數(shù)列隨想

弓月

數(shù)列對(duì)于我們來(lái)說(shuō)其實(shí)一點(diǎn)也不陌生。小時(shí)候剛學(xué)說(shuō)話，便會(huì)扳著手指數(shù)1，2，3，4，5，…，這是我們最早接觸的數(shù)列。至于后來(lái)的高斯計(jì)算前100個(gè)正整數(shù)的和、讓印度國(guó)王在國(guó)際象棋棋盤上放麥粒的故事，更是耳熟能詳，同時(shí)也領(lǐng)略到數(shù)列中展現(xiàn)出的人類智慧。

數(shù)列在生活中可謂無(wú)處不在。我們思考問(wèn)題時(shí)，為追求簡(jiǎn)便，常按一定的次序來(lái)處理事情，用次數(shù)、天數(shù)、月數(shù)、年數(shù)等順次進(jìn)行記錄，這樣便不知不覺生成了數(shù)列。

數(shù)列不僅是我們必備的數(shù)學(xué)知識(shí)，是形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本材料，也是拓展視野、認(rèn)識(shí)世界的有力工具。

“圓周率到底是多少？”歷史上這曾是一件讓世人大傷腦筋的事。我國(guó)魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家劉徽，獨(dú)創(chuàng)了一種叫“割圓術(shù)”的方法求圓周率：設(shè)圓的直徑為1，依次計(jì)算圓的內(nèi)接正三角形、正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形…的周長(zhǎng)。用今天的話來(lái)講，就是把這些周長(zhǎng)依次排成一個(gè)數(shù)列。劉徽發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是圓周率。為什么呢？劉徽說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。”在數(shù)的逼近中，圓周率無(wú)所遁形。

1766年，德國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教師提丟斯，把人們熟悉的等比數(shù)列3，6，12，24，48，96，192…作簡(jiǎn)單變換后得到數(shù)列0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…令他驚奇的是，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與當(dāng)時(shí)已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太陽(yáng)的距離比例（地球到太陽(yáng)的距離定為1個(gè)單位）有著一定的聯(lián)系。以該數(shù)列為線索，1781年，英籍德國(guó)人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數(shù)列中的第八項(xiàng)）發(fā)現(xiàn)了天王星；1801年，德國(guó)天文愛好者奧伯斯在數(shù)列的第五項(xiàng)，即2.8的位置上又發(fā)現(xiàn)了一顆對(duì)應(yīng)的行星——谷神星。數(shù)列還可能是自然界事物內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的某種體現(xiàn)。

深入研究數(shù)列時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，它與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。函數(shù)可以用列表法、圖象法、解析法表示。數(shù)列也可以用列表、圖象、通項(xiàng)公式表示。從本質(zhì)上講，數(shù)列就是函數(shù)。只不過(guò)此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的有限子集{1，2，3，…，n}。這樣，在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，可以從函數(shù)的視角來(lái)看待它，用函數(shù)的方法來(lái)研究它。相應(yīng)地，我們也可以借助數(shù)列來(lái)認(rèn)識(shí)不同角度的函數(shù)。其實(shí)，在我們剛學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，就已經(jīng)這么做了。大家還記得描點(diǎn)法作函數(shù)圖象嗎？為了畫出函數(shù)圖象，先在自變量中選取一些特殊值，再列表、描點(diǎn)。這實(shí)際上就是從函數(shù)中抽取出一個(gè)數(shù)列，讓我們通過(guò)數(shù)列來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)。

掌握了數(shù)列知識(shí)，相信你的數(shù)學(xué)眼光一定會(huì)更有穿透力。endprint