具有連續時滯的微分方程的概周期解

嚴建明

（湖南財政經濟學院基礎課部，湖南長沙410205）

具有連續時滯的微分方程的概周期解

嚴建明

（湖南財政經濟學院基礎課部，湖南長沙410205）

結合運用Liapunov泛函數，研究Lotka-Volterra系統的概周期解的存在唯一性和一致漸近穩定性.關鍵詞：連續時滯；競爭系統；Liapunov泛函；概周期解

眾所周知，在種群動力學的研究中，生物種群的持續生存是數學生態學中捕食與競爭理論及其相關課題的一個重要而廣泛的、且受到人們非常關注的課題.1965年，Holling在實驗的基礎上，對不同的物種，提出了三種不同的功能性反應函數.對具有Holling I、II、III類功能性反應的系統，許多學者進行了深入研究[1，2].由于概周期現象在實際問題中經常可見，以周期現象作為特例，它是比周期現象更廣泛的現象。對于Lotka-Volterra系統的概周期解的定性性質（概周期解的存在唯一性和一致漸近穩定性）的研究工作目前相對還較少[3-6].而對于同時具有連續時滯、擴散、HollingⅡ類功能性反應的Lotka-Volterra型競爭系統的研究非常少.本文研究如下的具有連續時滯、擴散、HollingⅡ類功能性反應的非自治競爭模型：

在本文中，我們采用如下記號和概念.

代表歐幾里德范數）的非負連續函數構成的Banach空間.因此，如果我們選C+為系統（1）的初始函數空間，易知對坌準=（準0，準1，準2）∈C+且準（0）＞0，則系統（1）在[-τ，∞）上存在唯一解x（t，準），且對于t∈[0，+∞）有x（t，準）＞0，我們稱此解為系統（1）的正解.因此，在本文下面的研究中，我們總假定

對于系統（1），記x（t）=x（0，準）（t）是過（0，準）的解，其中初值函數.則x（t）是唯一的，且x（t）＞0，t∈[0，T），這里[0，T）是系統（1）的解的最大存在區間，這樣的解叫做系統（1）的正解.

引理1[7]考慮泛函微分方程

及乘積系統

這里總是假設0＜H*＜+∞，f∶R×C→R3對φ關于t是一致概周期的，若存在連續函數V∶R+×S×S→R+，滿

H*H*H*足如下條件：

（Ⅰ）a（|x-y|）燮V（t，x，y）燮b（|x-y|），其中a（s），b（s）∈CIP，b（0）=0；

（Ⅲ）存在連續非減函數p（s），當s＞0時，有p（s）＞s，使得當

時有D+V（t，φ（0），ψ（0））燮-cV（t，φ（0），ψ（0）），c＜0是常數.

如果系統（5）的每一個解滿足‖ξ（t）‖燮-cV（t，φ（0），ψ（0）），t叟T0，那么系統（5）必存在一致漸近穩定的概周期解，進而如果（ft，φ）關于t是ω周期的，則系統（5）存在一個周期解，且是全局漸近穩定的.

定理設系統（1）滿足以上給定的條件（2）（3），且還滿足

證明考慮系統（1）的乘積系統

定義集合

可知Ω*是系統（7）的最終正向不變集.

在Ω*上定義Liapunov函數為

對于乘積系統（9）在Ω×Ω上的任一解

因為

其中ξ（t），η（t）分別位于lnm1與lnM1之間及lnm與lnM之間.

則得到

則

從而由條件（8）可知存在常數使得有

由引理1知，系統（1）在區域Ω中存在一致漸近穩定的概周期解，進而如果系統（1）的右端關于t是ω-周期的，則系統（1）存在一個ω-周期解.

[1]靳禎，原三領，馬知恩.具有功能性反應的三種群食物鏈系統全局周期解的存在性[J].工程數學學報，2001，18（4）：69-75.

[2]桂占吉，陳蘭蓀.具有功能性反應的非自治競爭系統持續性[J].工程數學，2001，17（2）：7-10.

[3]羅桂烈.具時滯的非自治擴散捕食系統的概周期解[J].生物數學學報，1998，13（1）：32-38.

[4]羅桂烈，廖民鋰，江佑霖.兩種群非自治Lotka-Volterra競爭擴散系統的概周期解[J].系統科學與數學，1998，18（2）：204-210.

[5]Zhang Jingru，Chen Lansun.Periodic solutions of single-species nonautonomous diffusion models with continuouse time delays[J].Math. comput.modelling，1996，23（7）：17-27.

[6]楊啟貴，江右霖.Willis環狀腦動脈瘤模型的概周期解[J].生物數學學報，2000，15（3）：313--318.

[7]Yuan Rong.Existence ofalmost periodic solution offunctional differential equations[J].Ann.ofDiff.Eqs.1991，7（2）：234-342.

On almost Periodic Solution of Differential Equations with Continouous Time Delay

YAN Jian-ming
（Dept.of Basic Subject，Hunan University of Finance and Economics，Changsha，Hunan 410205）

In this paper，the existence，uniformly asymptotical stability of almost periodic solutions was considered by using Liapunov functional.

continouous time delay；competition system；liapunov function；almost periodic solution

O175

A

1671－9743（2017）05－0028－04

2016-09-21

嚴建明，1974年生，男，湖南益陽人，講師，研究方向：微分方程.