具有反射透射兩用表面的LED自由曲面透鏡的逼近法計(jì)算

周士康，陳春根

(上海三思科技發(fā)展有限公司，上海 201100)

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具有反射透射兩用表面的LED自由曲面透鏡的逼近法計(jì)算

周士康，陳春根

(上海三思科技發(fā)展有限公司，上海 201100)

讓透鏡的一個(gè)全反射表面同時(shí)又能折射，則可以使得透鏡結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化體積減小。但對(duì)這種雙功能曲面，一般的自由曲面計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。本文提出了用一種逐次逼近法進(jìn)行這種透鏡形狀的計(jì)算。在一個(gè)薄形準(zhǔn)直透鏡的例子中，光線從LED出發(fā)經(jīng)入射面射入透鏡，被雙功能面反射向純反射面，再由純反射面返回雙功能面，透射出去成為平行光。計(jì)算方法是用一個(gè)小循環(huán)逐次修改純反射面形狀，使得光線出射后滿足平行光的要求。再用一個(gè)大循環(huán)逐次修改雙功能面的形狀，使得出射光線在透鏡表面分布均勻。文章給出了本方法的詳細(xì)步驟，并舉例設(shè)計(jì)了一個(gè)準(zhǔn)直透鏡，其實(shí)測(cè)透鏡光束角為±2.5°，比市售準(zhǔn)直透鏡的同照明距離延長(zhǎng)了約4倍。本文的方法對(duì)這類一個(gè)表面既能反射又能折射的透鏡設(shè)計(jì)有普遍意義。

自由曲面；逐次逼近法；雙循環(huán)逼近；雙功能表面；LED；透鏡；準(zhǔn)直透鏡；透鏡設(shè)計(jì)

引言

按照光學(xué)功能來(lái)區(qū)分，透鏡表面有反射和折射兩種。適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)可以使得一個(gè)透鏡表面同時(shí)具有反射和折射兩種功能，則透鏡的尺度有可能減小。但雙功能表面會(huì)使得設(shè)計(jì)計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。其原因就是多數(shù)計(jì)算自由曲面的方法[1-3]。在計(jì)算透鏡形狀時(shí)，因?yàn)橐粋€(gè)表面無(wú)法同時(shí)滿足兩個(gè)條件而無(wú)法計(jì)算。

對(duì)于實(shí)際工作中的許多問(wèn)題，求解的方程十分復(fù)雜或者是無(wú)法得到求解的方程時(shí)往往可以使用逐次逼近的方法[4-5]。此法在大量實(shí)際問(wèn)題中都得到了廣泛的應(yīng)用。我們嘗試把逼近法的思想用在LED透鏡的計(jì)算上，取得了成功[6]。

本文提出的透鏡計(jì)算方法是一種給定透鏡的形狀后再逐步修正的方法，根據(jù)計(jì)算的出射光線與目標(biāo)光線方向之差來(lái)修正表面的形狀，逐步逼近到目標(biāo)值。只要修正方法正確，就可以使得這種逼近快速收斂。

本文以設(shè)計(jì)具有雙功能表面的薄形準(zhǔn)直透鏡為例，給出了用逼近法設(shè)計(jì)的方法。

1 薄形LED準(zhǔn)直透鏡

1.1 由拉赫不變量守恒估算準(zhǔn)直透鏡大小

光束角指的是光束中發(fā)光強(qiáng)度為中心強(qiáng)度一半處的兩點(diǎn)對(duì)光源的夾角。燈具的光束角越小，其照明距離越遠(yuǎn)。我們稱這種光束角很小的光為準(zhǔn)直光，LED準(zhǔn)直光是靠透鏡產(chǎn)生的，因此小角度的透鏡一直是LED光源設(shè)計(jì)者追求的目標(biāo)。光束角的大小是衡量LED遠(yuǎn)距離照明光源的水平的最重要指標(biāo)。

由下面的分析可以知道，在LED芯片直徑一定時(shí)，準(zhǔn)直透鏡的光束角和透鏡直徑有極大關(guān)系。因此我們首先估算透鏡的大小。

我們可以認(rèn)為成像光學(xué)是研究物方的一個(gè)點(diǎn)如何成像到像方的一個(gè)點(diǎn)。而LED準(zhǔn)直透鏡的情況，也可以看成是芯片發(fā)出的光要輸送到無(wú)窮遠(yuǎn)處的一個(gè)點(diǎn)而不是照明中通常研究的照明一個(gè)面，此時(shí)它的光學(xué)性質(zhì)就在很大程度上和成像光學(xué)相同。

不考慮光損失，則在近軸光學(xué)條件下有拉赫不變量守恒。當(dāng)物像雙方的介質(zhì)折射率都為1時(shí)拉赫不變量守恒表示為：

d1·sinθ1=d2·sinθ2

(1)

其中d1,d2為物像兩邊光源的有效直徑,θ1,θ2為兩邊的半光束角。

由拉赫不變量守恒可知，同一光學(xué)系統(tǒng)，如要光束角減小必須增大有效光源尺度。圖1表示了這種關(guān)系。圖1中(a)的光束角小，其光源有效尺度必然大；而(b)的光源有效尺度小，則其光束角必然大；但像(c)那樣光束角和光源有效尺度都小的情況是不可能的。在準(zhǔn)直透鏡的情況，有效光源尺度就是透鏡的尺度。

圖1 光源有效尺度與光束角的關(guān)系Fig.1 Relationship between effective scale of light source and beam angle

注意，拉赫不變量守恒與折射定律相比，是任何光學(xué)系統(tǒng)都必須服從的更為一般的規(guī)律。因此我們可以先不管透鏡用什么結(jié)構(gòu)，而首先用拉赫不變量守恒來(lái)估算準(zhǔn)直透鏡的大小。我們用Nichia119為芯片，d1=1.1 mm，θ1=60°。我們的目標(biāo)是希望θ2=±2°，則由拉赫不變量守恒可以估算透鏡直徑d2為

(2)

因此，當(dāng)使用直徑為1.1 mm的芯片時(shí)，不管用什么結(jié)構(gòu)的透鏡，其直徑都應(yīng)該為28 mm以上。

1.2 LED準(zhǔn)直透鏡結(jié)構(gòu)的方案

準(zhǔn)直光源透鏡的光學(xué)表面形狀可以是拋物面反射鏡。但一般來(lái)說(shuō)拋物面反射鏡深度比較大，許多場(chǎng)合都不合適；而且要形成準(zhǔn)直光需把LED及其電路板放在位于拋物面內(nèi)部的焦點(diǎn)處，這會(huì)大大影響出光效率；還有一個(gè)問(wèn)題是從拋物面表面發(fā)出的光其亮度不均勻。

另一個(gè)方案是用內(nèi)部全反射的杯狀透鏡來(lái)做準(zhǔn)直透鏡。這種透鏡是多面結(jié)構(gòu)的，一般是一個(gè)表面專門負(fù)責(zé)反射，其余的表面為折射，LED和線路板放在透鏡的外面，沒(méi)有擋光的問(wèn)題，效率較高。但是透鏡的厚度仍較大；而且其表面的亮度也不夠均勻，中心亮而邊緣暗。

我們的方案是讓透鏡的出光面也成為全反射面，即出光面為雙功能面?？梢栽O(shè)計(jì)成射向該面的光由于全反射而射向一個(gè)純反射面，但光線再次返回該面時(shí)角度變成基本上垂直入射，這就可以由該面透射出去了。這種結(jié)構(gòu)可以做得比較薄，而且LED可以放在透鏡內(nèi)部也可以在外部，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)比較方便。對(duì)這種雙功能的表面，我們用雙循環(huán)逐次逼近的方法成功地設(shè)計(jì)了一個(gè)質(zhì)量較高的準(zhǔn)直透鏡。其方法可以用于其他透鏡的設(shè)計(jì)。

2 設(shè)計(jì)方法

圖2給出了逐次逼近法設(shè)計(jì)薄形準(zhǔn)直透鏡的較為詳細(xì)的流程。過(guò)程看似復(fù)雜，但對(duì)于用計(jì)算機(jī)編程來(lái)完成卻較為簡(jiǎn)單而快捷。計(jì)算的基本方法稱為光通量線方法[7]。

圖2 逼近法計(jì)算LED準(zhǔn)直透鏡Fig.2 Successive approximation calculations of collimating LED lens

以設(shè)計(jì)一個(gè)直徑28 mm，中心厚4 mm的薄形準(zhǔn)直透鏡為例。本文中簡(jiǎn)稱入射面為面0，所述雙功能面為面1，純反射面為面2。這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱透鏡，因此計(jì)算只需要在一個(gè)象限內(nèi)進(jìn)行。下面給出詳細(xì)的設(shè)計(jì)計(jì)算步驟。

步驟1：計(jì)算面0。為簡(jiǎn)單計(jì)，令面0為球面，也就是入射面不改變光線方向。圖3為光通量線數(shù)目n=10，θ1=130°時(shí)面0的結(jié)果。這里取光線數(shù)n=10是為了讓讀者看圖清晰。如果為了要適當(dāng)壓縮LED射入透鏡時(shí)的光束角從而收集更多的光線，面0將不是球面，可以按入射面改變LED光束的要求計(jì)算透鏡形狀[7]。

圖3 透鏡的入射面(面0)Fig.3 Incident surface of the lens

步驟2：設(shè)定嘗試面。在面2的中心位置(x=0)處給出一個(gè)高為h的嘗試垂直平面，其半徑按1.2節(jié)的估計(jì)取h=14 mm，并在其上y=3～14 mm 處均布10個(gè)試探光線落點(diǎn)，如圖4所示。

圖4 給定目標(biāo)點(diǎn)后計(jì)算雙功能面(面1)Fig.4 Calculation of dual function surface after given target point

步驟3：計(jì)算面1。以從面1的反射線通過(guò)上述10個(gè)點(diǎn)為目標(biāo)，從點(diǎn)(4,0)開(kāi)始用反射定律逐個(gè)連續(xù)計(jì)算10個(gè)小反射面的位置和方向，串聯(lián)形成折線構(gòu)成面1，如圖4右方所示。

步驟4：計(jì)算面2。以反射線方向水平為目標(biāo)，從點(diǎn)(0,3)開(kāi)始用反射定律逐個(gè)連續(xù)計(jì)算10個(gè)小反射面的位置和方向，串聯(lián)形成折線構(gòu)成面2，如圖5(a)所示。

步驟5：計(jì)算出射線。先求得面2射出的10條光線分別和面1的那個(gè)小線段相交，再用折射定律求這些光線由面1折射后的方向。圖5(a)是計(jì)算結(jié)果，由于面1不是平面，因此第1次計(jì)算的出射線是不平行的。

步驟6：判斷出射線的方向和水平線相差的角度是否滿足小于給定的小量的條件。如果滿足，相當(dāng)于面1的出射線都是平行線，則跳過(guò)步驟7而直接進(jìn)行步驟8。如果不滿足，則進(jìn)行步驟7，開(kāi)始小循環(huán)逼近。

圖5 修改純反射面(面2)使出射線平行Fig.5 Modify pure reflection surface to make ray parallel

步驟7：小循環(huán)。逐個(gè)修改面2的10個(gè)小線段的角度，再次由步驟4，5計(jì)算。修改的方法是把10條反射線原來(lái)的方向由α(i)改為式(3)給出的αnew:

(3)

其中αnew(i)為修正后入射線方向，nd為透鏡折射率，α(i)為原入射線方向，β(i)為上次計(jì)算得到的出射線方向，γ(i)為希望的出射線方向，本例γ(i)=0。這里逼近修改的原理是基于折射定律，即因?yàn)楣饩€從折射率為nd的介質(zhì)折射向折射率為1的介質(zhì)時(shí)，入射角每增加一個(gè)小量如1度時(shí)，折射角就會(huì)增加nd度，因此要讓折射角改變1度，入射角就要改變1/(nd)度。經(jīng)過(guò)若干次逼近后就可以滿足步驟6的要求而得到見(jiàn)圖5(b)所示的全部為水平線的出射光。

步驟8：判斷出射面的亮度是否均勻。即判斷各出射光線垂直落點(diǎn)距離之差是否滿足小于給定的小數(shù)的條件，若滿足則計(jì)算完成，若不滿足則進(jìn)行步驟9。

步驟9：大循環(huán)。在已經(jīng)求得的面2上重新均布各反射點(diǎn)的高度，再由步驟3開(kāi)始下一次大循環(huán)逼近計(jì)算，直到如圖6(a)所示全部滿足要求。

選擇事先給定的小量的大小可以使得出射光線平行度和均勻度都達(dá)到任意的精度。而表面的平滑程度則取決于n的大小，圖6(b)是n=50的計(jì)算結(jié)果，實(shí)際設(shè)計(jì)中所取的n會(huì)更大，如n>200。

注意從LED發(fā)出的光線不是所有都可以在面1全反射，不能全反射的部分在本例中約2 mm，應(yīng)把這一區(qū)域鍍上反射膜。面2上y>3以上范圍全部鍍膜，而y<3的位置則留給擺放LED。也可以將LED放在透鏡內(nèi)部，這時(shí)只要設(shè)置面2的位置為x<0，再進(jìn)行同樣的計(jì)算。

圖6 使出射線均勻分布Fig.6 Make ray uniform distribution

3 實(shí)際應(yīng)用

3.1 透鏡設(shè)計(jì)及量產(chǎn)

在實(shí)際設(shè)計(jì)中我們用了200條光線對(duì)上述配置的透鏡進(jìn)行計(jì)算，得到了平滑的表面，加工后的外形見(jiàn)圖7。

圖7 LED準(zhǔn)直透鏡外形Fig.7 Outside view of the collimating LED lens

實(shí)際批量生產(chǎn)后，實(shí)測(cè)其半功率角為±2.5°，見(jiàn)圖8，和拉赫不變量估計(jì)的相近。

圖8 實(shí)測(cè)透鏡的光束角為±2.5°Fig.8 Measured lens beam angle is ±2.5°

如上指出的，芯片大則光束角小，燈具使用的芯片直徑達(dá)1.1 mm，即使如此，比起商用的±5°的光源，其照明距離是后者的4倍。

3.2 燈具在外墻照明工程中的應(yīng)用

燈具離開(kāi)被照明面的距離和被照明的高度之比稱為“距高比”。 在大型廣告牌或建筑物的外墻照明中距高比越小，燈具離開(kāi)被照明物的距離可以越小，但透鏡設(shè)計(jì)越困難。在圖9所示的上海太平洋大廈的外墻照明工程中，距高比達(dá)到了1∶14。因此其發(fā)光角的要求是±2.5°以內(nèi)，使用一般的LED透鏡不能達(dá)到這一要求。

圖9 上海太平洋大廈的外墻照明Fig.9 Exterior lighting of the Pacific Mansion in shanghai

我們把上述薄形準(zhǔn)直透鏡的設(shè)計(jì)結(jié)果用在上海太平洋大廈的外墻照明工程中。燈具是4W的模組，用單方向擴(kuò)散膜(Shaping Diffuser)使得另一個(gè)方向的角度達(dá)到70°，而在另一個(gè)方向上半功率角基本不變，這樣可以得到一個(gè)很薄的扇形光。在上海太平洋金融大廈中，燈具緊貼外墻墻面，但仍舊可以達(dá)到較均勻的照明效果。

4 討論

1) 由拉赫不變量守恒可以知道：加大透鏡尺度，即令h變大和挑選其他尺寸更小的芯片都可以使得透鏡光束角變小。此外，更高精度的模具加工透鏡也將有助于減小光束角。

2)可能是由于具有雙功能表面的透鏡設(shè)計(jì)的困難，其產(chǎn)品并不多見(jiàn)。本文相對(duì)簡(jiǎn)單的逐次逼近法提供了進(jìn)一步開(kāi)發(fā)的手段，有望開(kāi)發(fā)更多此類產(chǎn)品。

3)對(duì)于非準(zhǔn)直透鏡，即出射光線不是平行光的情況，也可以用本文的方法計(jì)算。這是由于我們的光通量線包含了能量，可以用光通量線的一定分布來(lái)達(dá)到目標(biāo)照度的某一分布，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

4)本文沒(méi)有對(duì)是否收斂和收斂速度進(jìn)行理論分析。本文的逼近公式(3)中，用θ近似代替了sinθ，但由于θ很小，近似程度應(yīng)較高，收斂速度應(yīng)該很快，實(shí)際設(shè)計(jì)也證明了收斂情況很好。

5 結(jié)論

本文提出了一種雙循環(huán)逼近計(jì)算法，可以對(duì)一個(gè)表面同時(shí)具有兩種功能的透鏡進(jìn)行自由曲面的計(jì)算。即可以使得出射光線平行度和發(fā)光面的亮度均勻度達(dá)到任意給定的精度。實(shí)際量產(chǎn)的準(zhǔn)直透鏡達(dá)到了較高的準(zhǔn)直度，在距高比很大的照明工程中得到了令人滿意的效果。本文的方法雖然是以一個(gè)具體的透鏡為例，但這一方法對(duì)具有雙功能表面透鏡的設(shè)計(jì)具有普遍意義。

[1] WANG Lin, QIAN Keyuan, LUO Yi. Discontinuous free-form lens design for prescribed irradiance [J]. Applied Optics, 2007, 46(18), 3716-3723.

[2] RIES Harald. Tailored freeform optical surface [J]. Journal of the Optical Society of America, 2002, 19(3)：590-595.

[3] 丁毅，顧培夫.實(shí)現(xiàn)均勻照明的自由曲面反射器 [J]. 光學(xué)學(xué)報(bào)，27(3)：540-544.

[4] 潘林森，王飛.逐次逼近法[M]. 成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，1989.

[5] 趙根榕.逐次逼近法[M]. 北京：科學(xué)普及出版社，1965.

[6] 準(zhǔn)直透鏡的設(shè)計(jì)方法：：中國(guó)，CN200910201160.1[P].2009-12-15.

[7] 周士康，陳春根，許禮，等. 光通量線方法用于LED二次光學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 照明工程學(xué)報(bào)，2015, 27(1): 101-111.

Successive Approximation Calculations of Free Form Surface LED Lens with Double Function Surface of Reflection and Refraction

ZHOU Shikang, CHEN Chungen

(Shanghai Sansi Technology Co.Ltd, Shanghai 201100, China)

Allowing a fully reflective surface of the lens to refract simultaneously, lens structure can be simplified to reduce lens size. But for this kind of double function surface, general free-form surface calculation cannot be carried out. In this paper, a successive approximation method is proposed to calculate the shape of such lens. In the case of a thin collimating lens, the light enters the lens from the LED through an incident surface, reflects by the double function surface to a pure reflecting surface, and then returns back to the double function surface from the pure reflecting surface, and finally transmits out in the form of parallel light. The calculation method is to successively modify the shape of the pure reflection surface with a small cycle to make the light meet the requirement of parallel light after the light is emitted. Then a large cycle is used to successively modify the shape of the double function surface to make the light meet the requirement of uniform distribution on the lens surface. The detailed steps of this method are given in this paper, and a collimating lens is designed as an example. The measured lens beam angle is ±2.5°, which is about 4 times longer than that of commercial collimating lens. The method presented in this paper is of general significance for the design of a lens with both reflection and refraction.

free form surface; successive approximation method; double cycle approximation; double function surface; LED; lens; collimating lens; lens design

國(guó)家863計(jì)劃“十城萬(wàn)盞”半導(dǎo)體照明應(yīng)用研究及示范——“標(biāo)準(zhǔn)化模塊化LED道路照明及智能控制系統(tǒng)研發(fā)及示范”(課題號(hào)：2013AA03A112)

O435.1 TM923.59

A

10.3969j.issn.1004-440X.2017.03.019