善學多思 活學活用

張偉

一、優(yōu)化解題方法，提高解題效率

例1 求二元一次方程x+3y=7的正整數解.

【分析】二元一次方程（組）的每一個解，都是一對命運共同體，需用大括號聯立起來，彼此分割不得.我們利用枚舉法可以發(fā)現，一元二次方程的解有無數多個，所以一元二次方程也被稱作不定方程.我們可以通過限制屬性——正整數解得到有限個解.

【答案】[x=4，y=1，]或[x=1，y=2.]

【延伸】要求一元二次方程4x+3y=32的正整數解，先確定哪個值更簡便呢？若兩個值不相上下，有沒有更佳途徑？在這里我們可以先用含其中一個字母的代數式表示另一個字母，有兩種途徑：①y=[323]-[43x]；②x=8-[34y]，從而求出對應的值.我們可以發(fā)現途徑②更簡便，因為若x是正整數，y必須是4的倍數，這樣，y可以從4開始代入求值，嘗試3次即可，而且計算方便.

二、代入加減哪家好，方便才是真的好

例2 用代入消元法解方程組[2x+3y=50，x-y=-5.]

【分析】二元一次方程組中兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解，求方程組的解的本質是化“二元”為“一元”，最常見的方法有代入消元法或加減消元法.使用代入法時，從方程組中選擇一個字母系數比較簡單的方程先進行變形，用含有x（或y）的代數式去表示y（或x），即變成y=ax+b或x=ay+b的形式，然后將其代入另一個方程中，消去一個元，得到關于另一個元的一元一次方程.這里需注意，不能代入原方程中.

【答案】[x=7，y=12.]

例3 解方程組[3x+5y=25，①4x+3y=15. ②]

【分析】通過嘗試我們不難發(fā)現代入法固然可以使用，但計算較繁瑣.我們可以用①×3，②×5，將①②轉化成含相同字母系數的兩個方程，然后再將兩個新的方程相減，消去y.

【答案】[x=0，y=5.]

【點評】解方程組時，應先觀察未知數的系數的特點，如果未知數系數中有1或-1，可以優(yōu)先采用代入消元法；如果同一未知數系數絕對值相等，可以采用加減消元法，但這只能解決少部分的方程組.更多的時候需要我們開動腦筋，通過對方程進行變形，從而轉化為我們熟悉的局面，如果出現同未知數的系數成倍數關系或較復雜的情形時，宜用加減消元法.解方程組時萬變不離其宗的是將“多元”轉為“一元”，達到化生為熟的目的.

三、二元一次方程組，解決問題的法寶

例4 上網流量、語音通話是手機通信消費的兩大主體.日前，某通信公司推出消費優(yōu)惠新招——“定制套餐”.消費者可根據實際情況自由定制每月上網流量與語音通話時間，并按照二者的階梯資費標準繳納通信費.下表是流量與語音的階梯定價標準.

小提示：階梯定價收費計算方法，如600分鐘語音通話費=0.15×500+0.12×（600-500）=87元.

（1）甲定制了600MB的月流量，話費48元；乙定制了2GB的月流量，花費120.4元，求a，b的值.（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐費用為199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐費用為244.2元，其中包含1GB的月流量.二人均定制了超過1000分鐘的每月通話時間，并且丙的語音通話時間比甲多300分鐘，求m的值.

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是找出題目中所包含的等量關系，列出符合題意的方程.列方程時需注意“階梯”，不要重復計費.

【答案】（1）a=0.15，b=0.05；（2）m的值是0.08.

【點評】對于相對復雜的問題，同學們可以用列表或示意圖幫助自己厘清問題中已知量和未知量之間的數量關系，從而有效地列出方程組解決問題.

親愛的同學們，通過以上的學習、總結，你是不是對“二元一次方程組”的學習更有信心呢？希望大家都能擁有一雙智慧的眼睛，養(yǎng)成從多個角度思考問題的習慣，人人都能享受到利用數學知識解決實際問題的樂趣.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）