可逆變換相對容易,并降低計算代價;Janssens等[5]在微分同胚方法中利用累加位移場的可逆性配準對比增強度不同的圖像;Arsigny等[6]借助李群理論提出Log-Euclidean框架,在微分同胚空間里可以對向量場進行分析統計并且能保持變換的可逆性;Vercauteren等[7]基于Demons算法,提出一種非參數微分同胚的Demons配準算法——DD-NP算法,利用李群理論在連續域上進行空間變換,使空間變換具有微分同胚性,從而形變場具有拓撲保持性;閆德勤等[8]在保持圖像的局部和全局流形拓撲結構的基礎上,提出快速微分同胚變換速度場更新方法。

但是,上述方法都沒有考慮高維微分同胚變換空間中數據的非線性結構,高維數據包含更多的結構信息,影響配準結果。針對這個問題,結合流形學習方法[9],本文改進DD-NP配準算法,提出了一種基于自適應切空間的MRI圖像配準方法。首先,構造正定對稱的協方差矩陣,協方差的空間結構是一個高維黎曼流形,一定條件下形成李群;其次,利用樣本點鄰域的局部切空間來表示李群流形的幾何結構的非線性;接下來,由于局部切空間的線性化程度越高, 高維數據流形的非線性結構信息就越豐富, 在空間變換中則可以最大限度上保留流形的局部非線性結構，于是用自適應鄰域選擇的方法形成的線性子空間去逼近局部切空間,更好地在空間變換中保持圖像的拓撲結構,從而提高圖像配準的精度。

1 相關背景

1.1 李群和切空間

流形是一個拓撲空間,微分流形是把m維流形M加上微分結構。李群既是一種微分流形也是一種群。在李群的單位元Id處的切空間構成一個向量空間, 即李代數。為了方便描述,先作如下規定：

1)GL(m)表示m×m矩陣構成的李群；

2)gl(m)表示m×m矩陣構成的李代數(線性向量空間)；

3)log()表示對數映射；

4)exp()表示指數映射。

指數和對數映射可由式(1)進行轉換：

Si=exp(si)；si=log(Si)

(1)

其中:Si∈GL(m),si∈gl(m)。指數映射使m維流形局部同胚于m維向量空間,即李代數零元素的鄰域通過指數函數映射到李群的單位元鄰域,指數映射及其逆映射對數映射都是光滑可逆的同胚映射,如圖1所示。但是在高維流形空間,影響切空間逼近的鄰域大小目前并不清楚[10]。

圖1 李群和李代數之間的映射關系

1.2 正定對稱矩陣和李群

正定對稱的形式有很多,比如區域協方差特征描述子[11]和結構張量[12]。正定對稱結構是包含了豐富結構信息的黎曼流形，但不具有群結構,記Sym+(m)是m×m的正定對稱矩陣構成的流形空間。根據文獻[13],附加式(2)約束則可以形成李群(Sym+,⊙)。

Si⊙Sj=exp(log(Si)+log(Sj))

(2)

2 DD-NP模型

minE(u)=Sim(Ir,If°φ)+Reg(φ)

(3)

其中:Sim(·) 和Reg(·)分別表示相似性函數和正則化函數。式(3)的目的就是尋找一個最優的空間變換φ(Si)=φ(Si,t)。其中：t∈[0,1]；φ(Si,t)是速度流；u是依賴于時間的速度場。φ通過求式(4)的常微分方程可得:

(4)

(5)

在條件exp(u(0))=Id約束下,李代數零點鄰域和李群單位元鄰域的同胚對應關系是唯一的,以保證空間變換的一一映射特性,配準前后的浮動圖像仍保持鄰接關系,使配準后的圖像結構保持拓撲性。

3 基于自適應切空間的配準算法

3.1 自適應鄰域選擇

流形上任一點附近的局部線性結構都能被流形在該點處的切空間描述,切空間是該局部線性化子空間,線性化程度越高,包含的流形的非線性結構越多。算法的目的是在李群流形下,用自適應的鄰域選擇方法[9]去逼近單位元處的切空間。鄰域大小與樣本點的曲率密切相關,流形上曲率是高度變化的,曲率大的樣本點的鄰域應該相對比較小, 而流形上曲率小的樣本點處的鄰域比較大,這樣能更精確地逼近流形的局部幾何結構。

假設李群的單位元Id處切空間是TG,其d維正交基矩陣為T=[τ1,τ2,…,τd],τi∈Rm,i=1,2,…,d,在局部坐標系中,任意樣本點切向量空間(形變場)u可以表示為式(6)的線性組合：

(6)

其中：ui是給定坐標下u的分量,是線性組合系數。

(7)

設U=[u1,u2,…,uk], 且U∈Rd×k,是對應正交基矩陣的局部坐標系:

(8)

U=diag(σ1,σ2,…,σd)VT

(9)

從而有

(10)

以及

(11)

由式(10)和(11)得到鄰域選擇標準式(12):

(12)

3.2 基于自適應切空間配準算法

本文算法步驟如下:

輸入:參考圖像Ir和浮動圖像If。

輸出:配準圖像。

步驟1 對Ir和If中的像素提取對稱正定的圖像特征。

步驟4 設定閾值α∈[0,1], 如果r<α, 則算法結束；否則到下一步。

步驟7 計算李群單位元Id處鄰域所對應的切空間的正交基矩陣T=[τ1,τ2,…,τd],獲得形變場u。

步驟8 通過最小化式(3)中的代價函數得到最優空間變換φ。

4 實驗與分析

為了驗證本文算法的有效性,在仿真數據和臨床數據上對大腦白質和大腦灰質的MRI圖像分別進行實驗,并與DD-NP算法對比。實驗平臺為:3.4GHzCPU,8GBRAM內存,Windows8操作系統,Matlab2012b, 采用C++和Matlab混合編程。評價標準采用可視評估和均方根誤差(RootMeanSquaredError,RMSE)。

4.1 構造正定對稱的圖像特征

對選取的每個樣本像素構造一個136×136的正定對稱的協方差矩陣作為圖像特征。先提取136維局部特征fi,包括128維的SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)描述子、坐標位置(x,y)、灰度值Ii(xy)、灰度值的一階梯度、一階梯度的模和二階梯度,如式(13)所示:

(13)

然后用fi和fi的轉置作外積計算,得到式(14)所示的正定對稱的協方差矩陣:

(14)

為了減少噪聲影響和計算代價,對協方差矩陣形成的高維流形Sym+(m)作PCA降維處理,并在實驗中發現當維數m=126,116,106時,得到的效果最好。

4.2 仿真數據實驗及分析

仿真數據來源于BrainWeb數據庫,灰度值在0～255, 圖像大小為181×217×181。先從數據庫中隨機抽取兩個主體(subject18和subject46),然后實驗分為兩組:第一組從兩個主體的大腦白質圖像中隨機選擇橫斷面,冠狀面和矢狀面各一張,一張作為參考圖像,另一張作為浮動圖像;第二組從兩個主體的大腦灰質圖像中隨機選擇橫斷面,冠狀面和矢狀面各一張,一張作為參考圖像,另一張作為浮動圖像。兩組實驗各進行10次,最后計算每10次實驗的平均RMSE。

圖2～3顯示了不同情況下本文算法最好的可視化結果和DD-NP算法結果的對比。從可視效果的角度,本文算法在這幾種情況下的可視效果明顯優于DD-NP算法。

圖2 仿真數據在大腦白質圖像上的配準結果

圖3 仿真數據在大腦灰質圖像上的配準結果

表1～2對比了在大腦白質和灰質中不同維數和鄰域對應的配準誤差結果，可看出配準的精度不僅和鄰域大小有關，也和流形的維數有關。從三個不同斷面的圖像配準結果可以看到,盡管本文算法有的情況下實驗誤差要比DD-NP算法的誤差大,但是在每一個斷面都能獲得誤差小于DD-NP算法的結果。例如在白質圖像橫斷面的配準中,DD-NP的誤差為2.26,本文算法當維數m=126,k=22;m=116,k=18和m=116,k=20這三種情況下,誤差((表中加粗數據)均小于DD-NP，樣本點非線性結構的投影方向和流形的曲率密切相關，流形上點切方向的曲率反映了曲率沿著切方向的彎曲程度,也就是局部線性化的程度。樣本點的曲率越大,線性化程度越低,所以為了達到高精度的切空間逼近,那么鄰域選取可以較小;在極小主曲率方向的線性化程度最高,鄰域選取可以較大。從圖2～3可看出,冠狀面樣本點的曲率要比橫斷面和矢狀面小,所以選擇較大的鄰域可以得到更好的實驗效果，但是鄰域的選取也會受流形維數的影響。

表1 大腦白質圖像上RMSE對比 mm

表2 大腦灰質圖像上RMSE對比 mm

4.3 臨床數據實驗及分析

數據采集來自西門子核磁共振儀,回波時間TE=2.98 ms, 回波鏈長度ETL=1,反轉時間TI=1 100 ms,重復時間TR=2 530 ms,視野FOV=87.5,圖像大小448×512×192,20個健康主體大腦圖像。隨機抽選4個主體的矢狀面圖像,然后分為兩組:一組用于分割大腦白質,另一組用于分割大腦灰質。每組選一張作為參考圖像,另一張為浮動圖像。

圖4(a)和(b)分別顯示了臨床數據的大腦白質和灰質配準在兩種算法上的對比可視化結果,本文算法的灰質圖像情況下的效果明顯優于DD-NP。圖5顯示在m=116,k=16時，本文算法與DD-NP算法在大腦白質和大腦灰質圖像上的誤差與迭代關系。由于需要在高維空間和切空間之間作映射,本文算法需要更多的迭代次數才能達到收斂。DD-NP算法迭代30次后開始產生收斂,而本文算法需要60次,但是第60次迭代以后本文算法的誤差小于DD-NP算法。

圖4 臨床數據的配準結果對比

圖5 臨床數據中RMSE的對比

5 結語

傳統的微分同胚配準算法沒有考慮高維空間數據的非線性結構;然而, 高維數據流形的非線性結構受局部線性化程度影響。本文利用流形學習方法提出一種基于切空間的配準算法,通過自適應的鄰域選擇更精確地逼近流形的線性切空間,保持流形的非線性結構,使圖像在微分同胚變換中更好地保持拓撲結構。實驗顯示,比起傳統算法,本文算法配準精度有明顯提高。

進一步的工作將關注以下兩點:1)如何減少由于高維空間中的迭代映射造成的計算代價;2)目前在理論上并不清楚多大的鄰域和流形維數能獲得最優結果,算法只能通過枚舉去搜索,如果能找到規律,將大大減少工作量。

References)

[1] MARSLAND S, TWINING C J. Constructing diffeomorphic representations for the groupwise analysis of nonrigid registrations of medical images [J]. IEEE Transactions on Medical Imaging, 2004, 23(8): 1006-1020.

[2] BEG M F, MILLER M I, TROUVA, et al. Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomorphisms [J]. International Journal of Computer Vision, 2005, 61(2): 139-157.

[3] ASHBUMER J, FRISTON K J. Diffeomorphic registration using geodesic shooting and Gauss-Newton optimization [J]. Neuroimage, 2011, 55(3): 954-967.

[4] ASHBUMER J. A fast diffeomorphic image registration algorithm [J]. Neuroimage, 2007, 38(1): 95-113.

[5] JANSSENS G, JACQUES L, DE XIVRY J O, et al. Diffeomorphic registration of images with variable contrast enhancement [J]. Journal of Biomedical Imaging, 2011, 2011: 3.

[6] ARSIGNY V, COMMOWICK O, PENNEC X, et al. A Log-Euclidean framework for statistics on diffeomorphisms[C]// MICCAI 2006: Proceedings of the 9th International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention, LNCS 4190. Berlin: Springer, 2006: 924-931.

[7] VERCAUTEREN T, PENNEC X, PERCHANT A, et al. Diffeomorphic demons: efficient non-parametric image registration [J]. Neuroimage, 2009, 45(1): S61-S72.

[8] 閆德勤, 劉彩鳳, 劉勝藍, 等. 大形變微分同胚圖像配準快速算法[J]. 自動化學報, 2015,4(8):1461-1470.(YAN D Q, LIU C F, LIU S L, et al. A fast image registration algorithm for diffeomorphic image with large deformation[J]. Acta Automatica Sinica, 2015,4(8):1461-1470.)

[9] ZHANG Z, WANG J, ZHA H. Adaptive manifold learning [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2012, 34(2): 253-265.

[10] ARSIGNY V. Processing data in Lie groups: an algebraic approach. application to non-linear registration and diffusion tensor MRI [EB/OL]. [2016- 03- 01]. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00121162/.

[11] TUZEL O, PORUKI F, MEER P. Region covariance: a fast descriptor for detection and classification [C]// ECCV 2006: Proceedings of the 9th European Conference on Computer Vision, LNCS 3952. Berlin: Springer, 2006: 589-600.

[12] GOH A, LENGLET C, THOMPSON P M, et al. A nonparametric Riemannian framework for processing high angular resolution diffusion images (HARDI) [C]// CVPR 2009: Proceedings of the 2009 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Washington, DC: IEEE Computer Society, 2009: 2496-2503.

[13] ARSIGNY V, FILLARD P, PENNEC X, et al. Geometric means in a novel vector space structure on symmetric positive-definite matrices [J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2007, 29(1): 328-347.

[14] TENENBAUM J B, DE SILVA V, LANGFORD J C. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction [J]. Science, 2000, 290(5500): 2319-2323.

This work is partially supported by the Sheng-Bu Industry-Academia-Research Joint Project of Education Department and Science & Technology Department of Guangdong Province (2012A090300001).

LIU Wei, born in 1971, Ph. D. candidate, associate professor. Her research interests include computer vision, medical image processing.

CHEN Leiting, born in 1966, Ph. D., professor. His research interests include image processing, computer graphics, virtual reality.

MRI image registration based on adaptive tangent space

LIU Wei1,2*, CHEN Leiting1

(1. School of Computer Science and Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan 611731, China;2. Chengdu Vocational and Technical College of Industry, Chengdu Sichuan 610218, China)

The diffeomorphism is a differential transformation with smooth and invertible properties, which leading to topology preservation between anatomic individuals while avoiding physically implausible phenomena during MRI image registration. In order to yield a more plausible diffeomorphism for spatial transformation, nonlinear structure of high-dimensional data was considered, and an MRI image registration using manifold learning based on adaptive tangent space was put forward. Firstly, Symmetric Positive Definite (SPD) covariance matrices were constructed by voxels from an MRI image, then to form a Lie group manifold. Secondly, tangent space on the Lie group was used to locally approximate nonlinear structure of the Lie group manifold. Thirdly, the local linear approximation was adaptively optimized by selecting appropriate neighborhoods for each sample voxel, therefore the linearization degree of tangent space was improved, the local nonlinearization structure of manifold was highly preserved, and the best optimal diffeomorphism could be obtained. Numerical comparative experiments were conducted on both synthetic data and clinical data. Experimental results show that compared with the existing algorithm, the proposed algorithm obtains a higher degree of topology preservation on a dense high-dimensional deformation field, and finally improves the registration accuracy.

diffeomorphism; tangent space; Lie group; neighborhood selection; MRI image registration

2016- 08- 15;

2016- 12- 23。 基金項目:廣東省省部級產學研聯合項目(2012A090300001)。

劉薇(1971—),女,四川成都人,副教授,博士研究生,主要研究方向:計算機視覺、醫學圖像處理; 陳雷霆(1966—),男,四川成都人,教授,博士生導師,博士,主要研究方向:圖像處理、計算機圖形、虛擬現實。

1001- 9081(2017)04- 1193- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.04.1193

TP391.4

A