基于有限元的天平校準(zhǔn)系統(tǒng)基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙永豐+王均濤

摘要： 在Solidworks環(huán)境下建立三維模型，運(yùn)用有限元軟件對(duì)基座結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)、靜態(tài)性能分析，得到初始模型的性能參數(shù).以最小質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，以剛度、應(yīng)力和頻率為約束條件，建立數(shù)學(xué)模型.提出一種基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的拓?fù)鋬?yōu)化方法，引入過(guò)濾函數(shù)來(lái)解決拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中容易出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定、數(shù)值分布呈棋盤(pán)模式的現(xiàn)象，保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化后的模型重新分析計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，其性能依然優(yōu)異，基頻提升26.7%，質(zhì)量減少5.8%.

關(guān)鍵詞： 基座； 靜力分析； 模態(tài)分析； 拓?fù)鋬?yōu)化； 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

中圖分類號(hào)： TH 715文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Optimization Design of Pedestal Structure of Balance

Calibration System Based on Finite Element Method

ZHAO Yongfeng1，WANG Juntao2

（1.School of Mechanical Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2.Shanghai Machine Tool Works Ltd.， Shanghai 200093， China）

Abstract： The threedimensional model is established in Solidworks，and the static and dynamic performance of the pedestal structure is analyzed by finite element software，which can help to get the performance parameters of the initial model.Based on the minimummass as the objective function，the mathematical model for topology optimization is established with the stiffness，stress and frequency as the constraint condition.For ensuring the accuracy of the calculation results，a method based on evolution structure optimization for topology optimization is presented and a filtering function is introduced in order to solve the numerical instability and checkerboard phenomenon in the topology optimization process.After analyzing the calculation of the topological optimized model，the structure performance is still excellent.As a result，the fundamental frequency increased by 27.6%，and the mass reduced by 5.8%.

Keywords： pedestal； static analysis； modal analysis； topology optimization； evolution structure optimization

風(fēng)洞天平校準(zhǔn)系統(tǒng)是目前世界各國(guó)在各類型氣動(dòng)力測(cè)量試驗(yàn)中廣泛采用的測(cè)量裝置，其性能指標(biāo)直接影響天平校準(zhǔn)系統(tǒng)的試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)精度.風(fēng)洞天平校準(zhǔn)裝置主要由龍門(mén)架、基座和四自由度機(jī)械臺(tái)體組成，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.基座支撐龍門(mén)架、加載機(jī)構(gòu)和四自由度機(jī)械臺(tái)等部件，在整個(gè)系統(tǒng)中占總質(zhì)量的44.6%.因此，在保證剛度和強(qiáng)度的情況下，合理設(shè)計(jì)基座結(jié)構(gòu)，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以使基座質(zhì)量減小，同時(shí)降低工藝難度與生產(chǎn)成本，獲得良好的經(jīng)濟(jì)效益.基座內(nèi)部的筋板結(jié)構(gòu)和布局在很大程度上決定了基座的動(dòng)、靜態(tài)性能[1]，而基座靜態(tài)特性與動(dòng)態(tài)特性又影響著天平校準(zhǔn)系統(tǒng)的測(cè)量性能與精度穩(wěn)定性.低階模態(tài)特性基本決定了產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)性能，因此，在基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中也要考慮頻率方面的約束[2].對(duì)天平校準(zhǔn)系統(tǒng)的基座進(jìn)行靜力分析與模態(tài)分析，利用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，以最小質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，以剛度、應(yīng)力和頻率為約束條件，引入過(guò)濾函數(shù)來(lái)解決拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中容易出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.最后對(duì)基座進(jìn)行拓?fù)浞治觯瑥臐M足約束的結(jié)構(gòu)中刪除多余的材料，以此來(lái)獲得最小的基座質(zhì)量.

1.1模型建立

基座由灰鑄鐵鑄造而成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，主要由厚度不一、形狀各異的筋板，以及鑄造岀砂孔構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際使用情況需要，整體結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)為T(mén)型.Solidworks環(huán)境下建立的三維模型是有限元分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的前提和基礎(chǔ).為了便于有限元分析計(jì)算，必須對(duì)三維模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，省去倒角、圓角、螺紋孔等細(xì)微特征.簡(jiǎn)化后的模型及有限元模型如圖2、圖3所示.基座長(zhǎng)3 100 mm，兩翼寬2 990 mm，中間寬1 260 mm，高520 mm，設(shè)定中間筋板厚度25 mm，兩翼筋板厚度20 mm，壁厚25 mm.

1.2靜力分析

靜力分析用于計(jì)算在固定不變的載荷作用下結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，它不考慮慣性和阻尼的影響，如結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的載荷的情況.其靜力學(xué)方程為：

[K]{u}={F}（1）

式中：[K]為剛度矩陣；{u}為各節(jié)點(diǎn)位移；{F}為靜力載荷.

在靜態(tài)工作環(huán)境下，基座主要受到3個(gè)相同的側(cè)力加載機(jī)構(gòu)的重力，其值均為9 000 N，四自由度機(jī)械臺(tái)重力約為30 000 N，龍門(mén)架及其上的測(cè)量架與升力加載機(jī)構(gòu)的重力約為20 000 N.在ANSYS軟件中設(shè)置材料、劃分網(wǎng)格、施加約束和作用力，得到變形與應(yīng)力分布圖，如圖4、圖5所示.

由圖4可知，最大變形為0.015 mm，最大應(yīng)力為1.47 MPa.最大變形發(fā)生于基座兩翼部分，此處正是側(cè)力加載機(jī)構(gòu)所處的位置，而這個(gè)系統(tǒng)最關(guān)鍵的部分就是此處的側(cè)力加載機(jī)構(gòu)，其精度直接影響測(cè)量的準(zhǔn)確度.應(yīng)力范圍為0.16～1.47 MPa，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鑄鐵的極限強(qiáng)度，基座可以進(jìn)一步減輕質(zhì)量.

1.3模態(tài)分析

模態(tài)是結(jié)構(gòu)的一種固有振動(dòng)特性，是一種研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的方法.每個(gè)結(jié)構(gòu)都具有各自的模態(tài)參數(shù)，而模態(tài)參數(shù)的識(shí)別大致分為兩種方法：一是通過(guò)計(jì)算機(jī)的有限元軟件進(jìn)行計(jì)算獲得；另一種是模態(tài)試驗(yàn)的方法，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)備采集到輸出信號(hào)，經(jīng)過(guò)參數(shù)識(shí)別從而獲得模態(tài)參數(shù).本文采用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算獲取模態(tài)參數(shù).

自由度的振動(dòng)系統(tǒng)可表示為[3]：

[M]{x··}+[ξ]{x·}+[K]{x}={f}（2）

式中：[M]，[K]分別為質(zhì)量和剛度矩陣；{f}為外激勵(lì)矩陣；{x··}、{x}分別為物理坐標(biāo)下的位移和加速度矩陣.

當(dāng){f}=0時(shí)，阻尼ξ=0，式（2）為自由振動(dòng)方程，其特征方程為：

[K]-ω2[M]=0（3）

解方程式（3）得ω的m個(gè)互異正根ω0i（i=1，2，…，m），并按升序排序，0<ω01<ω02<…<ω0m，第i階固有圓頻率

ω0i=kimi或固有頻率f0i=12πkimi（4）

各階固有頻率f0i均與kimi成正比，f0i越大，說(shuō)明單位質(zhì)量的剛度越高，可作為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的一個(gè)優(yōu)化約束條件.在進(jìn)行動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，盡量提高各階固有頻率，避免固有頻率與外界激勵(lì)頻率一致引起共振.利用ANSYS軟件對(duì)基座進(jìn)行模態(tài)分析，分析時(shí)采用靜力分析模型，對(duì)基座底面進(jìn)行固定約束，不施加任何載荷，由于低階模態(tài)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)影響較大，求得基座的前四階頻率，如表1所示.各階振型如圖5所示.

通過(guò)對(duì)基座進(jìn)行自由模態(tài)分析，得到了基座的固有頻率和固有振型，真實(shí)地反映出基座的動(dòng)態(tài)特性.表1和圖6表明基座具有良好的振動(dòng)性能，同時(shí)也為后續(xù)基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析設(shè)計(jì)做了準(zhǔn)備.

2基座的拓?fù)鋬?yōu)化

靜力學(xué)方面的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題一般可以按兩種方式建立優(yōu)化模型：一是在體積或質(zhì)量約束下求最小柔度，即最大剛度；二是在剛度（或其他條件）約束下求最小體積或質(zhì)量[4].本文是在頻率、剛度及應(yīng)力約束下采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（evolutionary structural optimization，簡(jiǎn)稱ESO法[5-6]）求解最輕的質(zhì)量.

所謂ESO法就是預(yù)先選取結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域和初始域，給定結(jié)構(gòu)所需滿足的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的貢獻(xiàn)度.根據(jù)其貢獻(xiàn)度大小刪除無(wú)效的材料，循環(huán)該過(guò)程，達(dá)到終止條件，最終得到最佳拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).在優(yōu)化迭代過(guò)程中，采用固定的有限元網(wǎng)格，對(duì)存在的材料單元，其材料數(shù)編號(hào)為非零的數(shù)，而對(duì)不存在的材料單元，其材料數(shù)編號(hào)為零，通過(guò)這種零和非零模式實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化.該方法具有良好的通用性，能夠采用已有的有限元分析軟件，通過(guò)迭代，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).

2.1靜力優(yōu)化準(zhǔn)則

2.1.1應(yīng)力準(zhǔn)則

在某一結(jié)構(gòu)中，如果某一部分的材料沒(méi)有得到充分的利用，應(yīng)將其刪除或改進(jìn)，如此反復(fù)進(jìn)行，直至得到最優(yōu)應(yīng)力分布[7].基于此原理，通過(guò)對(duì)基座進(jìn)行應(yīng)力分析，確定單元的Von Mises應(yīng)力σvme與整個(gè)結(jié)構(gòu)的最大Von Mises應(yīng)力σvmmax，然后刪除不滿足條件的單元，減小基座質(zhì)量.對(duì)于各項(xiàng)同性的材料，其Von Mises應(yīng)力定義為：

σvm=σ2x+σ2y-σxσy+3τ2xy（5）

式中：σx和σy分別為x和y方向的正應(yīng)力；τxy為剪應(yīng)力.

將單元的Von Mises應(yīng)力σvme與整個(gè)結(jié)構(gòu)的最大Von Mises應(yīng)力σvmmax進(jìn)行比較，便可確定每個(gè)單元的應(yīng)力水平.在每一次有限元分析后，從模型中刪除滿足下列條件的所有單元：

σvmeσvmmax

式中，RRi為當(dāng)前的拒絕率.

采用相同的拒絕率，反復(fù)迭代有限元分析和單元?jiǎng)h除循環(huán)，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)，然后引進(jìn)一個(gè)進(jìn)化率ER，并附加到拒絕率中，即：

RRi+1=RRi+ER， i=0，1，2，…（7）

用這個(gè)增加的拒絕率再一次進(jìn)行有限元分析和單元?jiǎng)h除，直至達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)態(tài).

2.1.2剛度準(zhǔn)則

對(duì)基座而言，在改變其結(jié)構(gòu)時(shí)，必須保證其剛度，但是部分材料的剛度不會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)整體產(chǎn)生很大的影響，因此類比于應(yīng)力準(zhǔn)則將沒(méi)有得到充分利用的材料刪除，以此減小基座的質(zhì)量.根據(jù)式（1），結(jié)構(gòu)的平均柔順度，即剛度的對(duì)立量：

C=12[F]T[K]-1[F]（8）

在載荷向量不變的情況下，整體剛度的最大化也就是結(jié)構(gòu)柔順度的最小化.從結(jié)構(gòu)中刪除第i號(hào)單元時(shí)，式（1）就變?yōu)椋?/p>

（[K]-[Ki1]）·（[u]+Δ[u]）=[F]（9）

式中：[Ki1]為對(duì)第i號(hào)單元擴(kuò)維了的剛度矩陣；Δ[u]為位移向量的變化.

用式（1）減去式（9），并忽略式（9）中的高階量，得到位移的變化量：

Δ[u]=[K]-1[Ki1][u]（10）

將式（10）帶入式（8）得：

ΔC=12[F]TΔ[u]=12[F]T[K]-1[Ki1][u]=

12[u]T[Ki1][u]=12[ui]T[Ki][ui]（11）

式中：[Ki]為第i號(hào)單元的剛度；[ui]為第i號(hào)單元的位移向量.

由此得到第i號(hào)單元的靈敏度：

αi=[ui]T[Ki][ui]（12）

式中：αi表示刪除第i號(hào)單元時(shí)的結(jié)構(gòu)柔順度的變化情況.

優(yōu)化目標(biāo)就是尋找剛度約束的最輕結(jié)構(gòu)，給出如下的約束：

C≤C*（13）

式中：C*為C的上限.

為了達(dá)到優(yōu)化結(jié)果，在優(yōu)化過(guò)程中刪除αi值最小的單元，以使得C的增加量最小.

2.2建立數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述分析，基座具有良好的動(dòng)態(tài)性能，其一階頻率遠(yuǎn)高于基座上電機(jī)的頻率（25 Hz），因此限定某一固定頻率，以頻率、剛度、應(yīng)力作為約束，最小質(zhì)量作為目標(biāo)函數(shù)建立如下數(shù)學(xué)模型：

findMinM

s.t.f=fd

C≤C*

σvmeσvmmax≤1%（14）

式中：M為基座的質(zhì)量；fd為基座的某一固有頻率.

在優(yōu)化拓?fù)溥^(guò)程中容易出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定的情況，產(chǎn)生類似棋盤(pán)格的模式.可以通過(guò)引入過(guò)濾函數(shù)[8-11]來(lái)抑制棋盤(pán)格，對(duì)單元的靈敏度進(jìn)行松弛調(diào)整，避免相鄰單元靈敏度相差懸殊.將編號(hào)為1到j(luò)-1的單元靈敏度通過(guò)權(quán)系數(shù)μij加到第j個(gè)單元上，即：

u′j=∑i

定義加權(quán)系數(shù)：

μij=d（i，j）∑Nj=1d（i，j）

定義單元靈敏度：

u′i=∑ji=1d（i，j）ui∑ji=1d（i，j）（15）

式中：d（i，j）=R-D（Ni-Nj）；D（Ni-Nj）為單元i到單元j的距離；R為過(guò)濾半徑，其值為2倍的網(wǎng)格單元邊長(zhǎng).

2.3優(yōu)化結(jié)果分析

依據(jù)上述數(shù)學(xué)模型，設(shè)定基座質(zhì)量下降20%，對(duì)基座進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化后的拓?fù)鋱D如圖7所示.圖7中深黑色材料部分表示應(yīng)該切除，但是出于實(shí)際制造、加工和使用等方面考慮，不是所有的部分都應(yīng)該完全切除，也可以采取減小厚度的辦法，降低基座的質(zhì)量.另外，圖7中認(rèn)為要保留的部分，出于實(shí)際考慮有些部分也應(yīng)該刪除.例如，在鑄造時(shí)，需要設(shè)置鑄造出砂孔，就應(yīng)在內(nèi)部筋板上合理布置一些岀砂孔，優(yōu)化后的基座結(jié)構(gòu)如圖8所示.

對(duì)優(yōu)化后的基座結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，優(yōu)化前后性能參數(shù)如表2所示.基座最大應(yīng)力由原來(lái)的1.47 MPa變?yōu)?.16 MPa，但仍滿足強(qiáng)度要求，最大變形基本無(wú)變化，說(shuō)明整體剛性良好，基頻增加了47.8 Hz，質(zhì)量由原來(lái)的5 970 kg減小到5 620 kg，減小了5.8%.

3結(jié)論

在正確建立模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)模型做了靜力、模態(tài)分析，得到了初始模型的靜、動(dòng)態(tài)性能參數(shù)，分析了各參數(shù)對(duì)基座性能的影響.運(yùn)用ESO法對(duì)基座進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，減小了基座質(zhì)量，且整體剛性良好，基頻得到了提升，達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo).

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文章編號(hào)：2096-2983（2017）03-0172-05DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2017.03.009