組合數學的課程教學探討

摘要：對在組合數學教學中遇到的問題進行探討并總結了一些體會，以便提高學生分析和解決組合問題的能力。

關鍵詞：組合數學；組合恒等式；數學思維

中圖分類號：O157.5；G424.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）25-0089-02

一、引言

組合數學作為既古老又年輕的一個數學分支，它是研究離散對象的一門數學學科，是大學數學專業高年級學生的一門選修課程。學生經過大學兩年或三年的專門數學專業訓練后，已經有了一定的數學基礎和數學思維能力。另外，學生在中學也學過一些簡單的組合數學知識，例如簡單的排列和組合問題，這些對于學習組合數學是有利的和必備的。在教學中，有相當一部分學生一開始認為組合數學在中學曾經接觸過且又學了二三年的其他數學專業課程，學好組合數學是件不難的事情，但隨著學習的深入，發現和自己想象中完全不同，這門課程不僅思維方式很獨特，方法很難模仿，尤其是在解習題時不知從何著手，無所適從。針對這些情況，結合這些年的教學經驗，筆者認為應注意以下幾個方面。

二、加強數學概念教學

數學概念不僅是任何一門數學課程的起點，也是學好任何一門數學課程的立足點。組合數學也不例外。在實際教學中，有的教師認為只要教學生解決問題的方法就行了，至于概念的教學則一筆帶過，概念的理解就是學生自己的事情，殊不知，概念理解的正確與否直接決定了學生組合數學學習好壞的程度。概念理解不清是不可能掌握正確解決問題的方法的，更談不上在將來的數學研究工作中有所創新。因此，在組合數學教學中應注重概念教學，有意識地培養學生理清概念實質的能力。為了進一步理解組合數學中的一些概念，教師最好舉一些實例加以說明。

例1 求從10名學生中任選3人組成一個數學學習興趣小組及從10名學生中任選3人排成一列的方法數。

學生經過簡單的思考后，可得知該問題的前半部分的本質是組合問題，而后半部分的本質是排列問題，因為前半部分和順序無關，而后半部分和順序有關。利用組合數和排列數的計數公式得前者為C■■=■，而后者為P■■=■。

例2 求20根不同的小木棒在文具盒里排成一行及20根小木棒有10根相同的紅色木棒、6根相同的黑色木棒及4根相同的藍色木棒在文具盒里排成一行的方法數。

先讓學生仔細分析并挖掘這個例子字里行間的深層含義，教師必要的時候加以引導和提示，學生會發現前者是一般排列問題，而后者是可重復排列問題，利用排列和可重復排列的計數公式可得它們的方法數分別為P■■=20！和■。

三、注意組合數學與其他數學分支的交叉滲透

組合數學與其他數學分支有著緊密的聯系，尤其是代數、分析和拓撲學等，在教學中一方面可講授一些用組合數學解決代數、分析和拓撲學中的問題的實例，另一方面也可講授一些用分析、代數和拓撲學解決組合數學問題的實例，從而讓學生體會到數學的各個分支并不是孤立的而是互相交叉滲透的一個有機的整體，這樣可拓展學生的數學思維，開闊他們的視野，并在將來的學習中能有意識地將不同的數學分支融合在一起。例如，在組合恒等式的證明中常用到分析學，甚至有時它是我們解決組合問題的關鍵技巧。

例3 證明：■■nk=■■ （n≥1）.

證明：令f（x）=■■nkx■，

則，f（0）=0，f（1）=■■nk

f'（x）=■（-1）■nkx■

=1+（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）n-1，

即f'（x）=■（1-x）j.

上式兩邊同時求積分得：f（x）=-■■（1-x）j+1+C，

所以0=f（0）=-■■+C，C=■■=■■.

從而f（x）=-■■（1-x）j+1+■■，

■■nk=f（1）=■■.

四、注重學生創新思維的培養

組合數學不同于學生本科階段的其他數學專業課程，通常不同的問題處理方法是不一樣的。這就要求學生不墨守成規，要有較強的創新意識，在教學中教師應讓學生多提問、多思考、多探索，找到解決問題的最佳途徑并掌握數學研究的思維方法和一般規律，從而促進學生創新思想的培養。

組合數學的很多問題來源于現實的生產生活，由于生產生活的復雜性，導致它解決問題的方法靈活多變，沒有固定模式，生搬硬套是解決不了組合數學問題的，因此教師有意識地對學生在處理復雜實際問題的創新能力方面的培養就更為重要了。例如，我們在城市交通線路方面的設計問題，在實際生活中既要交通盡可能暢通，又要節約資源，還要結合城市的實際，對線路進行限制等，這些都和方向圖緊密相關。當然，隨著城市的發展交通可能變得擁堵，解決該問題需增加合理的線路外，還要與曲面圖的嵌入性理論緊密聯系。在教學中，為了方便起見，教師可以某一個小城市為例，讓學生嘗試解決在多種不同條件下的交通線路設計問題，這樣可培養學生的創新思維。

五、結語

教學是一個師生互動的過程，在教學中教師應與學生多交流，及時發現學生學習中出現的問題，調整改進自己的教學方法，這樣才能不斷地提高組合數學課程的教學質量。在教學中，教師不僅要關注學生對組合數學知識本身的學習，更要注重學生數學能力的培養與提高。

參考文獻：

[1]李喬.組合學講義[M].第二版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]盧開澄.組合數學[M].第三版.北京：清華大學出版社，2002.

基金項目：重慶市自然科學基金科研項目資助（cstc2012jjA00041）；重慶市教委科研項目資助（KJ101204）

作者簡介：龍述德（1972-），男，湖南邵陽人，博士，副教授，主要從事組合數學與圖論方面的研究。