一種基于de Casteljau算法的Bezier曲線插補(bǔ)方法

宋健+桑運(yùn)曉+劉同壯

摘 要：為了克服數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)Bezier曲線必然會產(chǎn)生軌跡誤差而且運(yùn)算量大、實(shí)時性不好的問題，以Paul de Casteljau在1959年提出的de Casteljau算法為理論依據(jù)，研究出了一種用DDA直線插補(bǔ)器級聯(lián)的方式遞推出任意階Bezier曲線的新方法。該方法用多個DDA直線插補(bǔ)器分級同時進(jìn)行插補(bǔ)，前一級的輸出脈沖用來修正相鄰后一級的被積函數(shù)寄存器，最后一級輸出用來驅(qū)動進(jìn)給。最后用Visual Studio 2010編寫了仿真程序進(jìn)行了模擬插補(bǔ)，證實(shí)了其正確性。這個全新的加工Bezier曲線的方法更加準(zhǔn)確、實(shí)時性更好，同時也為B樣條、NURBS等曲線的加工提供了嶄新的思路。

關(guān)鍵詞：Bezier曲線；直接插補(bǔ)；de Casteljau算法；DDA法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.12.220

0 引言

目前的CNC系統(tǒng)，對于直線和圓弧可以采用脈沖增量插補(bǔ)原理直接進(jìn)行插補(bǔ)。而對于Bezier曲線、樣條曲線等的插補(bǔ)只能采用數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理，先進(jìn)行粗插補(bǔ)，然后再用脈沖增量插補(bǔ)法對微小的直線段進(jìn)行精插補(bǔ)。數(shù)據(jù)采樣法在原理上決定了其逼近的過程中肯定會產(chǎn)生軌跡誤差，而且插補(bǔ)程序比較復(fù)雜。為了避免數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法所帶來的問題，在de Casteljau算法的幾何模型的啟發(fā)下，提出了用DDA法遞推插補(bǔ)出Bezier曲線的基本思想。

1 de Casteljau算法

de Casteljau算法最基本的過程就是在向量上取一個點(diǎn)C，使得C分向量為（即）。下文中稱此過程為在某線段（這里為）上取Bezier點(diǎn)。給定端點(diǎn)A和B的坐標(biāo)以及的值，點(diǎn)C的坐標(biāo)便為：。

當(dāng)Bezier曲線階數(shù)大于等于2時，即可利用上述過程進(jìn)行迭代，具體步驟如下。定義Bezier曲線的控制點(diǎn)編號為ij，其中i表示迭代次數(shù)，j表示每次迭代中的控制點(diǎn)序號。為了計(jì)算n階貝塞爾曲線（控制點(diǎn)個數(shù)為n+1）上的點(diǎn)C（），，首先將控制點(diǎn)依次連接形成一條折線00-01-02-……-0（n-1）-0n。按上述過程，在構(gòu)成折線的每條線段上取Bezier點(diǎn)，總共有n個，記為10、11、12、……、1（n-2）、1（n-1），然后再把這些點(diǎn)依次連成一條折線10-11-12-……-1（n-2）-1（n-1），再在此折線的每條線段上取Bezier點(diǎn)，總共有n-1個，以此類推。

2 利用DDA法對Bezier曲線進(jìn)行直接插補(bǔ)

在上述de Casteljau算法的理論基礎(chǔ)上，研究出了直接用直線插補(bǔ)迭代遞推出Bezier曲線的方法。

2.1 二階及以上Bezier曲線插補(bǔ)

由de Casteljau算法可知，二階Bezier曲線上的點(diǎn)可以按如下方法獲取：把控制點(diǎn)依次連成一條折線，在折線的每條線段上取Bezier點(diǎn)，再把兩個Bezier點(diǎn)連起來，在此連線上取Bezier點(diǎn)即為二階Bezier曲線上的點(diǎn)。要插補(bǔ)的線段是不斷變化的，線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)要根據(jù)前一級插補(bǔ)的驅(qū)動脈沖進(jìn)行修正。在所有的線段上用同一個插補(bǔ)控制脈沖進(jìn)行插補(bǔ)即可插補(bǔ)出任意階Bezier曲線。

如圖1所示為DDA法直接插補(bǔ)二階Bezier曲線的原理框圖：

圖中和分別為三個控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，和為最終驅(qū)動相應(yīng)坐標(biāo)軸的進(jìn)給脈沖，為插補(bǔ)迭代控制脈沖。此處，需要強(qiáng)調(diào)的是三個插補(bǔ)脈沖為同一個，每來一個脈沖，三個插補(bǔ)器同時進(jìn)行插補(bǔ)，六個被積函數(shù)寄存器中的值都要送往相應(yīng)的積分累加器中相加一次。第一級的兩個插補(bǔ)器的溢出脈沖用來修正后一級插補(bǔ)器的被積函數(shù)寄存器的值。在第一級的第一個插補(bǔ)器中，當(dāng)（或）時，（或）的溢出脈沖（或）為正，每輸出一個脈沖，第二級插補(bǔ)器對應(yīng)的起點(diǎn)坐標(biāo)就加一，即；當(dāng)（或）時，（或）的溢出脈沖（或）為負(fù)，每輸出一個脈沖，第二級插補(bǔ)器對應(yīng)的起點(diǎn)坐標(biāo)就減一。同樣，第一級的第二個插補(bǔ)器每輸出一個脈沖，第二級插補(bǔ)器對應(yīng)的終點(diǎn)坐標(biāo)就加一或減一。第二級插補(bǔ)器的輸出脈沖用來驅(qū)動進(jìn)給。更高階的Bezier曲線可以用上述同樣的方法進(jìn)行推廣。

2.2 軟件模擬

最后，按照上述原理用微軟的托管C++語言——C++/CLI在Visual Studio 2010中編寫了模擬插補(bǔ)程序，在屏幕上畫線模擬機(jī)床的走刀路徑符合我們預(yù)期的設(shè)計(jì)， 此方法基本可以控制刀具插補(bǔ)出理論輪廓。

3 結(jié)論

此方法創(chuàng)新性的把de Casteljau算法運(yùn)用到數(shù)控機(jī)床的插補(bǔ)過程中，研究出了用DDA法迭代遞推出Bezier曲線的理論，為Bezier曲線的加工提供了全新的、更加準(zhǔn)確、實(shí)時性更好的方法，甚至也為B樣條、NURBS等曲線的加工提供了嶄新的思路。此類非圓曲線在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，尤其是在復(fù)雜輪廓的零件中，幾乎所有的專業(yè)建模軟件都提供了此類曲線建模工具，因此該方法將會對數(shù)控加工技術(shù)產(chǎn)生重要的影響。

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作者簡介：宋健（1991-），男，安徽亳州人，碩士研究生，主要研究方向：計(jì)算機(jī)控制技術(shù)。