滾輪軸承的載荷參數及其計算方法

劉建志，黃振，祁百龍

(常州東風軸承有限公司，江蘇 常州 213022)

1 概述

滾輪軸承是指軸承的外圈外圓不被包容(即外圈不裝入軸承座孔內)，而外圓表面直接在固定軌道上滾動的軸承。若忽略外圈與軌道間的相對滑動，則外圓表面上任意一點所作的運動為擺線運動。滾輪軸承的工作狀態如圖1所示，內圈隨機架以速度v作直線運動，外圈以角速度ω作旋轉運動，徑向載荷Fr作用在內圈上，外圈受滾動體的載荷和支反力Fr的作用，在交變應力下工作。

圖1 滾輪軸承的工作狀態Tab.1 Working condition of track roller bearing

常規向心滾動軸承的承載能力由徑向基本額定動載荷Cr和徑向基本額定靜載荷C0r決定。前者是在軸承受載后只存在滾動體與滾道間的接觸彈性變形的條件下推導；后者是在軸承受載后只存在滾動體與滾道間的接觸塑性變形的條件下推導。

滾輪軸承外圈外徑面與軌道間為線接觸(微觀狀態下應力擴展后為一矩形)，相當于一個圓形簡支梁。滾輪軸承受載后，不僅存在滾動體與內外圈滾道之間的接觸彈性變形，還存在外圈自身的彈性彎曲變形。滾輪軸承外圈受載后的彈性變形如圖2所示，由圖可以看出，最大接觸彈性變形在最大滾動體載荷處，最大彈性彎曲變形在水平軸線上與滾道相交的2個端點處。

圖2 滾輪軸承受載后外圈滾道的彈性變形Tab.2 Elastic deformation of outer raceway of track roller bearing after load

滾輪軸承外圈變形會導致滾動體與內、外滾道的接觸區域變小，即載荷范圍角減小，滾輪軸承受載后外圈滾道的接觸范圍角如圖3所示。

圖3 滾輪軸承外圈的載荷范圍角Tab.3 Load range angle of outer ring of track roller bearing

載荷范圍角的減小會導致滾動體峰值載荷增加，從而使滾輪軸承的承載能力降低。由此可見，不能用常規軸承的基本額定動、靜載荷來分析滾輪軸承的承載能力，也不能用分析常規軸承的變位方法來分析滾輪軸承的變位。

國內有專家探討過在軸承外圈有幾何變形的情況下，軸承額定載荷和使用壽命的計算方法，但均在外圈被包容的狀態下，只是包容體剛性不足，受載后包容體有一定的幾何變形，會引起外圈的幾何變形，從而降低軸承的額定載荷和使用壽命。顯然滾輪軸承與外圈被包容的常規軸承的工作狀態存在較大差別，因此不能用外圈被非完全剛性體所包容的計算方法來計算滾輪軸承的承載能力和使用壽命等。

20世紀60年代左右，國外軸承公司給出了徑向滾輪軸承(圓柱滾子滾輪軸承、滾針滾輪軸承)的基本額定動載荷Cr、基本額定靜載荷C0r、有效額定動載荷Crw、有效額定靜載荷C0rw、最大允許動載荷Frmax、最大允許靜載荷F0rmax，并指出滾輪軸承外圈受載后的變形為橢圓，還規定當量動載荷Pr與有效額定動載荷Crw滿足Crw/Pr≥1。但均未給出Crw，C0rw，Frmax，F0rmax的計算方法。

FAG近期產品樣本中取消了滾輪軸承的基本額定載荷Cr，C0r，僅給出了有效額定載荷Crw，C0rw，且并沒有對Crw，C0rw進行深入解釋，容易使人將有效額定載荷理解為基本額定載荷。FAG公司取消基本額定載荷Cr，C0r，意味著發達國家對滾輪軸承認識比較成熟，不需要解釋。

我國自20世紀70年代后期引進滾輪軸承并廣泛應用以來，一直對滾輪軸承的承載能力缺乏足夠的認識，有人套用常規軸承的計算方法對滾輪軸承進行分析和設計計算，甚至為增大滾輪軸承的基本額定載荷而盲目增大滾動體數量和直徑，減小外圈壁厚，導致裝機后短時間內批量彎曲強度破壞(30 min或更短)和彎曲疲勞破壞(未發現接觸疲勞時已發生彎曲疲勞破壞)。近年來，仍有學者將滾輪軸承當作常規軸承研究,這不僅降低了滾輪軸承設計和使用的可靠性，還阻礙了滾輪軸承的發展。

國產滾輪軸承結構和尺寸與國外相同或類似時，因設計主參數、材料和熱處理性能并不都與國外相同，故不能完全套用國外樣本的載荷參數來分析滾輪軸承的承載能力和使用壽命，只能參考;若滾輪軸承結構和尺寸與國外完全不同時，則其承載能力和使用壽命無法計算。

隨著機械工業的發展，滾輪軸承的應用越來越廣泛。在有些場合還用到外圈外圓不被包容的軸承，例如汽車張緊輪軸承、發動機搖臂軸承等，這些軸承雖不在固定的軌道上滾動，但外圈也在被動旋轉，也可看作滾輪軸承。

鑒于國內對滾輪軸承的認識與發達國家還有一定的差距，有必要展開對滾輪軸承承載能力的研究，探討滾輪軸承載荷參數的計算方法。這不僅可提高滾輪軸承設計與應用的可靠性，還對外圈外圓非包容軸承的設計應用起到推動作用。

2 載荷參數

載荷參數中，Cr，C0r是假定將滾輪軸承作為常規軸承時的基本額定動、靜載荷。由于滾輪軸承外圈有彈性彎曲變形，設計時外圈壁厚較大，與常規軸承相比，其基本額定載荷Cr，C0r很小，故不能將滾輪軸承當作常規軸承使用。Crw，C0rw是考慮了外圈的彈性彎曲變形后滾輪軸承的有效額定動靜載荷。

Frmax，F0rmax是使滾輪軸承外圈在交變彎曲應力的作用下，不在接觸疲勞破壞和接觸塑性變形失效之前發生彎曲疲勞破壞和彎曲塑性變形失效的最大允許載荷。

3 常規向心滾子軸承Cr，C0r

3.1 基本額定動載荷Cr

根據滾動軸承額定動載荷理論可知，最大滾動體載荷為

Qrmax=(Fr/Zcosα)[1/Jr(T)]，

(1)

內、外圈的平均滾動體載荷Qi，Qe分別為

Qi=QrmaxJi(T)=Qrmax[Fr/Zcosα]·

[Ji(T)/Jr(T)]，

(2)

Qe=QrmaxJe(T)=Qrmax[Fr/Zcosα]·

[Je(T)/Jr(T)]，

(3)

2T]tcosφdφ，

2T]stdφ}1/s，

2T]ωtdφ}1/ω，

式中：Z為滾動體數量；α為滾動體與滾道的接觸角；T為載荷分布參數；s，t，ω為指數。

在(2),(3)式中，若Qi，Qe分別代表內外圈的額定滾動體載荷Qci，Qce，則Fr相應的為內、外圈的額定載荷Ci，Ce，根據滾動軸承額定載荷的假定條件(T= 0.5)，則

Ci=QciZcosα[Jr(0.5)/Ji(0.5)]，

(4)

Ce=QceZcosα[Jr(0.5)/Je(0.5)]。

(5)

統計處理接觸疲勞的指數方程為

(6)

使用概率S為0.9、額定壽命L為1×106r轉時，內、外圈的額定滾動體載荷分別為

Qci=B[(1-γ)29/27/(1+γ)1/4]·

(7)

Qce=B[(1+γ)29/27/(1-γ)1/4]·

(8)

又由lg(1/S)∝QωLe∝FrLe可知

C=[1+(Ci/Ce)ω]-1/ω]Ci。

(9)

由(4),(5),(7)～(9)式可得

Cr=fc(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4，

(10)

fc=B[Jr(0.5)/Ji(0.5)]{1+{[Je(0.5)/

Ji(0.5)][(1-γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2·

[(1-γ)29/27/(1+γ)1/4]γ3/4，

γ=(Dwcosα)/Dpw，

式中：Lw為滾動體與滾道的有效接觸長度；Dw為滾動體直徑；B為系數；i為滾動體列數；Dpw為滾動體組節圓直徑。

由(10)式可以看出，常規向心滾子軸承的額定動載荷與系數fc有關，而fc除與γ有關外，還與載荷分布參數Jr(0.5),Ji(0.5),Je(0.5)有關。γ，fc可由GB/T 6391—2010《滾動軸承 額定動載荷與額定壽命》直接查得，其fc的表達式僅是為了說明額定動載荷與載荷分布參數T的關系。

3.2 基本額定靜載荷C0r

根據滾動軸承額定靜載荷理論可知，基本額定靜載荷為

C0r=f0iZDwLwcosα，

(11)

f0=K0Jr(0.5)，

K0=17/[Dw(ρi+ρe)]，

式中：ρi，ρe分別為內外滾道的主曲率。

由(11)式可以看出，常規向心滾子軸承的額定靜載荷與f0有關，而f0與Jr(0.5)有關。額定靜載荷的表達式與GB/T 4662—2012《滾動軸承 額定靜載荷》不同，前者敘述過程，后者表達結果，其表達式是為了說明額定靜載荷與載荷分布參數T的關系。

4 Crw，C0rw的計算方法

4.1 有效額定動載荷Crw

滾輪軸承受載后，外圈的彈性彎曲變形會導致滾動體與內外滾道的接觸范圍角減小，載荷分布參數T變小，T小于0.5。

若用載荷分布函數Jr(T),Ji(T),Je(T)代替(10)式中的載荷分布參數Jr(0.5),Ji(0.5),Je(0.5)，并且同樣遵循S為0.9，L為1×106r的假定條件，可得到滾輪軸承的有效額定動載荷系數為

fcw=B[Jr(T)/Ji(T)]{1+{[Je(T)/Ji(T)]·

[(1-γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2[(1-

γ)29/27/(1+γ)1/4]γ3/4，

(12)

則滾輪軸承有效額定動載荷為

Crw=fcw(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4。

(13)

滾輪軸承有效額定載荷取決于載荷分布參數，即滾輪軸承外圈彈性彎曲變形。通過對比(10)式與(11)式可知，載荷分布參數T<0.5，則fcw

由(12)式，(13)式可得

fcw=Kcwfc，

(14)

Kcw=[Jr(T)/Ji(T)]{1+{[Je(T)/Ji(T)]·

[(1-γ)/(1+γ)]143/108}9/2}-9/2/[Jr(0.5)/

Ji(0.5)]{1+{[Je(0.5)/Ji(0.5)][(1-

γ)/( 1+γ)]143/108}9/2}-9/2，

因此滾輪軸承的有效額定動載荷也可表示為

Crw=Kcwfc(iLwcosα)7/9Dw29/27Z3/4=KcwCr。

(15)

4.2 有效額定靜載荷C0rw

同有效額定動載荷的計算方法，將(11)式的Jr(0.5)轉換成Jr(T)，則

f0w=K0Jr(T) ，

(16)

則滾輪軸承有效額定靜載荷為

C0rw=f0wiZDwLwcosα。

(17)

可以看出，因外圈的彈性彎曲變形，T<0.5，則f0w

由(11)，(16)式可得

f0w=K0wf0，

(18)

K0w=Jr(T)/Jr(0.5)，

則滾輪軸承有效額定靜載荷的另一表達式為

C0rw=K0wf0iZDwLwcosα=K0wC0r。

(19)

由(15)，(19)式可知，在未找到滾輪軸承有效額定載荷的計算方法時，通過對國外公司樣本中的滾輪軸承載荷參數進行分析，以得到有效額定載荷與基本額定載荷之間的關系，可近似得到有效額定載荷的計算方法，對仿照設計、類比設計、擴展設計滾輪軸承的承載能力和使用壽命進行粗略計算。但這種仿照設計、類比設計、擴展設計的主參數必須符合產品設計規范。

綜上可知，若彎曲變形量已知，通過外圈彎曲變形后的幾何關系得到載荷范圍角φ0，然后計算出載荷分布參數T,根據T再求得Jr(T)，Ji(T)，Je(T),最后求得Crw，C0rw。由(15)，(19)式可知，彎曲變形量已知，就可得到有效額定載荷的解析式，同樣可得到與fc，f0相類似的fcw，f0w或Kcw，K0w參數表。初期，可以通過計算機軟件進行數值分析。

5 Frmax，F0rmax的計算方法

5.1 Frmax的計算方法

由于滾輪軸承的外圈存在彈性彎曲變形，且外圈被動旋轉，所以外圈存在彎曲交變應力。Frmax就是外圈所能承受的彎曲交變應力的極限值。若要計算Frmax，需要知道在外力作用下滾輪軸承外圈的彎曲應力值、抗彎截面模量(慣性矩)，還必須保證彎曲疲勞破壞滯后于接觸疲勞破壞。

由應力應變理論可知，若求滾輪軸承外圈的彎曲應力，要知道滾輪軸承外圈的彎曲變形。

5.2 F0rmax的計算方法

國外公司早期樣本中，給出了最大允許靜載荷F0rmax，近期樣本中取消了F0rmax值，根據滾輪軸承的特性，外圈旋轉時才有載荷，而不旋轉時沒有載荷，此時滾輪軸承外圈產生彎曲塑性變形的可能性很小。但在極少數狀態下，即使滾輪軸承外圈不旋轉，也要承受較大的靜載荷，會產生彎曲塑性變形，故仍要研究最大允許靜載荷F0rmax的計算方法?？梢葬槍€例進行研究，現不予討論。

6 國外某公司早期樣本中的載荷參數

為探討Crw，C0rw和Frmax，F0rmax的計算方法，首先對國外公司早期樣本中的數據進行分析，得到參數之間的相互關系，反推出載荷分布參數和載荷范圍角，從而為有效額定載荷的可靠性計算提供參考。以國外某公司早期樣本中NUTR系列產品的載荷參數為例進行分析。

國外近期滾輪軸承的樣本中，已取消了基本額定動、靜載荷，只給出了有效額定動、靜載荷及最大允許動載荷,為了進行對比分析，依然采用早期的樣本參數。

國外某公司NUTR輕、重系列滾輪軸承的載荷參數分別見表1和表2。

從表1和表2可以看出，內徑相同、寬度相同的滾輪軸承基本額定動、靜載荷相等，說明內徑相同、寬度相同的輕、重系列產品設計主參數相同。重系列的有效額定動、靜載荷比輕系列大，說明外圈壁厚越大，外圈彎曲變形越小。重系列的滾輪軸承C0rw，Frmax，F0rmax相同，而輕系列的滾輪軸承C0rw，Frmax，F0rmax有較大差別，這表明當外圈壁厚達到一定的厚度時，Frmax，F0rmax取值可與C0rw相同。

表1 NUTR輕系列滾輪軸承的載荷參數Tab.1 Load parameters of NUTR light series track roller bearing

表2 NUTR重系列滾輪軸承的載荷參數Tab.2 Load parameters of NUTR heavy series track roller bearing

利用表1和表2的參數和滾動軸承載荷理論推導載荷范圍角φ0和載荷分布參數T，由(18)式、(19)式得

Jr(T)=Jr(0.5)C0rw/C0r。

(20)

將表1和表2中的C0rw，C0r和Jr(0.5)= 0.245 3代入(20)式可得Jr(T)，然后查表或由曲線圖得到T，再根據T與Ji(T)，Je(T)的關系查表或由曲線圖求得Ji(T)，Je(T)。

由滾動軸承載荷分布理論可知，處于φ角的滾動體載荷為

Qφ=Qmax{1-[(1-cosφ)/2T]}t，

(21)

當Qφ=0時，載荷范圍角為

φ0=Acos(1- 2T)。

(22)

根據表1、表2，按照上述方法推導出Jr(T)，T，Ji(T)，Je(T)和φ0，結果見表3和表4。

從表3和表4可以看出，對于同系列的滾輪軸承，隨尺寸的增大，載荷分布參數和載荷范圍角減??；對于相同內徑和寬度的滾輪軸承，外徑越大，載荷分布參數和載荷范圍角越大。隨尺寸的增大，外圈的彈性彎曲變形增大；隨外圈壁厚的增大，外圈的彈性彎曲變形量減小。

表3 NUTR輕系列滾輪軸承的載荷分布參數和載荷范圍角Tab.3 Load distribution parameters and load range angles of NUTR light series track roller bearings

表4 NUTR重系列滾輪軸承的載荷分布參數和載荷范圍角Tab.4 Load distribution parameters and load range angles of NUTR heavy series track roller bearings

若設計參數與國外相同，則可根據表3、表4的Jr(T)，Ji(T)，Je(T)來估算Crw，C0rw。估算時，通過相關標準先計算Cr，C0r，再計算Crw，C0rw。

按照國內的計算方法計算出Jr(T)，T，Ji(T)，Je(T)和φ0，考慮到國外材料的優越性，外圈的彈性彎曲變形量比國內小，故國外公司的T，φ0比表3、表4稍大。Ji(T)，Je(T)為近似值，精確值可通過(2)，(3)式求得。

7 滾輪軸承外圈彈性彎曲變形量

若求滾輪軸承的有效額定載荷Crw，C0rw及最大允許載荷Frmax，需先求解滾輪軸承的外圈彎曲變形量。

假定滾輪軸承受載荷Fr后，會使外圈產生2個變形(與常規向心滾子軸承相同的接觸彈性變形和向心滾子滾輪軸承的外圈彈性彎曲變形)，則

Fr=Frj+Frt,

(23)

式中：Frj為使滾輪軸承發生接觸彈性變形的力；Frt為使滾輪軸承外圈發生彈性彎曲變形的力。

Frj，Frt均未知，需聯立2組多元靜不定方程組和(23)式求解，求解困難。故探討用試算法求解，試算法基本過程如下：

1)外圈沒有彈性彎曲變形的各滾動體載荷

外圈沒有彎曲變形時的滾動體載荷分布如圖4所示，用滾動軸承載荷分布理論計算滾輪軸承受徑向載荷Fr后，外圈沒有彎曲變形時的各滾動體載荷Qmax，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi。計算時可以不考慮滾子周向游隙的影響，這與滿裝滾動體的工作狀態基本吻合。

圖4 外圈沒有彎曲變形時的滾動體載荷分布Fig.4 Load distribution of rolling element without bending deformation of outer ring

2)下半外圈的受力圖

假想將滾輪軸承的外圈從水平軸線處切開，滾輪軸承受載的下半外圈的受力圖如圖5所示。

圖5 半外圈受力和彎曲變形圖Fig.5 Diagram of force and bending deformation of half outer ring

由圖5a可知，這是一個半圓弧厚壁簡支梁，R0為梁的中性圓半徑，其值可通過材料力學求得；Fn為上半外圈對下半外圈的法向拉力，垂直于切面，作用在切面與中性圓的切點；Fv為上半外圈對下半外圈的切向剪力，平行于切面，同樣作用在切面與中性圓的切點處；Frmax，Fr1，Fr2，…，Fri-1，Fri為滾動體對外滾道的法向力，其分別與Qmax，Q1，Q2，…，Qi-1，Qi對應相等。

滾動體對下半外圈的作用力使其產生彎曲變形，而上半外圈有阻止下半外圈產生彎曲變形的趨勢。因此，假想切面上阻止下半外圈產生彎曲變形的力客觀存在，但是否能用法向拉力Fn和切向剪力Fv表示，還待驗證。

由圖5b可知，上半外圈無外力(無滾動體載荷)，只存在下半外圈對上半外圈的法向拉力Fn和切向剪力Fv，根據力的方向，除上半外圈的切面存在與下半外圈的切面相等的變形外，上半外圈有向下變位的趨勢，故滾輪軸承外圈的彈性彎曲變形圖是近似的。

3)法向拉力Fn和切向剪力Fv

通過靜力平衡方程組∑Fx=0和∑Fy=0可求解。

4)下半外圈各個單元的受力圖

以Frmax，Fr1，Fr2，…，Fri-1，Fri的作用線為對稱線，以滾子的周向角α=360°/Z所對應的外圈滾道弧長和外圓弧長為內外邊，將厚壁半圓弧梁分為若干單元，作各單元的受力圖，第i個單元的受力圖如圖6所示，法向拉力Fni和切向剪力Fvi與Fn，Fv的方向和作用點相同。相鄰2個單元中相同切面上的法向拉力和切向剪力大小相等方向相反。

圖6 第i個單元的受力圖Fig.6 Force diagram of the ith element

5)各單元的法向拉力和切向剪力

利用靜力的平衡方程組∑Px=0和∑Py=0可求得各個假想切面上的法向拉力Fno，Fn1，Fn2，…，Fni-1，Fni和切向剪力Fv0，Fv1，Fv2，…，Fvi-1，Fvi。

6)各個單元的合力矩

解得各個單元上各個力對中性圓上任意一點的合力矩M0(θ),M1(θ)，…，Mi-1(θ)，Mi(θ),即將合力矩變為θ的函數，θ為各單元中性圓上的任意一點的位置角。在計算合力矩時，使單元相對這個點逆時針扭轉為正，順時針扭轉為負。

7)建立各個單元的撓度方程

根據梁的應變理論，列出各個單元的撓度微分方程為

EId2R/dθ2=∑Mi(θ) ；i=0,1，…,N,

(24)

式中：E為材料的彈性模量；I為抗彎截面模量，與滾輪軸承外圈的外徑、滾道直徑、擋邊直徑、外圈寬度、滾道寬度等有關；R為中性圓的撓度變形量(即彎曲變形量)；θ的定義域內為各單元的位置角減去和加上滾子的周向角λ的一半；N=(Z+2)/4，并圓整為整數。

微分方程組的初始條件為θ=0,dR/dθ=0,ΔR=0。連續條件為相鄰2個單元中相同切面上的dR/dθ和ΔR相等， dR/dθ為單元上中性圓某一點的切線斜率(或稱為扭轉角)，ΔR為中性圓某一點的撓度變形量。

8)解撓度微分組

各個單元撓度微分解的表達式為

(25)

利用初始條件和連續條件得各積分常數。

9)輸入載荷Fr，分析外圈的彎曲變形量ΔRmax

得到滾輪軸承外圈的彎曲彈性變形量后，結合外圈的接觸彈性變形量，便可求得滾輪軸承的有效額定載荷和最大允許動載荷。有效額定載荷僅與外圈的彎曲彈性變形量和接觸彈性變形量相關，而最大允許動載荷還與外圈的材料特性和應力交變相關，此外確定合理的滾輪軸承外圈的安全系數。

若條件允許，可選擇與國外相同設計參數的產品，進行彎曲變形計算和有效額定載荷以及最大允許動載荷計算，并進行試驗驗證。

8 滾輪軸承外圈彈性彎曲變形量的試驗驗證

采用如圖7所示的試驗驗證裝置進行靜態試驗驗證，將滾輪軸承的外圈安裝在剛度足夠大的平臺上，用剛度足夠大的芯軸與內圈內孔過盈配合，芯軸用固定塊限定不使其產生位移，載荷通過加壓塊加在軸的兩端。用位移傳感器測量外圈外徑軸向對稱位置上的A，B，C，D點的法向位移量，然后計算，可得到外圈中性圓和滾道圓的彎曲變形。改變載荷，重復測量4個點的法向位移量，可得到滾輪軸承外圈的彈性彎曲變形規律。

圖7 試驗裝置Fig.7 Test device

若試驗驗證結果與第8節的計算結果相近，說明計算方法可取，否則需要重新修正或改變計算方法。

9 結束語

介紹了滾輪軸承的工作特性，闡述了國內外對滾輪軸承承載能力和載荷參數的認識。在給出常規向心滾子軸承基本額定動、靜載荷的基礎上，討論了滾輪軸承有效額定載荷和最大允許載荷的計算方法，并通過反推國外某公司NUTR系列滾輪軸承的載荷范圍角和載荷分布參數，得到滾輪軸承載荷參數的變化規律，最后介紹了求解滾輪軸承外圈彎曲彈性變形的基本方法及試驗驗證方法。

載荷范圍角按滾輪軸承外圈滾道的接觸范圍計算，而撓度分析按外圈的中性圓計算，彎曲變形量的試驗驗證又是測量外圓的位移量，雖然這三者可以通過幾何關系相互轉換，但轉換時存在一定的誤差，會影響分析計算的準確性，故有待進一步研究滾輪軸承外圈的彈性彎曲變形量的計算方法、試驗驗證方法，從而精確求得滾輪軸承的有效額定動、靜載荷、最大允許動、靜載荷。