關(guān)于用初等變換求向量組的極大無關(guān)組的方法

摘 要：根據(jù)向量的線性相關(guān)性的原理，得到求極大無關(guān)組的幾種常用方法，特別是在用初等變換求向量組的極大無關(guān)組的教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題進(jìn)行討論，并給出了相應(yīng)解決辦法。

關(guān)鍵詞：向量組 ；初等變換； 極大線性無關(guān)組

求向量組的極大線性無關(guān)組（簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組）是學(xué)習(xí)高等代數(shù)或線性代數(shù)中必然面對(duì)的一個(gè)問題。目前，各種版本的本、專科教材分別都有介紹，最常見是按列形成列向量組矩陣A，如果是按行就對(duì)行向量組轉(zhuǎn)置，然后對(duì)矩陣A進(jìn)行一系列的初等行變換。或者是對(duì)行向量組進(jìn)行初等行變換，但是，該方法在變換過程中，由于其附帶的內(nèi)容比較多，因此，其變換過程就顯得比較煩瑣，雖然理論上有一定的意義，但不利于在實(shí)踐中推廣與應(yīng)用。但有的教材在做法上還很不完善 ，存在一些問題 ，一不小心就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。為了方便大家的學(xué)習(xí)，現(xiàn)將目前的一些做法歸納起來，供大家參考。

一、有關(guān)初等變換的相關(guān)定義

1.在線性代數(shù)中，矩陣的初等變換時(shí)指以下三種變換

①交換矩陣的任意兩行（列）；或

②用一個(gè)非零常數(shù)k乘矩陣的某一行（列）的所有元素；或

③把矩陣的某一行（列）的所有元素的k倍加到另外一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去；

或

若對(duì)矩陣的行（列）施行上述三種初等變換則叫初等行（列）變換。

2.用矩陣初等變換求逆矩陣、解矩陣方程

（1）求逆矩陣：設(shè)A是n階可逆矩陣，

例1 求矩陣 的逆矩陣.

解：

所以

（2）求矩陣的方程

若A可逆，

若A可逆，

例2 設(shè)有矩陣方程，求X，

其中

解：由，得

可見A-2E～E，因此A-2E可逆且

二、用初等變換求向量組的極大無關(guān)組

對(duì)矩陣施以初等變換法求極大無關(guān)組，常用方法主要有下列三種模式 ：

模式一：組成列向量組進(jìn)行行變換

把向量組按列排成矩陣 A ， 對(duì) A 施行初等行變換， 使之化簡(jiǎn)為容易判斷各列向量之間線性關(guān)系的階梯形新矩陣B ， 由B中列向量的極大無關(guān)組對(duì)應(yīng)可得A 中列向量的極大無關(guān)組， 同時(shí)可相應(yīng)求得其余向量用極大無關(guān)組線性表示的式子 。這是因?yàn)槌醯刃凶儞Q不改變矩陣列向量之間的線性關(guān)系，是目前最常用的方法。

例3 求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組：

解：

顯然，r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含有3個(gè)向量，新矩陣B的三個(gè)非零行的首非零元所在列對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成一個(gè)極大無關(guān)組。當(dāng)然，

也是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。若需將向量用極大無關(guān)組線性表示，需要對(duì)矩陣B再?gòu)南峦献鞒醯刃凶儞Q，化成最簡(jiǎn)形矩陣，求得：

故有

模式二：組成行向量組進(jìn)行列變換

把向量組按行排成矩陣 A 并施行初等列變換， 使之化簡(jiǎn)為階梯形矩陣或一個(gè)至多再作若干次行交換后就是階梯形的矩陣 B， 然后再作判斷。

設(shè)為一組已知的n維非零向量，

其中B是階梯形或再作若干次初等變換將是階梯形矩陣。

例 4求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組：

顯然，r（A）=r（B）=2，向量組的極大無關(guān)組含有2個(gè)向量，新矩陣B的兩個(gè)非零行的首非零元所在行對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成一個(gè)極大無關(guān)組。

模式三：組成行向量組進(jìn)行行變換

把向量組按行向量構(gòu)成矩陣A，再進(jìn)行初等行變換，使之化簡(jiǎn)成階梯形矩陣。但這種方法的可行性、嚴(yán)密性還需進(jìn)一步探討，有時(shí)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。雖然矩陣的行變換不會(huì)改變矩陣的秩，但是交換行會(huì)改變向量間的線性關(guān)系，比如下面的例子。

例5 求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組

由矩陣B可知r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含3個(gè)向量，矩陣B的三個(gè)非零行所對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。但實(shí)際上，向量 構(gòu)成向量組卻是線性相關(guān)的，因?yàn)?/p>

顯然，故是線性相關(guān)的，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，是在解題過程的最后一步，是交換了后兩行，才造成了上面的錯(cuò)誤。解決辦法是不作行交換。因?yàn)檫M(jìn)行了行交換，就改變了向量的位置，進(jìn)行多次交換后，很難確定非零行對(duì)應(yīng)的向量。那么，在對(duì)行向量組作初等行變換的時(shí)不作行交換變換，就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤了嗎？ 再看下面的例子：

例6 求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組

顯然，r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含3個(gè)向量，矩陣B的三個(gè)非零行對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。在解題過程中雖然沒作行交換變換，但還是產(chǎn)生錯(cuò)誤，這是因?yàn)樾薪粨Q變換可由多次倍加變換和倍乘變換得到。因此解決方法是，只需要限定倍加變換的方向即可避免行交換變換的發(fā)生，要么只能從上到下作行倍加變換，要么只能從下到上作行倍加變換。

重新求解例6

顯然，構(gòu)成一個(gè)極大無關(guān)組。

綜上所述，將向量組以行向量構(gòu)成矩陣，再用初等行變換將其化成階梯形矩陣。即可以進(jìn)行初等行變換，還可以進(jìn)行初等列變換，作初等行變換時(shí)不能進(jìn)行行交換變換，倍加變換只能按一個(gè)方向進(jìn)行，由于初等列變換不會(huì)改變行向量問線性關(guān)系，所以在作行變換過程中可以任意做列變換，二者結(jié)合起來可以使計(jì)算量減小，更加快捷一些。

例7求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組

顯然，構(gòu)成一個(gè)極大無關(guān)組。在解題過程就是先作列交換變換，后作行變換變換，這樣可以減少運(yùn)算量。

參考文獻(xiàn)：

[1]張肇?zé)?關(guān)于用初等變換求向量組的極大無關(guān)組.高等數(shù)學(xué)研究， 2003.

[2]吳燕，黃國(guó)榮.對(duì)矩陣初等變換應(yīng)用某些問題的探討，大學(xué)數(shù)學(xué)， 2006.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù).北京：高等教育出版社 ，2005.

[4]陳文燈，黃先開，曹顯兵等.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo).北京：世界圖書出版社， 2006.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù).北京：高等教育出版社， 2005.

[6]趙樹嫄.線性代數(shù).北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.

作者簡(jiǎn)介：

張媛（1971—），女，遼寧省遼陽(yáng)市人，大學(xué)本科，副研究員，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。endprint