一類非線性偏微分方程的數值求解

李穎

【摘 要】 采用有限差分法求解一類特殊的非線性拋物型偏微分方程。非線性微分方程通常采用隱式方法求解，對微分方程進行簡化后可以進行顯示求解。當非線性方程含有的冪次較高時，依然可以給出較為精確的結果。最后，給出了幾種特殊情形的結果，結果表明程序在不同參數下依然有效。

【關鍵詞】 非線性偏微分方程；有限差分法；數值解

【中圖分類號】 G64.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）13-0-02

引言：

偏微分方程可以用來描述真實世界的實際問題。簡單的拋物型偏微分方程即熱傳導方程有效地表征了物體內溫度隨著時間的演化過程與溫度分布。對于具有簡單邊界條件的偏微分方程，解析解可以通過分離變量法或拉普拉斯變化得到[1]。由于問題本身的復雜性，非線性偏微分方程目前主要采用數值方法求解且沒有統一的求解方法。因此，針對非線性微分方程的特點選取合理的求解方法是十分重要的。有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的數值方法之一。基于有限差分法，目前已有很多學者針對偏微分方程的數值求解展開了相關研究[2-4]，如：二維波動方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一類非線性微分方程時的穩定性問題[6]。

1 一類非線性偏微分方程的化簡

驗證的例子中選取冪指數。當冪指數增大時，方程的非線性會增強，因此選取的時間步長也應相應的減小。需要指出的是，對于這類特殊的非線性微分方程，冪指數應該選取偶數，當選擇奇數時計算會出現不收斂。為簡化計算，和分別取為-1和1。數值計算中將整個區間劃分為100個網格，時間步長為且函數取為1。

2 數值結果

圖1給出函數值隨值的變化規律，其中。從圖1中可以發現，函數值在處有較為明顯的轉折。即使當值取值為51時，程序依然能夠很好的收斂。

3 結束語

本文針對一類特殊的非線性拋物型偏微分方程，對方程簡化后利用有限差分法對微分方程進行了數值求解。數值結果表明對于該類特殊的非線性微分方程，普通的顯示方法依然可以得到較高的精度。最后給出了幾種不同的條件下的數值結果驗證了程序的通用性。本文的方法對求解類似非線性偏微分方程有一定的借鑒意義。

參考文獻：

[1]顧樵.數學物理方法[M].北京：科學出版社，2012.

[2]池永日.一類高精度非線性延遲拋物偏微分方程的緊差分格式[J].延邊大學學報：自然科學版，2010，36（4）：287-290.

[3]潘樹龍，孫維夫.拋物型偏微分方程的多步有限差分法計算方法[J].煙臺職業學院學報，2011，17（1）.

[4]張文生.科學計算中的偏微分方程有限差分法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]任軍號，解丹蕊.二維波動方程的一種高精度緊致差分方法[J].計算機應用研究，2012，29（6）：2112-2113.

[6]徐琛梅.一類非線性偏微分方程差分格式的穩定性分析[J].江西科學，2008，26（2）：245-247.