超高強度抽油桿P-S-N曲線擬合新方法

胥元剛 郝帆帆

西安石油大學石油工程學院

超高強度抽油桿P-S-N曲線擬合新方法

胥元剛 郝帆帆

西安石油大學石油工程學院

P-S-N曲線是超高強度抽油桿力學性能分析的主要依據，其擬合方法通常參照于普通抽油桿。然而實驗數據表明，超高強度抽油桿并不滿足普通抽油桿P-S-N曲線擬合模型的假設條件。為了研究適應于超高強度抽油桿的P-S-N曲線擬合方法，提出了基于Box-Cox變量變換法的三參數P-S-N曲線擬合模型，其中Box-Cox變量變換法解決了一定循環應力下，疲勞壽命不滿足正態分布的問題；三參數P-S-N曲線模型更符合典型S-N曲線的趨勢。實驗計算結果表明，新方法下的P-S-N曲線擬合度更高，相對誤差僅為1.46%～4.12%，僅為以往方法的11%～30%，新方法擬合的曲線更能體現超高強度抽油桿力學性能，精確度更高。

P-S-N曲線；超高強度；抽油桿；Box-Cox變量變換法

P-S-N曲線是指在給定存活概率下，疲勞實驗所得循環應力與疲勞壽命的關系曲線，簡稱概率疲勞壽命曲線［1］。抽油桿高載荷往復運動過程中受到交變應力作用，達到一定限度時抽油桿斷裂，即發生疲勞破壞。為研究抽油桿疲勞性能，進行室內疲勞實驗研究，通過擬合數據獲得的P-S-N曲線對曲線擬合程度要求很高。

針對抽油桿P-S-N曲線的擬合方法，多位學者進行了相關研究。宋開利（2003）提出利用K-S方法驗證疲勞實驗的數據分布，以及P-S-N曲線線性擬合模型［2］；林元華等（2005）基于抽油桿軸向載荷的數學模型，建立了疲勞壽命的預測模型［3］；李大建等（2015）基于疲勞實驗數據計算了H級抽油桿P-S-N曲線的方程［4］。以上研究均作出假設：同一循環應力下，疲勞壽命滿足正態分布；指定存活概率下疲勞壽命和循環應力對數線性相關。然而，大量疲勞實驗數據表明：不同循環應力下，疲勞壽命的分布不完全滿足正態分布，且方差不同；中、長壽命區材料在指定存活概率下，疲勞壽命和循環應力的對數線性相關程度低，從而導致回歸誤差大［5-8］。超高強度抽油桿的主要特點為疲勞強度高，屬于中、長壽命區材料，其擬合模型不再滿足擬合普通抽油桿的假設條件，需要提出新的擬合方法。

利用Box-Cox變量變換法解決疲勞壽命不服從正態分布的問題，能夠實現高擬合優度，又能保證信息不丟失。而針對模型的不適用性，根據典型S-N曲線趨勢提出三參數擬合模型。

1 Box-Cox變量變換法

Box-Cox variable transformation method

Box和Cox于1964年提出Box-Cox變量變換法，原理為對因變量y作以下變換［9］

式中，λ為待定參數。

Box-Cox變量變換法的特點：變換因變量y前后，自身遵循規律不發生變化，信息不丟失，且回歸模型滿足正態分布。對于X=［x1，x2，…，xn］T和Y=［y1，y2，…，yn］T，變換后Y（λ）=［y1（λ），y2（λ），…，yn（λ）］T滿足方程

式中，α為矩陣Y（λ）和X的相關系數。

式中，zi（λ）為yi經過λ值轉換的求參因變量。

確定λ值的方法：先確定λ值的取值范圍，給定初值，通過計算得出Z（λ）= ［z1（λ），z2（λ）…zn（λ）］T，誤差殘差平方和R（λ，Z（λ））=Z（λ）T［I–X（XTX）–1XT］Z（λ），λ所求值即為滿足minR（λ，Z（λ））的值。

疲勞實驗數據為某一循環應力對應的多組疲勞壽命數值，即X樣本為定值，認為minR（λ，Z（λ））=Z（λ）TZ（λ）。據此求得不同循環應力下對應的λ值，完成所有疲勞實驗數據的Box-Cox變量變換。解決了不同循環應力下，疲勞壽命的分布不完全滿足正態分布的問題。

2 三參數P-S-N曲線

Three-parameterP-S-Ncurve

以往的抽油桿P-S-N曲線模型原理：指定存活概率P下，疲勞壽命N與循環應力S的對數線性相關，為

式中，NP為存活概率（即可靠度）P下的疲勞壽命；S為循環應力，MPa；mP，CP為存活概率P下的待定系數。

令YP=lgNP，X=lgS，β1=mP，β2=lgCP。式（4）變換為線性關系式為

當疲勞壽命N趨近無限大時，循環應力趨近疲勞極限S0，S-N曲線趨勢與指數函數相近。提出適用于中、長壽命區材料S-N曲線的模型為

式中，m，C為材料常數。

給定存活率P下，變形為三參數P-S-N曲線模型方程為

式中，SP0為存活率P下的疲勞極限。令X=lg（S–SP0）、YP=lgNP、β1=mP、β2=lgCP，式（7）可以變形為式（5）的形式，與以往抽油桿擬合過程不同的是X值的計算方法以及YP經過了Box-Cox變量變換這個步驟。因此雖然最后擬合模式均為線性擬合，但參數發生變化。

3 最小二乘法線性擬合

Alignment fitting of least square method

對線性方程式（5）的擬合使用最小二乘法

據此獲得k組循環應力X=［lg（S1–SP0），lg（S2–SP0），…，lg（Sk–SP0）］T下的Yp=［yP1，yP2，…，yPk］T。最小二乘法擬合線性關系的原理為

擬合產生的誤差V表示為

最后得出擬合公式為

4 P-S-N曲線擬合思路

P-S-Ncurve fitting principle

根據上述理論，確定P-S-N曲線擬合步驟。

（1）進行疲勞實驗，測定循環應力Si（i=1，2，…，k）的疲勞壽命Nj（j=1，2，…，n）。

（2）Box-Cox變量變換，循環應力Si下，先給定λ值的取值范圍，給定初始值，利用式（3）由Nj求得Z（λ），在取值范圍內試算滿足minR（λ，Z（λ））=Z（λ）TZ（λ）的λ值。以此方法計算出其他循環應力下的λ值。用式（1）對Si下Nj進行Box-Cox變量變換，使其滿足正態分布，得出Si對應新的Nj值。

（3）給定可靠度P，根據式（8）計算YP=［yP1，yP2，…，yPk］T。

（4）假定SP0，計算X=［lg （S1–SP0），lg（S2–SP0），…，lg（Sk–SP0）］T。

（5）根據式（9）和式（10）最小二乘法擬合線性方程計算β1，β2。

（6）根據式（11）計算V值，然后返回第（4）步重新假設SP0值，V達到最小值則停止計算，記錄試算最后一步的SP0值。

（7）得出可靠度P下，超高強度抽油桿P-S-N曲線方程式（12）。

5 實驗數據

Experimental data calculation

根據SY/T 5029—2013《抽油桿》附錄L中鋼制抽油桿疲勞性能要求和實驗方法，利用PLG-300C電磁諧振高頻疲勞實驗機進行了18組超高強度抽油桿的疲勞實驗，每組7根試件（2根備用）。試件發生疲勞斷裂時，如果疲勞壽命不低于106，則為合格，認為是有效數據，否則無效。篩選出2種類型的超高強度抽油桿（HY型和HL型）在不同循環應力下的疲勞壽命數據，見表1。分別利用新方法和以往方法對實驗所得數據進行了P-S-N曲線擬合，并計算相應的誤差值，計算結果見表2。

表1 超高強度抽油桿疲勞實驗Table 1 Fatigue test on ultra-high-strength pumping rod

表2 計算結果Table 2 Calculation results

由表2可以看出，可靠度為50%和95%時，采用新方法擬合的曲線偏差更小，其相對誤差降低到以往方法的11%～30%，說明基于Box-Cox變量變換法的三參數P-S-N曲線模型與實驗數據吻合程度更高，更能代表超高強度抽油桿的力學性能。

6 結論

Conclusions

（1）針對一定循環應力下的超高強度抽油桿，其疲勞壽命不完全滿足正態分布以及以往模型不適用的問題，提出了基于Box-Cox變量變換法的三參數P-S-N曲線模型：Box-Cox變量變換法能夠保證信息不丟失，且模型滿足正態分布；三參數P-S-N曲線模型符合典型S-N曲線的趨勢，是對以往模型的優化。

（2）實驗結果表明，新方法將擬合曲線的相對誤差降低到了1.46%～4.12%，僅為以往模型的11%～30%，提高了P-S-N曲線的擬合精度和可信度。因此，新方法更適用于超高強度抽油桿P-S-N曲線的擬合，更能代表超高強度抽油桿的力學性能。。

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（修改稿收到日期 2017-03-12）

〔編輯 李春燕〕

A new fitting method forP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod

XU Yuangang,HAO Fanfan
College of Petroleum Engineering,Xi’an Shiyou University,Xi’an710065,Shaanxi,China

P-S-Ncurve is one important basis for analyzing the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod,and its fitting method is generally referred to that of conventional sucker rods.Based on experimental data,however,ultra-high-strength sucker rod can’t satisfy the assumptions ofP-S-Ncurve fitting model which is used for conventional sucker rods.A three-parameterP-S-Ncurve fitting model based on Box-Cox variable transformation method was developed to search for a fitting method suitable for theP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod.By means of Box-Cox variable transformation method,fatigue life can satisfy normal distribution in a certain cyclic stress.The three-parameterP-S-Ncurve model is more accordant with the trend of typical S-N curve.It is indicated from experimental calculation results that by virtue of this new method,the fitting degree ofP-S-Ncurve is higher with relative error only 1.46%-4.12%,which is just 11%-30% of the conventional value.The fitting based on this new method can embody the mechanical performance of ultra-high-strength sucker rod more accurately.

P-S-Ncurve; ultra high strength; sucker rod; Box-Cox variable transformation method

胥元剛，郝帆帆.超高強度抽油桿P-S-N曲線擬合新方法［J］.石油鉆采工藝，2017，39（3）：334-337.

TE928

：A

1000–7393（2017 ）03–0334–04DOI:10.13639/j.odpt.2017.03.015

: XU Yuangang,HAO Fanfan.A new fitting method forP-S-Ncurve of ultra-high-strength sucker rod［J］.Oil Drilling& Production Technology,2017,39(3): 334-337.

西安石油大學研究生創新基金項目（編號：2015cx140104）；西安石油大學優秀碩士學位論文培育項目（編號：2015yp1401 04）。

胥元剛（1963-），1998年畢業于中國石油大學（華東）油氣田開發工程專業，博士研究生，現從事采油工程理論與技術方向的研究和教學，教授。通訊地址：（710065）陜西省西安市雁塔區電子二路18號西安石油大學。E-mail：ygxu@xsyu.edu.cn

郝帆帆（1990-），西安石油大學在讀碩士研究生現，主要從事采油工程理論與技術方面的研究工作。通訊地址：（710065）陜西省西安市雁塔區電子二路18號西安石油大學。E-mail：fan_fanhao@126.com