一階微分方程的常數變異法及積分因子的探討

李靜

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

一階微分方程的常數變異法及積分因子的探討

李靜

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

總結解一階微分方程的方法：常數變異法、積分因子法，展示它們在不同題型中的應用。

一階微分方程；常數變異法；積分因子；恰當微分方程

1 預備知識

1.1 常微分方程的基本概念

1.1.1 常微分方程和偏微分方程

1.1.2 線性和非線性

這里a1(x)，…，an(x)，f(x)是x的已知函數。這個方程即為一般n階線性微分方程所具有的形式。

1.2 常微分方程的發展史

常微分方程發展初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數或者是超越函數表示其解，屬于求解時代。萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題，而歐拉則試圖用積分因子統一處理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等積分時提出后人以他的名字命名的過程。

早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾于1841年證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷。加上柯西初值問題的提出，常微分方程從“求通解”轉向“求定解”時代。19世紀末常微分方程的研究從“求定解問題”轉向“求所有解”的新時代。到20世紀六七十年代以后，常微分方程由于計算機技術的發展迎來了新的時期，從“求所有解”轉入“求特殊解”時代。

一階微分方程的初等解法，即把微分方程的求解問題轉化為積分問題，它的解得表達式由初等函數或者超越函數來表示。通常我們有以下幾種類型。

2 線性微分方程和常數變異法

求得方程解的方法我們稱之為常數變異法。

3 恰當微分方程與積分因子

3.1 形如M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的一階微分方程

但我們如何判別M(x，y)dx+N(x，y)dy=0是恰當微分方程呢？如果是那如何求得u=u(x，y)？

3.2 積分因子

當原方程不為恰當微分方程時，我們該怎么求解呢？我們可以尋求一個積分因子使得原方程變為恰當微分方程，那我們如何尋求呢？

例1 假設存在連續可微函數[4]u=u(x，y)≠0使得：

u(x，y)M(x，y)dx+u(x，y)N(x，y)dy=0為恰當微分方程，

即：uMdx+uNdy≡dv則稱u(x，y)為積分因子。

這樣積分因子就找到了。

例2 假設M(x，y)dx+N(x，y)dy=0滿足關系式

u(x，y)M(x，y)dx+u(x，y)N(x，y)dy=0，

[1]朱思銘，李尚廉.數學模型[M].廣州：中山大學出版社，1995，48-52.

[2]姜啟源，謝全星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2002，91-98.

[3]丁崇文.中國大百科全書[M].北京：中國大百科全書出版社，1988，23-26.

[4]ZhangC.OnSimpleModulesfortheRestrictedLiealgebrasofCartantype[J].CommunicationsinAlgebra，2002，30(11)：5393-5429.

(責任編輯：宋金寶)

Probe into the Solve of First Order Differential Equation

LI Jing

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

The solve of first order differential equation is concluded，such as the method of separation of variables，constant variation or integral factor method to show their application in different topic.

first order differential equation；constant variation method；integral factor；exact differential equation

2017-01-05

李靜(1991-)，女(漢族)，河南輝縣人，中國傳媒大學理工學部碩士研究生.E-mail：1510397111@qq.com

O241.81

A

1673-4793(2017)03-0053-04