三、四、五邊形的數學奇跡

Jacob

著名的科學普及和數學普及作家馬丁·加德納（Martin Gardner，1914～2010），他的鐵桿“粉絲”們依然持續舉辦著兩年一度的邀請制的“加德納聚會”，而其他的任何人（任何地方）在每年十月都可以舉辦或參加叫做“頭腦慶典”的活動。更重要的是，因為不斷提出加德納難題的新解法和改進舊解法，人們不斷地超越自己，突破自己。

接下來，我們懷著輕松的心情，回顧一下加德納的關于二維平面上圖形“剖分”與“平鋪”的問題——這些曾讓大家激動不已的謎題的突破歷程。值得一提的是，下面有一些結果還是最近才發現的，這讓人非常開心，由此證實了加德納的觀點——好玩的數學能真真正正產生持續不斷的研究，更能成為滿足好奇心和創造新思想的跳板。

三角形和正方形

“剖分”問題就是把熟悉的圖形切開，形成若干個有趣的更小的碎片的問題，而“平鋪”問題則要處理與之相對的概念，是用大量的某一種或幾種特定的小圖形來填滿一大片空間的問題。

這是加德納在他1960年2月專欄中提出的一個簡單的剖分問題：“給定一個鈍角三角形，是否可能將其切成若干個更小的銳角三角形？”無疑地，最初的數種嘗試都失敗了，比如上圖所展示的。（小三角形4不是銳角三角形）

還有一道更難的，選自加德納1981年4月的專欄：“將一個正方形分割成互不重疊的銳角三角形，那么小三角形的數量最少可以是多少塊？”他自己做出了一個令人驚訝的解答……

在1958年11月，加德納提出一個問題，一個正方形是否能夠被切成若干個更小的正方形——這些小正方形的邊長必須為互不相同的整數，而不是類似國際象棋棋盤那樣子的排成方陣的簡單形式。從19世紀30年代開始，人們開始了解到這個問題與電網絡理論有關聯。加德納提供過的一個近似的答案——一個32×33的長方形剖分成這樣的一些正方形（榮登《科學美國人》某月的雜志的封面）。

上面的尋找“正方形中的正方形”問題的真正解答花了20年，其中的一個解是邊長為112單位的正方形，它按照要求被切成了21個正方形。加德納給出過一個有趣的基本論斷，來說明為什么這些方式中沒有一種可以適用于三維情況——就是說一個正方體不能被拆開成為若干的不相等的正方體。自從40年前讀到這個論斷起，我就深陷其中。這暗示著，在更高維度下，這些方法也不會有用！

從現在起，我們把正方形的問題放在一邊，我們來討論平鋪問題吧。在1979年10月，加德納寫出了老友Golomb在1975年提出的挑戰問題：整個無限平面是否能被正方形鋪滿，而且這些正方形邊長還是形如1，2，3，…的整數？

Golomb的挑戰問題很長時間沒被攻破，2008年，它才被Jum Henle與他的兒子Fred征服。

這里說一下另外一個趣味智力題，加德納展示了下圖這個將一個由等邊三角形構成的梯形切成四塊全等的凸塊的剖分方法，并尋求一種用五塊全等的凸塊分割一個正方形的方法。

事后看來，答案是相當明顯的——我們提起過加德納也是一個頂級魔術師，也因此是位誤導大師么？就僅在一個月之前，一份“不存在其他解”的證明被公布出來了。（在由Lipin Yuan，Carol Zamfirescu和Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五個全等塊的分割”的預稿中）

永遠令人驚訝的五邊形

將三角形和四邊形放在腦后，我們來看看五邊形。正五邊形無法僅靠自身鋪滿整個平面，而像等腰三角形。正方形和正六邊形卻能完美地鋪滿整個平面，其中也包括不規則的五邊形。下面的故事可能都可以在"Wolfram五邊形平鋪論證計劃網頁”這個互動項目中看到。這個故事始于100年前，那時Karl Rheinhardt發現了5種不同五邊形平鋪，這兒有其中的兩種。

50年之后，在1968年，Richard Kershner發現另外三種形式，并隨著馬丁·加德納在他1975年7月的專欄中的報道，Richard E.James又發現了一種形式。于是馬丁·加德納及時在接著的專欄里報道了這件事。而已到中年的圣迭戈的家庭主婦Marjorie Rice在她兒子的一本雜志中讀到了這份報告。盡管沒受過數學訓練，她開始著手探索、組織自己的思緒并開創自己特有的記號來記錄自己研究的過程。在1977年之前，通過發現四種全新的五邊形平鋪平面方法，她令數學界刮起了一陣風暴。這四種方式早先被其他所有人都忽略了，其中的兩種展示如下。

她的一件在1995年發現的成果被數學家Doris Schattschneider采納，用于華盛頓的美國數學協會本部的瓷磚鋪設。

在1985年，Roll Stein發現一種新的五邊形平鋪，這將總數目提升到14種。之后又過去了30年，Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau，這三位都來自于華盛頓大學博塞爾分校的學者，在2015年7月宣布了第15種方法，如右是它的一種體現形式。

那么還有更多這樣鋪滿整個平面的五邊形平鋪嗎？如果還有，一共有多少種這樣的平鋪呢？博塞爾團隊中的印第安人McLoud（她是她家里第一個拿到大學文憑的人）說：“現在還不知道凸五邊形平鋪方法數量的上界?！本褪钦f，可能還有幾十種，或者有無限種。也有可能就這么多，不再有了。

蓋棺了結

仔細看看博塞爾團隊的五邊形是很有建設性的，這個五邊形就像一個不規則棺材。也許McLoud和他的同事真的靠著發現最后一種五邊形平鋪的類型給它釘上了釘子。

接下來我們來描述得到這個圖形的過程：這個形狀可通過折彎一條5個單位長度的稻草桿子（CDEaAB）來獲得（這里a代表著圖象中線段EA的中點，也代表著EA的長度），這之后會如下調整：

一個小孩拿著稻草桿子瞎搗鼓，把桿子折彎，只要拉開合適的位置，都能輕松地拼出這個五邊形。也許，歷史的長河中，真有過幾次這樣的事。如果真有這回事，沒有孩子曾意識到他們的發現，他們只會在媽媽叫他吃飯的時候別無他想地扔掉那根稻草桿。那么，又有誰能斷定沒有某個小孩把稻草桿折成另一種能平鋪無限平面的新型五邊形呢？它的確是一種孩子能玩的，而且能玩出深入結果的東西（想想前面的主婦）。

（本文翻譯自斯貝爾曼學院數學教授Colm Mulcahy的《It's as not-so-easy as 3，4，5》，有刪節）endprint