系泊系統設計模型

李睿意

摘 要 本文主要研究近淺海觀測網的傳輸節點在不同風浪流條件下，基于靜力學與動力學方法，分析系泊系統的狀態。

關鍵詞 靜力學；懸鏈法；集中質量法；迭代法

中圖分類號 U6 文獻標識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）11-0013-02

1 問題概述

問題1：本題使用長為22.05m的錨鏈以及質量為1 200kg的重物球。存在某海域，水深為18m。假設海水靜止，在風速為12m/s和24m/s的前提下，計算鋼桶、鋼管的傾斜角度，所給錨鏈的形狀，浮標吃水的深度以及浮標游動的區域范圍。（ρ海水=1.025×103kg/m3）。

問題2：仍在問題1的條件下，設風速為36m/s，計算此時鋼桶、鋼管的傾斜角度，所給錨鏈的形狀，浮標吃水的深度以及游動的區域范圍。問：在鋼桶傾斜角度小于等于5°，錨鏈與海床夾角小于等于16°的前提下，重物球的質量應為多少？

問題3：若海域實測水深為16m～20m，設計系泊系統，分析鋼桶、鋼管的傾斜角度，所給錨鏈的形狀，浮標吃水的深度以及游動的區域范圍。考慮風力、水深和水流力。假設海水速度最為1.5m/s、風速最大為36m/s。

針對問題1，首先在僅有風荷載的條件下，確立系統靜力學模型。對浮標、鋼管、鋼桶在精力平衡條件下進行受力分析，建立平衡方程。進而利用懸鏈線控制方程對錨鏈相關參數進行求解。其中海面風速為12m/s和24m/s時，浮標吃水深度分別為0.727 4m和0.751 4m。解得鋼桶和各節鋼管的傾斜角度后，通過獲得的錨鏈相關參數對錨鏈形狀進行描述。由于可假設風向為任一定向，因此，確定浮標的游動區域為以靜力平衡狀態下系統各部件在水平方向上的投影長度總和為游動半徑的圓環上。

針對問題2，基于對錨鏈邊界條件的考量，建立集中質量法靜力學模型。首先將浮標、鋼管、鋼管化作質點模型，對錨鏈按節點進行分段，分別建立靜力學方程。根據第一個節點的水中質量與0的大小關系進行判斷錨鏈的拖地情況。解得海面風速為36m/s時，浮標吃水深度為0.830 2m，對應一系列其他待求變量。根據建立的靜力學方程，在浮標吃水深度、鋼桶的傾斜角度、錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角的約束下，利用MATLAB編制單目標程序，找出符合條件的重物球質量取值范圍為178 0kg～489 0kg。

針對問題3，相對于問題2，需要考慮當海水速度與風速在一定范圍內，依據海水深度的約束條件，基于集中質量法的動力學模型，建立非線性微分方程組。根據查朗貝爾定理，寫出慣性力表達式。在x與z方向上分別建立6個動力學方程，使用計算機軟件進行求解。求解得到不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標的吃水深度和游動區域。

2 模型假設與符號說明

2.1 模型的假設

假設1：靜力學方法中，設水流方向與風荷載方向為定向，不隨時間改變。

假設2：假設浮標軸線與水平面垂直，忽略力矩的轉動效應。

假設3：假設海水中流體不旋動，無流體附加質量，無摩擦。

假設4：忽略錨鏈幾何上的非線性特性與運動響應，假設纜索的自重沿鏈長方向均勻分布，由同種材料組成，在拉力作用下伸長可以忽略。

2.2 模型的符號說明

：浮標的吃水深度

：浮標受到的浮力

：風的速度

：錨鏈張力對錨豎直方向上的分量

：第i個鋼管或鋼桶的拉力

：第i個鋼管或鋼桶與豎直方向的傾斜角度

：錨鏈的豎直投影長度

：錨鏈的水平投影長度

：浮標的游動半徑

：第i個鋼管或鋼桶受到的重力

3 問題1的解答

3.1 模型的構建

浮標的重力G1可用假定的g及已知條件浮標質量m求得：G1=mg=12 000N

設浮標吃水深度為h，再結合海水密度ρs，從而浮標所受的浮力B可表示為

B=ρs*g*V其中：V=π*r2*h

設連接的鋼管對其作用力為T1，且T1與水平方向夾角為θ1。

再由二力平衡可得：B1-G1=T1sinθ1

F1=T1cosθ1

再對4節鋼管進行受力分析。

令第i節鋼管所受下一節鋼管的拉力為，重力為，自身與水平方向傾角為，所受浮力為。再根據受力平衡，可列出以下方程：

Ti=[（Bi-G1+Ti-1Sinθi-1）2+（ Ti-1Cosθi-1）2]1/2

θi=arc tan[（Bi-G1+Ti-1Sinθi-1）/（Ti-1Cosθi-1）]

對于四節鋼管，Gi均為100N，Bi均約為2.01N。對于鋼桶，Gi為鋼桶本身和重物球的重力和13 000N。

對于錨鏈采用懸鏈線理論列出其控制方程：

y=（Ht/W）[cosh{sinh-1（tan（θ1））}-cosh{sinh-1

（tan（θb））}]

x=（Ht/W）[sinh-1（tan（θt）） - sinh-1（tan（θb））]

tan（θb）=（Vt-ws）/Ht Vt=Ht.tan（θt）

其中，x為系泊纜索觸底點與其頂部端點的水平距離，y為頂部端點距離海底的垂直距離。Ht、Vt為系纜張力沿水平方向和豎直方向上的分量，θb為纜索在觸底點與海底水平的夾角，而θt則表示系纜頂端點與水平方向的夾角。

3.2 求解與分析

對系泊系統存在如下水深條件約束：

f=h+cos（α1）+cos（α2）+cos（α3）+cos（α4）+cos（α5）+y-18

其中，為錨鏈豎直方向投影的長度，對在區間內取值，得關于它的函數圖像后，求得零點處自變量取值。

4 問題2的解答

對于浮標，鋼管等靜力學分析與問題1類似。進行受力分析，表示每個節點的拉力、與水平方向的夾角，并用牛頓迭代法計算。

將整段鏈理想化為質點彈簧系統，把錨鏈分成N段，則有N+1個節點，兩個節點問以直線代替曲線，考慮其彈性伸長，即可認為N段線性彈簧，每段質量集中在節點上[1]。

忽略水流力的情況下，運用正交分解，對第i節點的靜力平衡條件，x，z兩向的靜力平衡方程式如下

X方向：Tjcosγj=Tj-1 cosγj-1

Z方向：Tjsinγj=Tj-1 sinγj-1+wj

其中為節點j與j+l的張力，為第j段與x軸的夾角，為質點j在水中的質量，即重力與浮力的

合力。

對錨鏈上每一段節點進行類推分析，并考慮到節點j與j+l之間彈性伸長的長度，表達出第一個節點的水中質量為：

根據第一個節點的水中質量判斷，為0是邊界條件正好滿足，小于0就是存在海底施加的向上的支持力，也就是與底面接觸。

根據坐標投影的關系每個節點在x方向的坐標為：

在豎直方向的坐標為：

其中，A為錨鏈的等效截面積，E為鋼材的彈性模量，是上端點在x方向的水平分力，l為每一段的初始長度。

5 問題3的解答

建立二維直角坐標系，考慮第j節點的運動，設j質點的加速度在x和z方向上的分量為（，），則j質點在法向的附加慣性力為，設其在x，z方向的分力分別為，[1]。

根據牛頓第二定律，法線方向的慣性力在x方

向上：

Fnxj=mnj αxjsinγj

其中，mnj=ρ（DC2π/4）L Chn為j點法向附加質量（附加質量為物體受到外力f在真空中運動時，加速度a=f/m；但物體在空氣或水等介質中作同樣的運動時，加速度a

通過牛頓第二定律，求出質點j在x和z兩個方向的加速度分別在法向和切向引起的慣性力的表達式及其在x，z方向的分量。

X方向的加速度引起的法向慣性力及其分量：Fnxj=mnjαxj sinγj

Xxj=FnXj sinγj= mnjαxj sin2γj

Z xj=FnXj cosγj= mnjαxj sinγj cosγj

同理，可以求解出X方向的加速度引起的切向慣性力及其分量：Fnzj=mnjαzj sinγj

Xzj=Fnzj sinγj=- mnjαzj sinγj cosγj

Zzj=Fnzj cosγj= mnjαzj cos2γj

同理，z方向也有相似的6個方程。

算出所有慣性力之后，對j質點進行受力分析，跟之前靜態方程差不多，就是多了慣性力在x和z方向上用牛頓第二定律：

（Mj+mnjsin2γj+mtjcos2γj） αxj +（Atj-Anj） αzjsinγjcosγj=Fxj

（Mj+mnjcos2γj+mtjsin2γj） αzj+（Atj-Anj） αxjsinγjcosγj=Fxj

其中，為單位節點的質量，為附加質量，兩個方程里含有x，z的二階導數兩個變量，可以求得x和z方向的導數：

αxj=（FxjI3-FzjI2）/（I1I3-I22）

αzj=（FzjI1-FxjI2）/（I1I3-I22）

其中，T為拉力，為角度

I1=（ Mj+mnjsin2γj+mtjcos2γj

I2=（ mtj-mnj）sinγjcosγj

I3=Mj+mnjcos2γj+mtjsin2γj

接著，對這個微分方程進行積分求解。

6 模型的評價、改進及推廣

6.1 模型的評價

1）模型的優點。（1）問題1中，采用靜力分析的方法，與繁雜的動力學方程相比，計算較為簡潔。運用懸鏈線控制方程分析錨鏈的受力，通過離散模型和迭代的方法進行計算，算法較以實現，計算速度快。（2）問題2中，除了問題1中用到的懸鏈線方程，還運用集中質量法的靜態分析，進行比較分析，增強了計算的準確性。（3）問題3中，本文應用集中質量法對錨鏈進行動力分析和計算。本文采用集中質量法對錨鏈的動力性能進行理論分析，并根據理論分析編程進行計算，將問題簡化。

2）模型的缺點。（1）懸鏈線方法有過多的假設，得到是特定情形下的近似解。在實際情況中，需要考慮所有外力才能得到更為精確的解。（2）懸鏈式的描鏈用于主要用于淺海區域，在深海區這種方法不適用。（3）對系泊系統時域分析不夠全面，當考慮水流力時，沒有考慮到慢漂力引起的浮體縱蕩和縱搖運動和動力學響應的時間歷程。

6.2 模型的改進

1）綜合考慮節點所受到所有外力，在水中的懸鏈線方程中，釆用適當的數值模擬方法進行求解。2）本文集中質量法計算積分時采取差分法，然而有限元方法的通用性強，處理不規則邊界更為靈活。3）本文并未考慮實際情況中的三維運動。為了建立更符合實際的系泊系統的計算機仿真模型，應建立三自由度運動微分方程。4）動力分析中常用的還有細長彈性桿有限單元法，，只分析了懸鏈線模型和集中質量法，沒有考慮細長桿

理論。

參考文獻

[1]劉超.海洋工程錨泊系統計算與分析[D].武漢：武漢理工大學，2007.

[2]王磊.單點系泊系統的動力學研究[D].青島：中國海洋大學，2012.

[3]王冰.基于細長桿理論的系泊纜索靜力及動力分析方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2013.

[4]胡靈斌，唐軍.懸鏈線方程的求解及其應用[J].船舶，2004（1）：1-20.