基于壓縮感知的聲納成像信息重建技術研究

劉尚 安效峰 陳明

（杭州應用聲學研究所杭州310023）

基于壓縮感知的聲納成像信息重建技術研究

劉尚 安效峰 陳明

（杭州應用聲學研究所杭州310023）

人類對海洋的探索發現中，由于水下環境復雜使得水下聲數據面臨著高速采集、壓縮和圖像重構的問題。新興的壓縮感知理論提出，能用低采樣率高概率地重構原始信號。論文研究了DCT和DWT兩種變換基對聲納圖像進行稀疏表示，并改進了一種在低采樣率下重建稀疏圖像的測量矩陣，通過仿真實驗論證了該矩陣相對其他矩陣在低采樣率下有效提升了重構圖像質量，為利用少量數據重構水下圖像提供了便利。

壓縮感知；水下圖像重構；測量矩陣

Class NumberU666

1 引言

眾所周知，海洋面積占地球表面積的百分之七十一。近年來隨著地球人口的與日俱增，陸上資源的不斷消耗，海洋資源成為人類目光聚焦的新空間。不僅如此，海洋在各國軍事上的戰略地位也愈發凸顯，沿海國家對于維護國家安全意識也更加強烈。聲納是利用水下聲波對目標進行探測和定位的設備，因而水面艦艇、潛艇、水雷、魚雷、水下暗礁、魚群及其它能發出聲波或產生回波的水下物體，均可以作為聲納的探測目標，聲納成像技術通過圖像可以獲得目標的特征信息，并在此基礎上進行目標的識別和分類。

要實現水下聲圖像的高速傳輸，急需解決的問題是對圖像進行高效的采集、壓縮和圖像重構。壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是近年來新興的一個理論，它打破了奈奎斯特采樣定理的限制，提出用少量數據就能重構出較為理想的信號。本文主要研究壓縮感知理論和聲納圖像重構技術的融合，改進了一種基于壓縮感知的聲納圖像重構的觀測矩陣，通過仿真實驗驗證了該方法在聲納圖像重構中的可行性及高效性。

2 壓縮感知理論架構

由Doho，Cades［1～2］及華裔科學家Tao等提出的壓縮感知理論表示：如果信號通過某種變換（如傅立葉變換，小波變換等）后，是可稀疏表示或可壓縮的，則可設計一個與變換基不相關的測量矩陣測量信號，對得到的測量值求解優化，實現信號的精確或近似重構［3］。聲納成像技術都需要采集大量的數據來進行圖像重構，而CS理論可以直接獲取少量包含絕大部分目標信息的數據，經過重構得到需要的水下圖像。

壓縮感知理論主要包括三部分：一是信號的稀疏表示；二是設計測量矩陣，要在降低維數的同時保證原始信號x的信息損失最小；三是設計信號恢復算法，利用M個觀測值無失真地恢復出信號長度為N的原始信號。

2.1 信號稀疏表示

假設信號x∈RN是空間中的一個N×1維信號，它可以表示為一組標準正交基的線性組合：式中變換系數αi=x，ψi，i=1，2，…，N；α=[α1，α2，…，αN]T是一個Nx1維的變換系數向量。如果公式中僅有K(K?N)個非零系數（或遠大于零的系數）αi時，則稱信號x在基Ψ上是稀疏的（或是可壓縮的），稱Ψ為信號x的稀疏基，K為信號的稀疏度。顯然，向量x和α是同一個信號的等價表示，x是信號在時域（如語音信號）或空域（如圖像信號）的表示，α則是信號在Ψ域的表示。

信號的稀疏表示是CS理論應用的基礎和前提，只有選擇合適的稀疏基來表示信號，才能保證信號的稀疏性，從而保證重構精度。目前常用的稀疏變換［4］有離散傅里葉變換（DFT），離散余弦變換（DCT），離散小波變換（DWT），過完備冗余字典［5］等。

2.2 非相關測量

壓縮感知理論中對稀疏信號x的測量并不是直接測量信號x本身，而是通過非相關矩陣將高維信號x投影到低維空間上。設與信號x或是與變換基Ψ不相關的測量矩陣為Φ，維數為M×N(M＜＜N)，則CS理論的采樣過程可以表示為：

將式（1）代入式（2）中得到

式中，Θ=ΦΨ是M×N的矩陣，又稱為感知矩陣。構造測量矩陣時最重要的是保證圖像投影時能盡可能多地把結構信息等投影到測量矩陣上［6～7］，信

目前常用的重構算法可以簡略歸納為3類：最小l1范數法，貪婪算法，迭代閾值法。其中貪婪算法主要思想是通過迭代計算x的支撐集獲得重構信號，具有低復雜度和簡單幾何運算的優點。文獻［11，13］中描述了主要常用的貪婪算法，包括匹配追蹤MP算法（Matching Pursuit，MP），正交匹配追蹤OMP算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），壓縮采樣匹配追蹤COSAMP算法（Compressive Sampling Matching Pursuit，COSAMP），子空間追蹤SP（Subspace Pursuit）算法以及它們的改進方法。息越完整重建圖像的質量越好［8～9］。同時，選定圖像具有稀疏表達的稀疏基Ψ，且Φ與Ψ越不相關，圖像重建質量越好。文獻［3］給出了兩種隨機測量矩陣：高斯隨機測量矩陣和貝努里測量矩陣。比較常用的還有稀疏測量矩陣、部分哈達瑪測量矩陣、托普利茲矩陣和循環矩陣等。

2.3 信號重構算法

信號的重建［11］是從M維的測量信號y恢復N維原始信號x，由于直接解式（2）的逆問題是一個病態問題，無法求解。但是如果信號x具有稀疏性，式（3）的α中僅有K個非零系數，只要滿足M≥K，即可以通過求解式（3）的逆問題得到稀疏變換信號α，再代回式（1）就可以進一步恢復出原始信號x，重構算法過程如式（4）。

3 隨機測量矩陣研究

一般的托普利茲和循環矩陣具有以下的形式：

其中，T矩陣代表的是托普利茲矩陣，C矩陣表示的是循環矩陣，矩陣元素t是隨機的±1。

這兩種矩陣存在下面的缺點：1）矩陣的組成元素都是隨機向量產生的±1，且獨立的服從貝努利分布，利用行向量通過循環移位生成整個矩陣，元素的重復出現概率較大，容易造成列向量直接具有較大的相關性；2）構造過程采用單一行循環的方式，列向量難以體現矩陣的獨立隨機性。

本文通過改變隨機向量的元素組成和調整部分元素的系數以提高列向量間的非相關性和獨立隨機性，改進和構造了新的測量矩陣——廣義穩健循環矩陣。矩陣的構造過程為：首先隨機生成長度為N、元素為-1和1之間的隨機數向量u=[]

r1，r2，…，rn-1，rn作為測量矩陣的第一行，采用依次循環的方式獲得第二行至第M行，并且在構造過程中剩余的M-1行對每次移到前端的元素乘以一個固定的系數a＞1，保證了列向量之間的線性獨立性。最后對M×N矩陣的列向量歸一化。如此優化處理后的矩陣相比循環矩陣的列向量獨立隨機性增強、而其相關性大大降低。具體形式如式（6）式：

4 聲納圖像的實驗仿真

本實驗中選擇典型的256*256聲納沉船灰度圖像，如圖1所示。對圖像分別采用DCT和DWT變換基Ψ進行稀疏變換，采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣Φ對圖像進行測量得到測量值y，采用正交匹配追蹤OMP算法求解出α后重構出原始圖像。圖1～2是在采樣率為M/N=0.8，M/N=0.5時，利用DCT和DWT變換基對聲納圖像的重構結果。

對于圖像的重建效果，通常采用峰值信噪比（PSNR）作為衡量的標準，PSNR是最普遍，使用最廣泛的評價圖像重建效果的客觀標準，它的定義為

其中，MSE是原圖像和處理圖像之間的均方誤差。由圖1～2及表1可以看出，DCT和DWT變換基在采樣率為0.8時可以高精度的重構出原始聲納圖像。隨著采樣率變小，重構圖像的信息量也隨之減少，重構精度也變小。

表1 聲納圖像重構誤差比較

由初步的聲納圖像重構誤差比較數據可知，DCT變換較DWT變換的重構誤差小。接下來的仿真實驗對源圖像采用DCT變換基Ψ進行稀疏變換，通過采用高斯隨機矩陣、托普利茲矩陣、部分正交矩陣、廣義穩健循環矩陣、哈達瑪矩陣、隨機觀測矩陣等不同測量矩陣Φ得到圖像觀測值，再采用正交匹配追蹤OMP算法重構出原始聲納圖像。具體重構結果如圖3～圖4所示。

仿真實驗結果表明，諸多測量矩陣中托普利茲矩陣和廣義穩健循環矩陣重建后的峰值信噪比略高于其他測量矩陣。隨著采樣率提高，重建圖像的峰值信噪比也增高，重構誤差隨之減小。同時，在低采樣率條件下，本文改進的廣義穩健循環矩陣的圖像重建效果略高于托普利茲矩陣和其他測量矩陣，這為水下圖像稀疏采樣及高速傳輸，壓縮編碼時去冗余信息的方式上提供了新的方向。由試驗數據可知將壓縮感知理論應用于聲納圖像壓縮傳輸和存儲是一項可行的技術，通過改進構造合適的隨機測量矩陣，在少量投影值中包含足夠的原始圖像信息，即可高概率的重建原圖像。

5 結語

制約成像系統發展的瓶頸問題主要是信息采樣，壓縮感知理論為其提供了一種新的思路。本文將壓縮感知的方法運用到聲納圖像的低采樣率重建中，研究了在離散余弦變換和離散小波變換基下聲納圖像的重建效果比較。并根據測量矩陣的隨機性原則，改進了一種稀疏聲納圖像壓縮感知的測量矩陣。通過性能分析和仿真實驗，從視覺效果和圖像PSNR方面可見，稀疏圖像的重建效果和精度都得到一定提高。

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Research for Sonar Image Information Reconstruction Based on Compressed Sensing

LIU ShangAN XiaofengCHEN Ming
（Hangzhou Applied Acoustics Institute，Hangzhou310023）

Humans are faced the problems with high-speed sampling，compressing and image reconstruction due to complex underwater environment in the process of the discovery for oceans.Recently the new theory of compressed sensing is proposed，in which the signal can be reconstructed in high-probability by a low sampling rate.This paper has researched the sparse representation for the sonar image by the conversion called DCT and DWT.It improves a measurement matrix when the sparse image can be reconstructed.Simulation results demonstrate that the matrix can obviously enhance the sparse image reconstruction quality against others，which provides convenience for the reconstruction by using less data.

compressed sensing，under image reconstruction，measurement matrix

U666

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.06.030

2016年12月19日，

2017年1月23日

劉尚，男，碩士，助理工程師，研究方向：聲納信息處理。