談談數列中滲透的數學思想

圣轉紅??

摘 要：本文闡述了幾種重要的數學思想在解決數列相關問題中的應用。

關鍵詞：分類討論；數形結合；轉化與化歸；遞歸思想

數列是特殊的函數，它的定義域是正整數集或正整數集的子集。數列是離散函數的一種，在數學中有著重要地位，學習數列有助于學生認識數學與經濟生活等現實世界的聯系，有助于強化學生的數學思想。下面我們就來探究一下數列中的數學思想。

一、 分類討論思想

分類指的是依據研究對象的本質屬性將其劃分為不同種類，即根據對象的共同性與差異性，把相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類討論是數學解題的重要手段和策略，數列模塊中的分段數列求和由遞推公式求解析式，常用到這種方法：

【例1】 數列{an}中，其前n項和Sn=2n2-3n+1，求an。

分析：當n=1時，與n≥2時分類討論。

解：當n=1時，a1=S1=2×12-3×1+1=0

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+1-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5

而a1=0≠4×1-5，∴an=0 n=14n-5≥2且n∈N+

二、 轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是中學數學最基本，最重要的思想方法，每一個數學問題的解決總離不開化歸與轉化，它堪稱數學思想的精髓，解決數學問題就是將陌生問題向熟悉問題轉化，復雜問題向簡單問題轉化，未知問題向已知問題轉化，抽象問題向已知問題轉化，比如數列這個模塊，最重要的兩個基本數列是等差數列和等比數列，對其通項公式，學生基本上都能掌握，對于某些復雜的數列，求這兩種數列的通項公式問題就可以用以上的方法進行轉化。

【例2】 數列{an}中的首項a1=1，滿足an+1=2an+2n。

（1）求通項公式an；

（2）求其前n項和Sn。

分析：（1）觀察遞推關系式的特點，可轉化為等差數列求解，（2）錯位相減法求和。

解：（1）由an+1=2an+2n得an+12n=an2n-1+1

∴an+12n-an2n-1=1

∴an2n-1是以a121-1=1為首項，以1為公差的等差數列

從而an2n-1=1+（n-1）×1=n即an2n-1=n

∴an=n×2n-1

（2）①Sn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1

②2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n

①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n

-Sn=1-2n1-2-n×2n

∴Sn=n-12n+1

三、 數形結合思想

數形結合思想就是通過數和形的對應關系和相互思轉化來解決問題的思想方法。數形結合可以使抽象的問題簡單化。對于數列的某些函數特性，借助數形結合，可以簡潔、快速地解決問題。

【例3】 數列{an}中，已知an=n2+2λn+λ2-1且{an}單調遞增，求λ的取值范圍。

分析：由已知得用數形結合解決可以事半功倍，直接利用數列單調性定義，需要作差求最值，較為繁瑣。

解：設f（x）=x2+2λx+λ2-1則f（x）圖像開口向上且對稱軸方程為x=-λ

∵{an}單調遞增

∴-λ<32即λ>-32

∴λ取值范圍為-32，+∞

四、 遞歸思想

遞歸指由一種或多種簡單的基本情況定義的一類對象或方法，并規定其他所有情況都能還原為其基本情況，它是一種很重要的數學思想，也是常用的算法語言。北師大版必修五的封面數列1，1，2，3，5，8，13，21，…也就是著名的斐波那契數列充分體現了遞歸思想，在學生認識數列的定義及基本概念后，就讓他們來觀察封面數列，啟發他們通過觀察尋找遞推公式，從而體會遞歸思想的重要性，取得了良好的教學效果。

總之，數學思想的滲透及應用是中學數學教學的難點，我們在平時的數學教學中細致入微，認真鉆研就會達到“潤物細無聲”的教學效果。

參考文獻：

[1]鄒晗昀.解數列題中常用的數學思想方法[J].語數外學習（高中版中旬），2017（08）.

[2]高坤元.數學思想方法在數列解題中的應用[J].智富時代，2018（02）.

作者簡介：

圣轉紅，安徽省宿州市，安徽省靈璧中學。