非對稱應(yīng)力作用下直墻馬蹄形隧道塑性區(qū)研究

徐 曉 洋

(上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093)

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非對稱應(yīng)力作用下直墻馬蹄形隧道塑性區(qū)研究

徐 曉 洋

(上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093)

基于已有的圓形洞口圍巖塑性區(qū)解答，通過旋轉(zhuǎn)極坐標(biāo)軸角度，由復(fù)變函數(shù)保角映射方法，得到了非對稱應(yīng)力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區(qū)半徑解析公式，并結(jié)合算例進行了分析，通過塑性區(qū)半徑分布圖驗證了該方法的有效性。

非對稱應(yīng)力，直墻馬蹄形隧道，塑性半徑，保角變換

0 引言

在隧道工程建設(shè)中，隧道在非對稱應(yīng)力作用下的變形對隧道的安全有重要影響。目前，對于非對稱應(yīng)力作用下直墻圓拱馬蹄形隧道的塑性區(qū)范圍的研究資料還不多見。前蘇聯(lián)學(xué)者K.B.魯賓涅特利用彈塑性力學(xué)方法推導(dǎo)了圓形洞室的塑性范圍解析公式。郭佳奇等[2]基于圓形洞室塑性區(qū)解答，通過保角映射函數(shù)推導(dǎo)了極坐標(biāo)下橢圓型洞室塑性區(qū)的解答。陳超等[3]通過旋轉(zhuǎn)極坐標(biāo)軸和保角映射方法，求得在偏壓荷載下曲墻馬蹄形隧道塑性半徑解答。本文基于已有的圓形洞口圍巖塑性區(qū)解答，按照陳超方法推導(dǎo)了在非對稱應(yīng)力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區(qū)半徑解析解，并結(jié)合算例進行了分析。

1 塑性區(qū)半徑計算

為求解非對稱應(yīng)力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區(qū)半徑，將計算過程分為兩個階段：第一階段，在圓形洞室的魯賓涅特解的基礎(chǔ)上，通過旋轉(zhuǎn)主應(yīng)力的角度，求解出非對稱應(yīng)力作用下圓形洞口的圍巖塑性半徑公式；第二階段，通過保角映射函數(shù)，將旋轉(zhuǎn)后圓形洞口的塑性區(qū)域映射到z平面上直墻圓拱馬蹄形隧道的塑性區(qū)域。

1.1 非對稱應(yīng)力下圓形洞口圍巖塑性半徑

根據(jù)文獻[1]，圓形洞室在ζ平面上單位圓洞口外部的塑性半徑表達式為：

(1)

其中，rp為塑性半徑;R0為ζ平面上的單位圓半徑;θ為極坐標(biāo)下的極角;ρ為相應(yīng)角度處彈塑性交界線的坐標(biāo)極徑;λ為巖體側(cè)壓力系數(shù)(一般λ>1);c為巖體粘聚力;φ為巖體內(nèi)摩擦角;p為洞室上部垂直地應(yīng)力。

為了得到非對稱應(yīng)力的情況，將極坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)α角度，可得變換后偏壓角度θ=θ′-α，將旋轉(zhuǎn)后的偏壓角θ代入式(1)替換，即可得到偏壓角為α的單位圓洞口外部塑性區(qū)半徑公式為：

(2)

其中，α為偏壓主應(yīng)力與水平方向的夾角(規(guī)定以逆時針為正)，其他參數(shù)含義同式(1)。

1.2 非對稱應(yīng)力下馬蹄形隧道圍巖塑性半徑

一般使用映射函數(shù)把z平面上的區(qū)域轉(zhuǎn)換為ζ平面上單位圓的外域，其最普遍形式展開為洛朗級數(shù)如下：

(3)

(4)

根據(jù)式(4)，可以得到對應(yīng)的z平面的塑性區(qū)半徑表達式為：

(5)

其中，參數(shù)含義同式(1)～式(4)。

2 算例分析

為對上述方法進行驗證，結(jié)合以下算例進行分析。隧道幾何尺寸：隧道為直墻圓拱，上半圓拱的直徑為6.0 m，直墻的高度為6.0 m，模型如圖1所示。隧道圍巖計算參數(shù)如下：彈性模量取6.0 MPa，泊松比取0.25，粘聚力c=3.0 MPa，內(nèi)摩擦角φ=40°，重度為2 000 kg/m3。圍巖受到非對稱主應(yīng)力σ1=30 MPa，σ3=15 MPa，σ1與水平線夾角分別為15°，30°，45°三種工況，側(cè)壓力系數(shù)λ=2.0。

根據(jù)參考文獻[4]，取式(3)中洛朗級數(shù)前六項，映射系數(shù)Ck的值分別為：C0=-0.103 6，C1=0.087 3，C2=0.072 9，C3=-0.098 4，C4=0.038 4，C5=-0.005 2，并計算得出反映孔形的系數(shù)R=3.294 m(其中，r0取3.0 m)。

將以上系數(shù)代入式(3)，求得映射函數(shù)為：

(6)

代入式(4)，得出實部與虛部為：

(7)

將隧道的相關(guān)參數(shù)代入式(2)得出：

ρ′=1.53[1-0.722cos(2(θ-α))]

(8)

其中，α為偏轉(zhuǎn)角度。

聯(lián)立式(5)，式(7)，式(8)即可求出塑性半徑r的表達式，根據(jù)所給的計算參數(shù)和幾何參數(shù)可以繪制不同偏轉(zhuǎn)角下的塑性區(qū)域分布圖，如圖2所示。

3 結(jié)語

基于已有的圓形洞口圍巖塑性區(qū)解答，通過旋轉(zhuǎn)極坐標(biāo)軸角度，再利用復(fù)變函數(shù)保角映射方法，推導(dǎo)了在非對稱應(yīng)力作用下直墻圓拱馬蹄形隧道圍巖塑性區(qū)半徑解析解，并繪制了不同偏壓角度下的塑性區(qū)半徑分布圖。

[1] 蔡美峰.巖石力學(xué)與工程[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[2] 郭佳奇,喬春生.橢圓孔口塑性區(qū)及其在巖溶隧道工程中的應(yīng)用[J].鐵道學(xué)報,2013,35(3):108-114.

[3] 陳 超,李天斌,陳國慶,等.公路隧道擠壓型非對稱變形解析解研究[J].現(xiàn)代隧道技術(shù),2015,52(5):87-93.

[4] 呂愛鐘,張路青.地下隧洞力學(xué)分析的復(fù)變函數(shù)方法[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

Study on the plastic zone of straight wall horseshoe tunnel under unsymmetrical stress

Xu Xiaoyang

(SchoolofEnvironmentandArchitecture，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)

Based on the circular tunnel plastic zone solutions and by means of rotating the maximum principal stress direction, an analytical formula for the radius of the plastic zone of surrounding rock around a straight wall horseshoe tunnel under unsymmetrical stress was derived by the complex variable function theory. And a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

unsymmetrical stress, straight wall horseshoe tunnel, plastic radius, complex function

1009-6825(2017)15-0157-02

2017-03-17

徐曉洋(1990- )，男，在讀碩士

U455

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