非線性共振聲譜法分析非對稱邊界條件下的一維缺陷

劉曉宙劉杰惠毛一葳何愛軍

（1.近代聲學教育部重點實驗室，南京大學聲學研究所 南京 210093）

（2. 南京大學 電子科學與工程學院 南京 210093）

非線性共振聲譜法分析非對稱邊界條件下的一維缺陷

劉曉宙1劉杰惠1毛一葳1何愛軍2

（1.近代聲學教育部重點實驗室，南京大學聲學研究所 南京 210093）

（2. 南京大學 電子科學與工程學院 南京 210093）

線性共振聲譜法可以用來檢測含有線性彈性張量的物體缺陷，根據共振頻率偏移、幾何形狀和密度共同確定在樣本中的位置。但是如果是微小缺陷，應力和應變會呈現非線性關系，因此非線性共振聲譜法是通過研究振幅和共振頻率的關系來確定缺陷的位置和非線性的程度。本文采用非線性共振聲譜法分析非對稱邊界條件下的缺陷，給出非對稱邊界經典非線性和非經典非線性下的共振頻率偏移及高次諧波表達式，并且數值模擬結果表明此方法可以清楚分辨左、右缺陷的位置。

非對稱邊界 非線性共振聲譜法 非經典非線性 經典非線性

超聲檢測法的優點是穿透能力較大，對平面型缺陷如裂紋、夾層等，探傷靈敏度較高，并可測定缺陷的深度和相對大小，設備輕便，操作安全，易于實現自動化檢驗。缺點是不易檢查形狀復雜的工件，要求被檢查表面有一定的光潔度，并需有耦合劑充填滿探頭和被檢查表面之間的空隙，以保證充分的聲耦合。對于有些粗晶粒的鑄件和焊縫，因易產生雜亂反射波而較難應用。此外，超聲檢測還要求有一定經驗的檢驗人員來進行操作和判斷檢測結果。

超聲無損評價有線性和非線性兩種評價方法，其中線性方面的研究在國內外比較多，也取得了一定成果并應用于生產檢測中。而非線性檢測則是近些年才發展起來的，受到許多科學工作者關注的一種新方法。線性方法是相對較為傳統的檢測技術，主要有超聲導波技術、聲發射新技術、新型非接觸超聲換能方法及超聲信息處理與模式識別等方法。導波技術對材料的SH模式導波、蘭姆波、棒中導波等的簡要分析來進行無損檢測。管狀結構是超聲導波可發揮其特長的對象，用該技術可對各種管道進行長距離一次性檢測。聲發射技術是一種被動式檢測技術，至今仍用于導彈殼體與潛艇的水壓試驗，以此對構件的安全性能與失效行為進行動態監測與評價。還有一種新型的非接觸超聲換能方法，主要有電磁聲方法、靜電耦合方法、空氣耦合及激光超聲方法，由于傳統的方法需要使用耦合劑或采用水浸法來減少超聲波在空氣中的損失，因此許多物品不能用傳統方法檢測，這時就需要用非接觸超聲檢測，它具有非接觸，非侵入，完全無損的特點，使該技術有很好的應用前景。而在檢測中的數字信號處理和數字識別能分離一些復雜的信號，減少許多誤差。

長期以來，在研究聲學的各種問題時，一直都是在線性聲學的理論框架內進行和發展的。然而，在某些情況下，基于線性聲學理論下的結果會帶來較大誤差，出現用線性聲學無法解釋的非線性現象。因此，在近年來，非線性聲學得到科學家的廣泛關注并獲得快速發展。

非線性聲學是一門既古老又年輕的學科，隨著非線性聲波信息價值的不斷被發現，基于非線性聲學的材料缺陷檢測技術已獲得越來越多的應用[1]。疲勞會使材料內部發生微結構的變化即出現不均勻性，并由于裂紋的萌生而存在大量界面，最近的理論和實驗研究表明，所有這些都會對聲二次諧波的非線性激發作出貢獻，因此有理由認為，材料的非線性聲學特性將隨材料疲勞程度的不同而明顯變化，非線性二次諧波激發技術是一種很有前途的無損疲勞檢測方法[2]。

在二階近似的條件下，固體的非線性是用若干個三階彈性常數來描述的，對于各向同性的彈性體而言，有三個獨立的三階彈性常數。三階或更高階彈性常數是表征固體性質的宏觀參數，它不但與固體結構有緊密的聯系，而且將成為缺陷、疲勞等無損評價的新參數。裂紋的經典非線性效應是對裂紋的應力應變關系按照冪級數展開而得到的[3]。筆者分析彈性滯后效應及其本構方程，定性地講，彈性之后類似于錯位的Granato-Lucke滯后效應[4]。非線性效應不僅可以描述彈性滯后效應，還可以描述非彈性滯后效應。此類非線性效應與經典非線性效應有一個顯著的區別在于，由滯后效應所引起的各個高次諧波的大小與基波的幅度成平方關系，而經典非線性效應中，第n次諧波與基波成n次方的關系。由此，可以很容易地判斷裂紋所表現出的非線性關系為經典的還是非經典的。其他的裂紋非線性應力應變關系還包括雙線性應力應變關系[5]，目前，對此類非線性應力應變關系有很廣泛的研究，但是其缺點是其理論預言不會產生奇次諧波，而實驗中卻發現三次諧波的存在。對固體的非線性現象引起人們極大的興趣，因為一來可以對這些固體的聲非線性的機制進行研究，還有望利用這些非線性方法來進行無損檢測。這些方法的可行性是基于聲特性與結構的缺陷有很強的依賴性。這些材料對聲的非線性響應是對缺陷程度的很好的反映，特別是巖石和混凝土材料表現出的非線性和滯后效應與一般或完好的材料相比有很大的不同[6]。共振聲譜法是由Migliori[7]等發展起來的，此技術是基于測量共振峰的頻率，它與自由懸掛的固體的密度、彈性模量、形狀有關。非線性共振聲譜法探討和分析振幅與共振頻率的依賴性，并利用這些信息來表征缺陷的位置和非線性的程度。這方面的例子有單模式的非線性共振譜法[8]，非線性波調制譜法[9]。劉曉宙等采用非線性方法對固體中的裂紋進行了系統地研究[10-15]，Van Den Abeele將非線性共振譜法推廣到多模式的共振譜，主要是考慮模式之間的相互作用[16]，然而他所提出的方法無法解決對稱問題，即無法判斷缺陷是位于左端還是右端。本文筆者擴展此方法來解決這一問題，即采用一端自由，一端固定的邊界條件，研究共振頻率的偏移和經典、非經典非線性所引起的高頻振幅。筆者發現這樣拓展的非線性共振聲譜法可以區分棒中左、右兩端的缺陷。

1 理論

可以假設一均勻介質棒（棒的長度為L, 密度為ρ，聲速為c）內存在缺陷(缺陷的長度為d,離聲源的距離為xd)(見圖1)。

圖1 共振棒的幾何示意

應力σ和應變ε的關系為:

式中：

ε=?xu；

Δε —— 應變的幅度；

K —— 線性強度系數；

α —— 滯后非線性的強度；

β、δ —— 三階和四階彈性常數的組合代表經典非線性。

對兩端自由的棒而言，對于經典非線性，共振頻率的偏移與應變的平方成正比。然而筆者發現決定共振頻率偏移的系數是關于棒中點對稱的，所以此方法無法分辨缺陷是位于左邊還是右邊。對于非經典非線性而言，共振頻率的偏移與應變成正比，而且也是關于棒中點對稱。

在有外力作用下F，考慮衰減后的位移u(x,t)的波動方程[16]可以表示為：

尋求方程(2)的解，將u分解為變量x和時間t的函數的乘積。

這里 {ψi（x)},i=-∞，...，+∞是一系列的空間函數，{zi(t)},i=-∞，...，+∞為一系列的時間函數。

一端自由和一端固定的邊界條件為：

本征值為：

本征函數為：

將式（1）代入式（2）可得如下方程：

這里：

1.1 經典立方非線性的解

m模式振幅所滿足的方程為：

這里：

因此，當響應振幅最大時的共振頻率可以近似表示為：

因此：

圖2(a)～圖2(d) 來源于立方非線性缺陷的非線性參數C1,2m+1隨缺陷位置的變化。

(a) C1,1—— 基波模式激發(m=0)；

(b) C1,3—— 第二模式激發(m=1);

(c) C1,5—— 第三模式激發(m=2);

(d) C1,7—— 第四模式激發(m=3)。

圖2 比例系數C1,2m+1與缺陷位置的關系

由圖2可見不同于兩自由邊界，C1,1在Xd=L處最大，而且C1,2m+1不再以中心為對稱。

m模式附近的正弦激發的諧波的振幅：

三次諧波滿足如下方程：

設：z3m=A3mcos(3Ωt+φ3m)經計算可得：

這里：

可得到系數C3,2m+1,C5,2m+1:

圖3立方非線性引起的非線性參數C3,2m+1和 C5,2m+1隨共振棒中的缺陷位置的變化。

(a) C3,1——基波激發（m=0)；

(b) C3,3——第二模式激發 (m=1)；

(c) C5,1——基波激發（m=0)；

(d) C5,3——第二模式激發 (m=1)。

圖3 比例系數C3,2m+1和C5,2m+1與缺陷位置的關系

假定非線性為小量，共振頻率可以表示為:

這里：

由圖3可見C3,2m+1和C5,2m+1不再以棒的中點為對稱。

1.2 非經典非線性的解

zm應滿足如下方程：

圖4 比例系數X3,2m+1和X5,2m+1與缺陷位置的關系

圖4來源于滯后非線性的參數X1,2m+1隨共振棒中的缺陷的位置變化。

(a) X1,1——基波激發（m=0)；

(b) X1,3——第二模式激發 (m=1)。

從圖4可以看到：X1,1與C1,1形狀類似，但它們的值比C1,1要小得多。

同樣在共振模式 ωm附近的三次和五次應變振幅可表示為：

圖5(a)～圖5(d)來源于滯后非線性的參數X3,2m+1和X5,2m+1隨共振棒中的缺陷的位置變化。

(a) X3,1——基波激發（m=0)；

(b) X3,3——第二模式激發 (m=1);

(c) X5,1——基波激發(m=0)；

(d) X5,3——第二模式激發(m=1)。

由圖5可見，X3,2m+1與C3,2m+1很相似，而X5,2m+1與C5,2m+1顯著不同。

1.3 整體多模式非線性共振聲譜法

對于以上的分析和計算，對任意特別模式的局部缺陷（不管是經典還是非經典），共振頻率的偏移與在這一模式下的應變呈線性或平方關系。

因此可以寫下如下的表達式：

定義靈敏度函數：

這里：

為驗證多模式的共振聲譜法，假定棒中存在兩個缺陷，一個為滯后非線性缺陷（α?=2000，d=L/50），位于50mm處，一個為經典的立方非線性缺陷（=-105，d=L/100），位于72mm處。圖8說明靈敏度函數沿著棒中位置的空間分布，黑色代表預見的缺陷。圖8可見明顯的缺陷，位置與預計的一致，值得注意的是共振模式越多，缺陷的位置就越明顯和精確。

為證明此方法可以區別左、右兩端的缺陷，假定棒中有兩個缺陷，一個在左端（α?=2000，d=L/50），一個在右端（=-105，d=L/100），位置分別為50mm和220mm, 結果見圖9，圖中明顯可見左、右兩個缺陷，因此此方法可以清楚區別左、右兩邊的缺陷，比兩端自由邊界條件的方法要好。

圖6 靈敏度函數Ym隨模數的變化

圖7 靈敏度函數隨模數的變化

圖8 多模式的非線性共振聲譜法重建含有左邊兩個局部缺陷的棒：一個滯后非線性和一個經典的立方非線性

圖9 多模式的非線性共振聲譜法重建含有左、右兩個局部缺陷的棒：一個滯后非線性和一個經典的立方非線性(M=100)

2 結論

本文將多模式的非線性共振譜法拓展到非對稱邊界（一端自由和一端固定）。得到有經典和非經典非線性的缺陷棒中的共振頻率偏移和高次諧波的表達式。筆者發現此方法可以識別兩端自由邊界條件下無法識別的左、右兩邊的缺陷，此方法還可以將靈敏度函數擴展到高維（二維和三維）。

[1] 劉曉宙，朱金林，尹昌，等．巖石等非線性介觀彈性固體材料的諧波特性的超聲研究[J]．物理學進展，2006，26(3)：386-389.

[2] Solodov I，Wackerl J，Pfleider K，et al．Nonlinear self-modulation and subharmonic acoustic spectroscopy for damage detection and location[J]．Applied physics letters, 2004，84(26)：5386-5388.

[3] Cleofé Campos-Pozuelo，Christian Vanhille，Juan A. Gallego-Juárez，Nonlinear Elastic Behavior and Ultrasonic Fatigue of Metals[J]．Universality of Nonclassical Nonlinearity，2006，3：443-465.

[4] Nazarov V E，Kolpakov A B，Radostin A V．Amplitude Dependent Internal Friction and Generation of Harmonics in Granite Resonator[J]．Acoustical Physics，2009，55(1)：100-107.

[5] Debaditya Dutta，Hoon Sohn，Kent A．Harries，et al．A Nonlinear Acoustic Technique for Crack Detection in Metallic Structures[J]．Structural Health Monitoring，2009，8(3)：251-262．

[6] Nazarov V E，Ostrovsky L A，Soustova I A，et al．Nonlinear acoustics of microhomogeneous media[J]. Phys. Earth Planet. Inter, 1988, 50: 65-73．

[7] Migliori A，Sarrao J L．Resonant Ultrasound Spectroscopy: Applications to Physics，Materials Measurements and Nondestructive Evaluation[M]．Wiley：New York，1997.

[8] Nazarov V E，Ostrovskii L A，Soustova，I A，et al．Anomalous acoustic nonlinearity in metals[J]．Akust．Zh，1988，34：491-499．[English transl.: Sov．Phys．Acoust．1988，34，284-289].

[9] Antonets V A，Donskoy D M，Sutin A M. Nonlinearvibrodiagnostics of flaws in multilayered structures[J]．Mech．Compos．Mater，1986，15：934-937.

[10] Yulin Feng，Xiaozhou Liu，Jiehui Liu，et al．The nonlinear propagation of acoustic waves in a viscoelastic medium containing cylinder micropores[J]. Chinese Physics B，2009，18(9)：3909-3917.

[11] Dao Zhou，Xiaozhou Liu，Xiufen Gong，et al．Damage diagnostics of concrete by using non-classical nonlinear acoustics means[J]. Chinese Physics B，2009，18(5)：1989-1995.

[12] 朱金林，劉曉宙，周到，等．聲波在有裂紋的固體中的非經典非線性聲傳播[J]．聲學學報，2009，34(3)：234-241.

[13] Li Quan，Xiaozhou Liu，Xiufeng Gong．Nonlinear nonclassical acoustic method for detecting the location of cracks[J]．Journal of Applied Physics，2012，112：054906.

[14] Jinlin Zhu, Ying Zhang, Xiaozhou Liu. Simulation of multi-cracks in solids using nonlinear elastic wave spectroscopy with a time-reversal process[J]．Wave Motion，2014, 51：146-156.

[15] Zhang Lue，Zhang Ying，Xiaozhou Liu，et al．Multi-cracks imaging using nonlinear nonclassical acoustic method[J]．Chinese Physics B，2014，23(10)：104301.

[16] Van Den Abeele K．Multi-mode nonlinear resonance ultrasound spectroscopy for defect imaging: An analytical approach for the one-dimensional case[J]. J．Acoust．Soc．Am．，2007，122(1)：73-90.

[國家重點研發計劃（批準號：2016YFF20300)]

[國家自然科學基金項目（批準號11274166，11474160）]

[聲場聲信息國家重點實驗室開放課題研究基金（批準號：SKLOA201609）]

Nonlinear Acoustic Resonance Spectroscopy Analysis of One Dimensional Defects under Non-symmetric Boundary

Liu Xiaozhou1Liu Jiehui1Mao Yiwei1He Aijun2
(1. Key Lab of Modern Acoustics, MOE, Institute of Acoustics, Nanjing University Nanjing 210093) (2. School of electronic science and engineering, Nanjing University Nanjing 210093)

Linear acoustic resonance spectroscopy method can be used to determine the position of the defects with linear elasticity tensors, which is dependent on the shift of the resonant frequency, geometric shapes and densities of the sample. But if there is a minor defect, there will be a nonlinear relationship between stress and strain, so the position and the extent of the defects can be determined through the relationship between the amplitude and the resonance frequency by nonlinear acoustic resonance spectroscopy. In this paper, using nonlinear resonance ultrasound spectroscopy to analysis the defects with non-symmetric boundary conditions, the expression of the shift of resonance frequency and the amplitude of the high harmonics are given under classical nonlinearity and non-classical nonlinearity, and the numerical simulation results show that this method can be used to clearly distinguish the left and right locations of the defects.

Non-symmetric boundary Nonlinear acoustic resonance spectroscopy Non-classical nonlinearity Classical nonlinearity

X924

B

1673-257X(2017)05-0019-07

10.3969/j.issn.1673-257X.2017.05.005

劉曉宙(1966～)，男，博士，教授，從事超聲研究工作。

劉曉宙，E-mail: xzliu@nju.edu.cn。

2016-12-12）