非對稱應力作用下直墻馬蹄形隧道塑性區研究

徐 曉 洋

(上海理工大學環境與建筑學院，上海 200093)

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非對稱應力作用下直墻馬蹄形隧道塑性區研究

徐 曉 洋

(上海理工大學環境與建筑學院，上海 200093)

基于已有的圓形洞口圍巖塑性區解答，通過旋轉極坐標軸角度，由復變函數保角映射方法，得到了非對稱應力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區半徑解析公式，并結合算例進行了分析，通過塑性區半徑分布圖驗證了該方法的有效性。

非對稱應力，直墻馬蹄形隧道，塑性半徑，保角變換

0 引言

在隧道工程建設中，隧道在非對稱應力作用下的變形對隧道的安全有重要影響。目前，對于非對稱應力作用下直墻圓拱馬蹄形隧道的塑性區范圍的研究資料還不多見。前蘇聯學者K.B.魯賓涅特利用彈塑性力學方法推導了圓形洞室的塑性范圍解析公式。郭佳奇等[2]基于圓形洞室塑性區解答，通過保角映射函數推導了極坐標下橢圓型洞室塑性區的解答。陳超等[3]通過旋轉極坐標軸和保角映射方法，求得在偏壓荷載下曲墻馬蹄形隧道塑性半徑解答。本文基于已有的圓形洞口圍巖塑性區解答，按照陳超方法推導了在非對稱應力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區半徑解析解，并結合算例進行了分析。

1 塑性區半徑計算

為求解非對稱應力作用下直墻馬蹄形隧道圍巖塑性區半徑，將計算過程分為兩個階段：第一階段，在圓形洞室的魯賓涅特解的基礎上，通過旋轉主應力的角度，求解出非對稱應力作用下圓形洞口的圍巖塑性半徑公式；第二階段，通過保角映射函數，將旋轉后圓形洞口的塑性區域映射到z平面上直墻圓拱馬蹄形隧道的塑性區域。

1.1 非對稱應力下圓形洞口圍巖塑性半徑

根據文獻[1]，圓形洞室在ζ平面上單位圓洞口外部的塑性半徑表達式為：

(1)

其中，rp為塑性半徑;R0為ζ平面上的單位圓半徑;θ為極坐標下的極角;ρ為相應角度處彈塑性交界線的坐標極徑;λ為巖體側壓力系數(一般λ>1);c為巖體粘聚力;φ為巖體內摩擦角;p為洞室上部垂直地應力。

為了得到非對稱應力的情況，將極坐標軸旋轉α角度，可得變換后偏壓角度θ=θ′-α，將旋轉后的偏壓角θ代入式(1)替換，即可得到偏壓角為α的單位圓洞口外部塑性區半徑公式為：

(2)

其中，α為偏壓主應力與水平方向的夾角(規定以逆時針為正)，其他參數含義同式(1)。

1.2 非對稱應力下馬蹄形隧道圍巖塑性半徑

一般使用映射函數把z平面上的區域轉換為ζ平面上單位圓的外域，其最普遍形式展開為洛朗級數如下：

(3)

(4)

根據式(4)，可以得到對應的z平面的塑性區半徑表達式為：

(5)

其中，參數含義同式(1)～式(4)。

2 算例分析

為對上述方法進行驗證，結合以下算例進行分析。隧道幾何尺寸：隧道為直墻圓拱，上半圓拱的直徑為6.0 m，直墻的高度為6.0 m，模型如圖1所示。隧道圍巖計算參數如下：彈性模量取6.0 MPa，泊松比取0.25，粘聚力c=3.0 MPa，內摩擦角φ=40°，重度為2 000 kg/m3。圍巖受到非對稱主應力σ1=30 MPa，σ3=15 MPa，σ1與水平線夾角分別為15°，30°，45°三種工況，側壓力系數λ=2.0。

根據參考文獻[4]，取式(3)中洛朗級數前六項，映射系數Ck的值分別為：C0=-0.103 6，C1=0.087 3，C2=0.072 9，C3=-0.098 4，C4=0.038 4，C5=-0.005 2，并計算得出反映孔形的系數R=3.294 m(其中，r0取3.0 m)。

將以上系數代入式(3)，求得映射函數為：

(6)

代入式(4)，得出實部與虛部為：

(7)

將隧道的相關參數代入式(2)得出：

ρ′=1.53[1-0.722cos(2(θ-α))]

(8)

其中，α為偏轉角度。

聯立式(5)，式(7)，式(8)即可求出塑性半徑r的表達式，根據所給的計算參數和幾何參數可以繪制不同偏轉角下的塑性區域分布圖，如圖2所示。

3 結語

基于已有的圓形洞口圍巖塑性區解答，通過旋轉極坐標軸角度，再利用復變函數保角映射方法，推導了在非對稱應力作用下直墻圓拱馬蹄形隧道圍巖塑性區半徑解析解，并繪制了不同偏壓角度下的塑性區半徑分布圖。

[1] 蔡美峰.巖石力學與工程[M].北京:科學出版社,2006.

[2] 郭佳奇,喬春生.橢圓孔口塑性區及其在巖溶隧道工程中的應用[J].鐵道學報,2013,35(3):108-114.

[3] 陳 超,李天斌,陳國慶,等.公路隧道擠壓型非對稱變形解析解研究[J].現代隧道技術,2015,52(5):87-93.

[4] 呂愛鐘,張路青.地下隧洞力學分析的復變函數方法[M].北京:科學出版社,2007.

Study on the plastic zone of straight wall horseshoe tunnel under unsymmetrical stress

Xu Xiaoyang

(SchoolofEnvironmentandArchitecture，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)

Based on the circular tunnel plastic zone solutions and by means of rotating the maximum principal stress direction, an analytical formula for the radius of the plastic zone of surrounding rock around a straight wall horseshoe tunnel under unsymmetrical stress was derived by the complex variable function theory. And a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

unsymmetrical stress, straight wall horseshoe tunnel, plastic radius, complex function

1009-6825(2017)15-0157-02

2017-03-17

徐曉洋(1990- )，男，在讀碩士

U455

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