巧用數學方法解決實際問題

游詠松

小明的媽媽買了一件重7.7克的金銀合金飾品，這塊合金中含金銀各多少克？這可讓小明的媽媽犯愁了，該怎么辦呢？

解決這個問題并不難，先讓我們來看一道比較熟悉的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”——《孫子算經·雞兔同籠》.

這里有兩個相等關系.相等關系1：“上有三十五頭”指雞、兔共有35只，即“雞的只數+兔的只數=35（只）”；相等關系2：“下有九十四足”指雞的腿與兔的腿共有94條，即“雞腿的條數+兔腿的條數=94（條）”.我們可以用數學式子表達出“雞兔同籠”問題中的相等關系，設雞有x只，由相等關系1得兔有（35-x）只，可以得到關于x的方程：2x+4（35-x）=94.解得x=23，35-x=12.

換一種思路來看，設雞有x只，兔有y只，由相等關系1可以得到關于x、y的方程：x+y=35，由相等關系2可以得到關于x、y的方程：2x+4y=94.解該方程組輕易可得答案.

其實兩種解法完全相同，第一種解法是在設未知數時利用其中一個相等關系表示出另一個未知數，再根據另一個相等關系列出一元一次方程；第二種解法是分別利用兩個相等關系列出二元一次方程組，再解二元一次方程組.

我們知道：方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界數量關系的重要模型.從實際問題到數學問題，再從數學問題到列出方程（組），正確列出方程（組）的關鍵在于弄清題意，恰當地設未知數，找出問題中的相等關系.

聰明的小明查閱資料發(fā)現(xiàn)：金放在水里稱重量減少[119]，銀放在水中稱重量減少[110].小明將該合金在水中稱發(fā)現(xiàn)減少了0.5克.小明受到“雞兔同籠”問題的啟發(fā)，仔細觀察，發(fā)現(xiàn)媽媽的“金銀合金飾品”問題只是一個特殊的“雞兔同籠”問題.但特殊的地方是，這里不是假設整塊合金全是金或銀，而是假設金和銀一樣重量減少[110].如此可得算式[7.7×110-0.5]÷[110-119]，不難得出金有5.7克，銀就有7.7-5.7=2（克）.

換一種思路，因為這道題中有相等關系：金減少的重量+銀減少的重量=0.5克，所以可以列一元一次方程來解決.設此合金中有金x克，則銀有（7.7-x）克.由題意得一元一次方程[119]x+[110]（7.7-x）=0.5，解方程得x=570，則金有5.7克，銀有7.7-5.7=2克.

事實上，這道題中有兩個相等關系，相等關系1：金減少的重量+銀減少的重量=0.5克；相等關系2：金的重量+銀的重量=7.7克.這樣就可以用二元一次方程組來解決.設該合金中有金x克，有銀y克.由題意，得二元一次方程組：[x+y=7.7，119x+110y=0.5.]解之，得[x=5.7，y=2，]則金有5.7克，銀有2克.

由此可見，生活中處處有數學，數學很有用吧！