數學復習中的分類歸納

溫紅梅

（山西省翼城縣匯豐學校）

對于中學生來說，數學作為一門基礎學科，尤為重要。隨著翼城縣教育科技文化局開展的教學研究活動的廣泛推進，作為匯豐學校一名教師，收益不少。認識到“數學沒有新課，新課就是復習課”，也就是說數學知識點很簡單，但是簡單的知識點卻能變換出形形色色的不同習題。因此，數學難學點在于利用知識點靈活地解決問題，相反大多數人信“熟能生巧”，大搞題海戰術，雖能有效提高解決問題的能力，但卻是非常的辛苦，更有一些學生因為單純做題，缺乏思考，雖夜夜苦熬做題，卻收效甚微，苦不堪言。下面我就幾個例題來說明我所說的教學方法。

一、用轉化思想，做透基礎習題

將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思想的過程，選擇運用數學的方法進行交換，除簡單的數學基礎問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的，轉化思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程，數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，函數與方程的轉化，無限向有限的轉化等，都是轉化思想的體現。

做好基礎習題達到熟練的程度，扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯想，機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；培養訓練自己自覺的轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動且有意識地去發現事物之間的本質聯系。

例1.如圖1，在邊長為9的等邊三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，求AE的長。

這個習題應該算是一個較為簡單的習題了，本題中由于∠B=∠C=∠ADE=60°，可以得出∠1+∠2=120°，又∠1+∠3=120°，進而推到∠2=∠3，△ABD∽△DCE，最終利用相似三角形的性質解決問題，對于這類基礎性習題我們就應當掌握定理概念一樣，從解決思路方法上牢固掌握。

二、用分類思想，討論歸納方法

數學問題比較復雜時，有時可以將其分割成若干個小問題或一系列步驟，從而通過問題的局部突破來實現整體解決，正確應用分類思想，是完整接替的基礎。而在學業考試中，分類思想也貫穿其中，命題者經常利用分類討論題來加大試卷的區分度，很多壓軸題也都設計分類討論。在我校數學教研組討論時，初二（8）班的張老師體會是：我們常常需要根據研究隊形性質的差異，分不同情況進行解決，這種分類思考的方法是一種重要的數學思想方法的解題策略，掌握分類的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解，提高解決問題的能力十分重要。初三（3）班的李教師體會是：數形結合思想方法是我在教學中常用的思想方法。數是形的抽象概括，形是數的直接表現形式，用數形結合的思想解題可分兩類：一要利用幾何圖形直觀表示數，它常借用數軸、函數圖象等；二要運用數量關系來研究幾何圖形，常需要建立方程（組）或建立函數關系式等。

例2.如圖2，在矩形ABCD中，EF分別是CD、BC邊上的點，若∠AEF=90°，則一定有（ ）。

A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF

C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF

分析，因為∠AEF=90°，所以∠1+∠2=90°，又∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，因此可得出△ADE∽△ECF。

例1和例2兩個習題，一個是三角形，另一個是矩形，但是解題方法上不難看出完全相同，因此，我們可將這兩種習題歸為一類，圖形特點為在同一條直線上分布有三個相同角，最終結果它有兩個相似三角形，最終利用相似解決問題。

三、用觀察思想、拓展圖象信息

在2017年山西省中考數學研討會中，我們組總結了以下幾點：

（1）圖象信息題是指由圖象（表）來獲取信息，從而達到解題的目的。（2）圖象信息題的圖象可分兩類。一是教材介紹的基本函數圖象（如直線、拋物線、雙曲線）；二是不同的習題描繪的不規則圖象（如折線型、統計圖表等）。這種題型一般是由圖象給出的數據信息，探求兩個變量之間的關系，進行數、形之間的互換。（3）圖象信息題大致有三類：基本概念類、基礎綜合類和壓軸綜合類，題型可涉及選擇等，迷惑性很大。（4）解圖象信息題的關鍵是“識圖”和“用圖”，解這類題的步驟是：①觀察圖象，獲取有效信息；②對已獲信息進行理性分析，理清各變量之間的關系；③選擇適當的數學工具，恰當解決問題。（5）圖象信息題的解決方法是觀察圖象，從圖象給我們提供的已知條件了解，認真分析，由圖象信息分析出有關函數解析式，揭示問題的數學關系和本質屬性，找到了解題的途徑。

例3.如圖3，直線y=-3/4x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿BA邊向終點A運動，同時點Q以相同的速度從坐標原點出發沿OB邊向終點B運動，設點P運動的時間為t。

在點P、Q運動的過程中，是否存在點N，便得以點AP、QN為頂點的四邊形為矩形？若存在，求t的值，并直接寫出N的坐標，若不存在，請說明理由。

這道題需要分類討論，就有一定難度了，這道題有三種情況，其中一種如圖，所構建的圖形是否似曾相識呢？

再偉大的建筑也是由一磚一瓦建起來的，再復雜的習題也是由基礎題構建而成的。只要我們基礎扎實，肯抽象歸納，再復雜的習題也會迎刃而解的。

編輯 溫雪蓮