時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的半線性微分包含的可控性分析?

李文勝 楊陳東

（西安航空學(xué)院理學(xué)院西安710077）

時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的半線性微分包含的可控性分析?

李文勝 楊陳東

（西安航空學(xué)院理學(xué)院西安710077）

利用Dhage多值映射不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合算子半群理論，在公理化定義的相空間上，研究一類(lèi)非局部初始條件下時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的半線性微分包含的可控性。

時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)；算子半群；微分包含

Class NumberO175.22

1 引言

近年來(lái)，微分包含理論已得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用，因此這些系統(tǒng)受到越來(lái)越多的研究，各種結(jié)果相繼建立［1～6］。

本文主要考慮一類(lèi)時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的半線性微分包含：

其中A是Banach空間(X，‖·‖)中強(qiáng)連續(xù)半群(T(t))t≥0的無(wú)窮小生成元；L2(J，U)是容許控制函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，控制函數(shù)u(·)在L2(J，U)中取值，U是一個(gè)Banach空間；P(X)是X的所有非空子集類(lèi)；F:J×B→P(X)是有界閉凸值多值映射，g:C(J，X)→X是給定的函數(shù)；B是一個(gè)抽象的相空間；xt:(-∞，0]→X，屬于抽象的相空間B， xt(s)=x(t+s)，s≤0。

2 預(yù)備知識(shí)

L(X)是從X到X的有界線性算子構(gòu)成的Banach空間。一個(gè)可測(cè)函數(shù)x:J→X是Bochner可積當(dāng)且僅當(dāng)‖x‖是Lebesgue可積，更多有關(guān)Bochner積分的性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。L1(J，X)是Bochner可積的連續(xù)函數(shù)x:J→X組成的Banach空間，賦予范數(shù)

有關(guān)公理化定義的相空間B，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］。

引理1［9］若集值映射F有非空緊值且全連續(xù)，則F是上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)F有閉圖像（即當(dāng)xn→x*，yn→y*，yn∈F(xn)時(shí)，有y*∈F(x*)。

定義1稱(chēng)F:Rτ×B→P(X)為Caratheodory集值映射，假如

1）對(duì)每個(gè)ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測(cè)的；

2）對(duì)任意的t∈Rτ，ψ→F(t，ψ)為上半連續(xù)的。

引理2［9］若F為Caratheodory多值映射，且對(duì)給定的ψ∈B，集合SF，ψ={∈L1(Rτ，X):f(t)∈fF(t，ψ)，t∈Rτ}是非空的，Γ:L1(Rτ，X)→C(Rτ，X)為線性連續(xù)映射，則Γ°SF:C(Rτ，X)→Pcp，cv(C(Rτ，X))，y→(Γ°SF)(y)=Γ(SF，y)是C(Rτ，X)× C(Rτ，X)上的閉圖算子。

定義2函數(shù)x:(-∞，a]→X稱(chēng)為問(wèn)題（1）～（2）的溫和解，如果對(duì)任意的s∈J，有x0=φ，xρ(s，y)∈B，并且滿足：

s

引理3［10］如果多值映射Γ1:X→Pbd，cl，cv(X)和Γ2:X→Pcp，cv(X)滿足：

1）Γ1是壓縮的；

2）Γ2是全連續(xù)的；

那么

1）當(dāng)λ=1時(shí)，算子包含λx∈Γ1x+Γ2x有一個(gè)解，或者

2）集合{u∈λΑ1u+λΓ2u，0＜λ＜1}是無(wú)界的。

3 主要結(jié)果

為了討論問(wèn)題（1）～（2）的可控性，假定以下條件成立：

H1.函數(shù)t→φt從R(ρ-)={ρ(s，ψ):ρ(s，ψ)≤0，(s，ψ)∈J×B}到B上是連續(xù)的，且存在一個(gè)連續(xù)有界函數(shù)Jφ:R(ρ-)→(0，∞)，使得對(duì)每個(gè)t∈R(ρ-)，有‖φt‖B≤J?(t)‖φ‖B。

H2.線性算子W:L2(J，U)→X定義為Wu=T(b-s) Bu(s) ds，W有一個(gè)在L2(J，U)/kerW中取值的誘導(dǎo)逆算子，并且存在正常數(shù)M1，M2，使得

H3.T(t)是緊算子，且存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得當(dāng)t∈J時(shí)，‖T(t)‖≤M。

H4（1）F:J×B→Pbd，cp，cv(X)，對(duì)每個(gè)ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測(cè)的；對(duì)任意的t∈J，ψ→F(t，ψ)是上半連續(xù)的；對(duì)固定的ψ∈B，集合SF，ψ= {f∈L1(J，X):f(t)∈F(t，ψ)a.e.t∈J}是非空的。

H4（2）存在一個(gè)可積函數(shù)m:J→[0，+∞)和一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)W:[0，∞)→(0，∞)，使得‖F(xiàn)(t，ψ)‖=sup{‖f‖:f(t)∈F(t，ψ)}≤m(t) W(‖ψ‖B)，(t，ψ)∈J×B。

H4（3）Hd(F(t，ψ1)-F(t，ψ2))≤MF‖ψ1-ψ2‖B，(t，ψ)∈J×B。

備注1［11］設(shè)φ∈B且t≤0。φt為定義成φt(θ)=φ(t+θ)形式的泛函。由此可知，如果泛函x(·)使得x0=φ，則有xt=φt。

備注2令Ma=supt∈JM(t)，Ka=maxt∈JK(t)，且M*=Mmax{eωa，1}。

定理1假設(shè)H1～H4成立，如果

則系統(tǒng)（1）～（2）在J上是可控的。

證明：利用假設(shè)H2，對(duì)任意的x()·，可定義控制：

ux(t)=W-1{x1-T(b)[φ(0)-g(x)]-T(b-s) f(s) ds}(t)其中SF，xˉρ={f∈L1(J，X):f(t)∈F(t，xˉρ(t，xt))，a.e.t∈J}，xˉ:(-∞，a]→X滿足xˉ0=φ，且在J上x(chóng)ˉ=x。

令Br={x∈X:‖x‖PC≤r}，對(duì)任意的r＞0，易知Br是X中的一個(gè)有界閉凸子集。

考慮空間Bˉ0a={z∈Bˉa:z0=0}。記‖·‖a是Bˉ0a的半范數(shù)且定義為

顯然(Bˉ0a，‖·‖a)是一個(gè)Banach空間。

考慮如下算子：Γ:Ba→P(Ba)

0

0

將Γ分解為Γ=Γ1+Γ2，其中

為了應(yīng)用引理3，將證明分為如下幾步：

第一步，Γ1是在Br上是壓縮的。

因此

第二步，Γ2是全連續(xù)算子：

1）易知Γ2(Br)是有界的。

2）Γ2(Br)是等度連續(xù)的。

假如t1，t2∈J，t1＜t2。設(shè)z∈Br，?1∈Γ2(z)，則存在f∈SF，zρ，使得

則

其中r**=(Ma+Jφ+MHKa)‖φ‖B+Kar。

（3）使用OPC-UA：OPC-UA傳遞的數(shù)據(jù)是可加密的，并對(duì)通信連接和數(shù)據(jù)本身都可實(shí)現(xiàn)安全控制。這種新的安全變種可以保證從原始設(shè)備到MES、ERP系統(tǒng)的各種數(shù)據(jù)的可靠傳遞。

因?yàn)門(mén)(t)是強(qiáng)連續(xù)的并且T(t)，(t＞0)是緊的，所以T(t)，(t＞0)是一致算子拓?fù)溥B續(xù)的。又因t2→t1且ε充分小，所以上述不等式的右邊趨于零并且與x∈Br無(wú)關(guān)。因此Γ2把有界集映成等度連續(xù)集。

3）對(duì)每個(gè)t∈J，(Γ2Br)(t)={?ˉ1(t):?ˉ1∈Γ2(Br)，t∈J}是相對(duì)緊的。

當(dāng)t=0時(shí)，顯然Γ2(Br)(t)在X中是相對(duì)緊的。假如0＜t≤a是固定的且0＜ε＜t，對(duì)任意的z∈Br和?ˉ1∈Γ2(y)，存在f∈SF，xˉ，使得

ρ

由算子T(ε)的緊性可知

因?yàn)?/p>

不等式右端當(dāng)ε→0時(shí)，一致收斂于零。存在相對(duì)緊集序列無(wú)限逼近于集合所以集合是X中的相對(duì)緊集。

類(lèi)似于文獻(xiàn)［3］，Γ2是全連續(xù)多值映射，根據(jù)Arzela-Ascoli定理可以得出Γ2是全連續(xù)多值映射。由引理3知，微分包含問(wèn)題（1）～（2）是可控的。

4 結(jié)語(yǔ)

利用集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合算子半群理論，在微分包含有關(guān)理論及給定條件的基礎(chǔ)上，先將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成積分方程，然后按照給定的不動(dòng)點(diǎn)定理，逐步證明了時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的半線性微分包含的可控性。此分析方法對(duì)同類(lèi)系統(tǒng)可控性的研究具有促進(jìn)意義。

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Controllability for Semilinear Differential Inclusions with State-dependent Delay

LI WenshengYANG Chendong
（Faculty of Science，Xi'an Aeronautical University，Xi'an710077）

In this paper，a sufficient condition for the controllability of a semilinear differential inclusions is established with state-dependent delay.The approach used is the Dhage multi-valued fixed-point theorem combined with operator semigroups.

state-dependent delay，operator semigroups，differential inclusions

O175.22

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.07.002

2017年1月9日，

2017年2月13日

國(guó)家自然科學(xué)基金（編號(hào)：11161027）；陜西省教育廳科研項(xiàng)目（編號(hào)：15JK1379）；西安航空學(xué)院科研基金

（編號(hào)：2014KY1210）資助。

李文勝，男，碩士，講師，研究方向：算子理論。楊陳東，男，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)。