淺談分部積分列表法的用法

□楊 柳

（陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046）

淺談分部積分列表法的用法

□楊 柳

（陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046）

分部積分是針對被積函數是乘積形式的積分，分部積分公式運用比較靈活。本文就列表的方法對分部積分加以說明，并列舉列表法適用的類型。

分部積分；乘積列表法；函數

常見的積分方法有直接積分法，換元積分法，分部積分法。在被積函數是乘積形式的積分時，如果不能直接積分或者換元積分，那么一般會用到分部積分。分部積分公式∫udv=uv-∫vdu。分部積分前提是要選取恰當的u和v'函數，利用分部積分公式得到最后的結果，選取u和v'的方法比較固定，按照“反、對、冪、指、三”的順序依次選擇，兩個函數乘積的積分，順序靠左的函數是u，順序靠右的函數是v'，指數函數和三角函數乘積中，u和v'函數的選取方式任意。或者有的教材中對被積函數分類，然后直接說明每一類中u和v'函數的選取。

1 列表法的計算規則

分布函數列表法是把被積函數分為兩部分，分上下位置放置，上邊是被積函數中能夠求導，且越來越簡單的函數，或者多次導數之后結果是0的函數[1]；下邊放置的是被積函數的另外一部分，依次對其積分，積分次數與上面的導數次數相同即可。一般地，對積分∫f(x)g(x)dx，如果函數f(x)經過多次求導，結果等于0，或者結果是f(x)，可以用如下計算方法：

對f(x)函數多次求導，對g(x)函數多次積分，然后依次用斜線連接上下兩行的函數，該項的符號由左向右依次為正負相間隔，然后寫出積分關系式，得到的結果中可以含有積分符號。

例1求不定積分∫(x3+3x)exdx.

解 被積函數可以看做兩個函數的乘積，x3+3x可以多次求導，而ex可以多次積分，用列表法求不定積分。

因此不定積分

∫(x3+3x)exdx=(x3+3x)ex+(3x2+3)ex+6xex+6ex+C=x3ex+3x2ex+9xex+9ex+C

例2求不定積分∫e2xcosxdx.

解 被積函數是乘積形式，但是cosx與e2x都不能經過多次求導而結果是0，但是它們求導之后又會回到最初的形式，也可以用列表的方法。

在例1中，求導的結果最終是0，0和下面一行中的函數相乘的積分結果還是0，因此可以直接寫出整個積分的結果；例2中cosx求導兩次的時候，形式仍然是cosx，這時候得到的是一個關系式，左右兩側都含有不定積分，移項得到需要的結果[2]。

2 列表法適用的類型

1.適用于∫Pn(x)eαxdx，∫Pn(x)sinxdx，∫Pn(x)cosxdx，其中Pn(x)是n次多項式。在用列表法的時候，Pn(x)可以多次求導，直至導數等于零，而eαx,cosx,sinx都可以多次積分。

2.適用于∫Pn(x)1nxdx，∫Pn(x)αrcsinxdx，∫Pn(x)αrccosxdx，其中 1nx，αrcsinx，αrctanx 可以求導，而 Pn(x)可以多次積分。

3.適用于∫sinαxebxdx，∫cosαxebxdx，任意選取需要求導的函數，求導兩次之后的形式與最初相同，這時候得到關于積分的一個關系式，移項整理后就可以得到不定積分的結果，不定積分后需加常數C。

使用列表法的時候，具體要算到哪一步，根據情況而定。

3 列表法的評價

列表法的優點是:只針對函數乘積中的某一個函數多次求導或積分，消除了在應用分部積分時，既有積分又有求導的弊端。

列表法也有它的缺點：列表法有一定的局限性，對于特定的類型能取到較好的效果。但是如反三角函數與指數函數的乘積，就不能使用列表法。

[1]錢吉林.數學分析題解精粹[M].湖北：湖北辭書出版社,2009.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

1004-7026（2017）09-0147-01

0172.2

A

DOI：10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.09.094