擴展BVP振子弱周期擾動下的振蕩與同步*

于蓉蓉， 謝 勇， 王 震(. 西京學院 應用統計與理學系， 西安 703； . 西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 70049)

擴展BVP振子弱周期擾動下的振蕩與同步*

于蓉蓉1， 謝 勇2， 王 震1
(1. 西京學院 應用統計與理學系， 西安 710123； 2. 西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049)

針對擴展bonhoeffer-van der pol(BVP)振子易受不確定因素影響的問題，提出了將非線性動力學分析與數值模擬相結合的方法，并考察了弱擾動對混合模式振蕩類型和同步行為的影響.根據模擬結果得知，多種類型的混合模式振蕩受弱擾動的影響出現了坍塌現象，且從理論上證明了兩個耦合bonhoeffer-van der pol振子的膜電壓比慢變量到達完全同步時所需的耦合強度要大，在二維參數平面上，膜電壓到達同步時所取參數范圍應小些.結果表明，與膜電壓相比，慢變量更容易達到同步，且變量之間呈現一種線性關系.

混合模式振蕩； 同步； 耦合； 慢變量； 分岔； 弱周期擾動； 回歸映射； 混沌

混合模式振蕩(mixed-mode oscillation)作為一種復雜的振蕩行為在不同系統中被發現，并已經成為了當前研究的熱點[1-4]，特別是在多時間尺度的動力系統中，關于混合模式振蕩和混沌現象機制等方面的研究較多[3，5-6].Marszalek等人提出，混合模式振蕩發生在快慢運動與大小振幅交替改變的動力系統中，并詳細列舉了一系列混合模式振蕩存在的物理、化學及生物等系統[7-10]；Blagojevic等人利用龐加萊截面(poincare sections)和回歸映射(return maps)的數學方法，以多時間尺度的BL(bray-liebhafsky)反應模型為例解釋混合模式振蕩與混沌狀態之間的轉換[11]；Berg-lund等人考察系統參數和高斯白噪聲對系統的影響，研究了快慢系統由于奇異折疊結點的存在所表現出的混合模式振蕩，給出了噪聲大小決定小振幅數量的充分條件[12]；Inaba等人根據李雅普指數和分岔圖指出，在弱擾動下系統能產生倍周期分岔和混沌現象[13].

同步問題也成為學者主要的研究對象，Kryukov等人研究了局部耦合的不同bonhoeffer-van der pol(BVP)的同步行為，發現不少于2N-1個元素組成的鏈式BVP振子可以達到全局同步[14]；Kontchoue等人以BVP模型為例，提出了一種穩定混沌動力學的反饋控制策略，基于參數估計和非線性觀察方法研究了兩個BVP模型的自適應同步問題[15].然而考察擾動大小和耦合強度等因素對BVP模型同步影響的研究鮮為少見.

針對擴展BVP振子模型的同步情況，本文運用數值模擬與非線性分析的方法，根據模擬結果分析不同弱擾動對混合模式振蕩類型的影響，發現模型在極其微弱的擾動下出現了混沌現象.同時將弱擾動引入到兩個耦合的BVP振子模型中可知，慢變量達到同步的參數區域比膜電壓相對大些，即更容易達到完全同步.

1 振子模型及其不同類型動力學現象

BVP振子模型是HH(hodgkin-huxley)神經元模型的變體，它的放電行為與HH模型極其相似.早在1960年，BVP模型被FitzHugh和Nagumo提出，簡化后的BVP模型中僅僅有兩個變量，取代了4個變量的HH模型.然而，簡化后的BVP模型僅是一個可以用來研究軸突生理學的簡單模型.1988年Yoshinaga等人提出修正的BVP方程，它包含了3個非線性微分方程；Doi和Kumagai從快慢動力學的角度提出修正的BVP方程，并研究了修正后的BVP快慢系統[16].

原始的BVP模型為

(1)

式中：x為膜電壓參數；c為耦合強度；y為可控門參數，可作為一個慢變量；η、a和V1為門參數；Iext為外加電流強度.

簇放電是神經元放電的一個重要行為，但是二維的BVP模型中沒有出現簇放電的現象，所以文獻[16]提出在二維BVP模型中加入慢變量z，得到的修正BVP模型為

(2)

式中，門參數ε、b、V2與式(1)中的參數η、a、V1對應.Saeki[17]等人提出的擴展3維模型體現出系統的混沌和復雜分岔現象，其模型表達式為

(3)

式中，k1、k2、B1、B2作為門參數，對應著式(2)中的門參數a、b、V1、V2.取k1=k2=0.35，B1=B2=0.49，ε=0.1，k3作為可變參數，研究模型的動力學行為.當k3=0.3和k3=0.5時，模型分別呈現為14(1個大振幅的振蕩，4個小振幅的振蕩)類型的混合模式振蕩和12(1個大振幅的振蕩，2個小振幅的振蕩)類型的混合模式振蕩，它們的膜電壓時間歷程如圖1所示.以出現混合模式振蕩的BVP模型為例，進一步研究其動力學特征，為研究當膜電壓受到弱擾動并存在線性耦合同步的情況提供依據.

圖1 膜電壓的時間歷程Fig.1 Time history of membrane voltage

為了觀察BVP快慢系統在弱噪聲下混合模式振蕩的行為，在式(3)中加入周期弱噪聲，其模型變換為

(4)

式中，B為擾動噪聲幅值.圖2與圖3分別為可變參數k3為0.3和0.5，B=0.001時的時間歷程及回歸映射.由圖2與3可清楚地看到，模型膜電壓的時間序列呈現出混沌的現象，這點可以通過觀察回歸映射圖2b和圖3b看出.然而，在此BVP快慢系統中，混合模式振蕩的存在是源于所謂的鴨式機制還是源于不變環面的破裂，有待于進一步探討.受擾動強度的影響，BVP模型出現了混沌現象，在真實電路實驗中，如果能夠把握擾動強度和環境噪聲，并通過數值優化處理，可以對混沌現象進行有效控制.

圖2 膜電壓在弱擾動下的時間歷程和回歸映射(k3=0.3)Fig.2 Time history and return map of membrane voltage under weak perturbation with k3=0.3

2 擴展BVP振子模型的分岔現象

為了進一步了解BVP模型在弱擾動下的行為，圖4給出了在周期弱擾動下(B=0.001)的分岔圖，由圖4可以看出在弱擾動下有序的模式被打破.Inaba等人利用打靶算法解釋了混合模式振蕩分岔圖出現坍塌現象的機制：當系統受到極其微弱的擾動時，倍周期分岔過程會導致混沌現象的產生[13]，這是導致混沌的經典過程.混合模式振蕩受弱擾動的影響比較敏感，能否合理控制真實電路中的無序變化，取決于實驗中是否能夠準確模擬出參數的取值范圍.在實際電路中，一個現象的產生可能是多個電路共同作用的結果，研究弱擾動下兩個耦合電路的同步更有利于控制系統.

圖3 膜電壓在弱擾動下的時間歷程和回歸映射(k3=0.5)Fig.3 Time history and return map of membrane voltage under weak perturbation with k3=0.5

圖4 弱擾動下分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram with weak perturbation

3 BVP振子模型的同步行為

為了研究發生混合模式振蕩現象的兩個耦合BVP振子模型的同步行為，對兩個振子模型分別描述為

(5)

(6)

圖5 膜電壓與慢變量變化趨勢圖Fig.5 Change trend of Max() of membrane voltage and Max() of slow variable

由圖5a可知，隨著耦合強度的逐漸增加，膜電壓在耦合強度為0.23左右時，所對應的同步差極大值就已經為零，意味著膜電壓達到了完全同步；而圖5b中慢變量在耦合強度為0.19左右時，所對應的同步差極大值為零，即慢變量也達到同步，但所需的耦合強度比膜電壓達到完全同步需要的耦合強度要小些，因此，慢變量比快變量更容易達到完全同步.

為了進一步考察膜電壓是否可以達到完全同步，本文選取了足夠大的耦合強度來分析膜電壓與慢變量的同步變化情況，結果如圖6所示.由圖6a、b中膜電壓與慢變量的時間歷程圖可知，當耦合強度c=0.3時，膜電壓和慢變量已經同時達到完全同步.虛線代表第一個振子的膜電壓和慢變量的時間歷程圖，它幾乎完全被實線(代表第二個振子的時間歷程圖)所覆蓋，即這兩個振子的快慢變量完全重合在一起.由圖6c、d可知，此時快慢變量呈現完全同步，并且它們之間存在一種線性關系.為了了解參數對于BVP模型同步的影響，進一步研究了在二維參數空間(B3，B4)下，耦合BVP模型之間快慢變量的同步情況.由圖6e、f可知，不論是模型的膜電壓還是慢變量，達到完全同步的參數區域呈現為帶狀狹長的區域.與膜電壓參數同步區域比較，慢變量同步區域要相對更廣些，即慢變量比快變量達到同步的情況更容易.

圖6 膜電壓與慢變量的同步變化(c=0.3)Fig.6 Synchronous change of membrane voltage and slow variable with coupled strength c=0.3

4 結 論

本文首先研究了BVP模型在弱周期擾動下的動力學行為，在弱擾動下模型表現出的相對規律的混合模式振蕩已經出現了坍塌的現象.然后考察了耦合強度與弱擾動對兩個線性耦合BVP模型快慢變量的同步影響，分析結果表明，隨著耦合強度的增加，慢變量比快變量先達到同步，這一結果和現有文獻結果完全一致.當耦合強度足夠大時，兩個變量能夠同時達到完全同步，而且呈現一種線性關系的同步；對二維參數平面的研究發現，快慢變量同步的參數區域都呈現帶狀狹長的分布，而慢變量的同步范圍相對要寬泛些，更容易達到同步.

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(責任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

Oscillation and synchronization of extended BVP oscillator under weak periodic perturbation

YU Rong-rong1, XIE Yong2, WANG Zhen1

(1. Department of Applied Statistics and Science, Xijing University, Xi’an 710123, China; 2. State Key Laboratory of Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at the problem that the extended bonhoeffer-van der pol oscillator is easily affected by uncertainty factors, a method in combination with both nonlinear dynamics analysis and numerical simulation was proposed, and the influence of weak perturbation on the mixed-mode oscillation type and synchronization behavior was investigated. According to the simulated results, it is noted that the collapse phenomenon appears because the mixed-mode oscillation in several types is affected by the weak perturbation. It is theoretically proved that the coupled strength needed to reach the complete synchronization for the membrane voltage of two coupled bonhoeffer-van der pol oscillators is larger than that for the slow variable. On a 2D-parameter plane, the parameter range for the membrane voltage to reach the complete synchronization should be smaller. The results indicate that compared with the membrane voltage, the slow variable is easier to achieve the synchronization. Furthermore, a linear relationship between the variables is presented.

mixed-mode oscillation; synchronization; coupling; slow variable; bifurcation; weak periodic perturbation; return map; chaos

2016-07-12.

國家自然科學基金資助項目(NSFC61473237)； 陜西省教育廳科研計劃資助項目(15JK2181)； 西京學院科研基金資助項目(XJ150204).

于蓉蓉(1979-)，女，河南臥龍人，講師，碩士，主要從事非線性動力學與神經動力學等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.04.08

TB 122

A

1000-1646(2017)04-0401-05

*本文已于2017-06-21 21∶19在中國知網優先數字出版. 網絡出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170621.2119.020.html