數列中的數形結合　問題

遼寧省實驗中學　成建卓

一　綜述

在很多圖形中，蘊含著數列的函數關系.比如用火柴拼并排擺放的正方形：用4根火柴可以拼出一個正方形，用7根火柴可以拼出兩個正方形，用10根火柴可以拼出三個正方形……用an根火柴可以拼出 n 個正方形，易知 a1=4，a2=7，a3=10，…，火柴的根數與擺出的正方形的個數的關系就是數列.等差數列前n項和公式的證明，相當于求等腰梯形的面積，即把兩個等腰梯形拼成一個平行四邊形，應該說數與形的關系廣泛存在于數列問題中.

二　經典例題解析

例 1如圖， 直角 ΔABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，作ΔABC的內接正方形BEFB1，再做ΔB1FC的內接正方形B1E1F1B2，…，依次下去，所有正方形的面積依次構成遞減數列｛an｝，其前n項和為_____.

【解析】解決面積問題要先從邊長入手.利用圖形的性質，通過直角三角形中的邊角關系可以確定相鄰兩個正方形的邊長關系.

故數列｛bn｝是以為首項，以為公比的等比數列，所以

例2設C1，C2，…，Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知｛rn｝為遞增數列.

（1）證明：｛rn｝為等比數列；

（2）設r1=1，求數列｝的前n項和.

【解析】（1）通過求直線傾斜角的正弦入手.設Cn的圓心為（姿n，0），得 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得出兩圓半徑之間的關系，即｛rn｝中rn+1與rn的關系，證明｛rn｝為等比數列；（2）利用（1）的結論求｛rn｝的通項公式，代入數列，然后用錯位相減法求和.

設 Cn的圓心為（姿n，0），則 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，兩式相減得

故2rn+1-2rn=rn+1+rn，解得rn+1=3rn，所以數列｝為等比數列.

（2）由于 r1=1，q=3，故