具有時變時延的不確定非線性系統的跟蹤控制

孟 宇,李慶奎

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

具有時變時延的不確定非線性系統的跟蹤控制

孟 宇,李慶奎

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

針對一類具有時變時延的不確定非線性系統的跟蹤控制問題，利用擴張狀態觀測器估計系統中具有時變時延的未知項。對于在反推技術中出現虛擬控制的導數，采用非線性跟蹤微分器對其進行跟蹤，設計實際控制器以使閉環系統中的狀態及部分跟蹤信號收斂于原點鄰域。仿真結果驗證了該方法的可行性。

擴張狀態觀測器；微分跟蹤器；反推技術；跟蹤控制

0 引言

近年來,非線性系統的鎮定和跟蹤問題得到了廣泛關注[1-3]。非線性系統的鎮定強調系統的狀態收斂于系統原點的鄰域內，而跟蹤問題主要有狀態跟蹤和輸出跟蹤。目前，雖然對非線性系統輸出跟蹤控制問題的研究已有很多[4-6]，但是時延作為實際系統中普遍存在的現象，很大程度上會影響系統的穩定性。因此，對具有時變時延的非線性系統的跟蹤控制問題的研究更有意義。

自適應反推設計是解決非線性系統的一種方法[7]。此外,對于系統中的不確定項，有些學者選用徑向基函數神經網絡或模糊邏輯系統來逼近未知非線性函數[8-9]。但是，隨著系統階和時變時滯的增加，這類系統的控制設計問題變得更加復雜，自抗擾控制技術可有效解決該類問題[10-11]。文獻[10]針對一類具有外部擾動的不確定非仿射純反饋非線性系統,通過將系統中的未建模動態和未知項看作一個未知綜合擾動，對這個未知綜合擾動進行實時估計和補償。但是上述文獻只考慮了不確定的存在，并沒有考慮實際系統中不可避免的時變時延。

本文研究了具有時變時延的非線性系統跟蹤控制問題。首先，將具有時變時延的未知非線性項看作不確定項。然后，結合自抗擾控制技術和反推方法，針對每個子系統中不確定項，通過建立擴張狀態觀測器對其進行估計。而對于在每一步反推設計中出現的虛擬控制的導數,為了使問題簡單化，本文采用跟蹤微分器對其進行跟蹤。最后，通過仿真實例驗證了本文方法的有效性。

1 問題的描述和準備

考慮一類具有時變時延的不確定非線性系統，可表示為：

(1)其中：∑i為第i個子系統；x=[x1,x2,…,xn]∈Rn為系統的狀態；gi為正常數；hi(xi(t))為已知函數；fi(xi(t-di(t)))為具有時變時延di(t)的未知光滑非線性函數,i=1,2,…,n；u(t)∈R,y(t)∈R分別為控制輸入和系統輸出。

本文的控制目標：對于具有時變時延的非線性系統，利用反推技術設計控制器，使得系統的輸出y(t)跟蹤參考信號yr，且最終閉環系統的狀態及部分跟蹤信號 (對不確定項的跟蹤以及對虛擬控制導數的跟蹤) 保持有界。需要作如下假設：

假設1 當xi(t)≠0,i=1,2,…,n，fi(xi(t-di(t)))連續可微，其微分有界且不為0。

假設2 系統的所有狀態是可測的。

為了實現對信號導數的估計,選擇非線性跟蹤微分器為：

(2)

2 主要結果

在利用反推技術設計控制器之前，先介紹自抗擾的概念。考慮如下不確定非線性系統：

(3)

其中：G(x)為光滑不確定非線性函數。不失一般性，假設狀態可測，將G(x)看作是擾動項，可將系統(3)擴展為：

其中：H(x)是未知的，且為G(x)的導數。

然后，為系統(3)構建擴展狀態觀測器，如下式：

其中：Z2→G(x)。則可設計如下控制器使得系統鎮定：

其中：k>0為待設計的常數。

引理1 通過為系統(3)構建二階擴展狀態觀測器，可設計控制器使系統(3)漸近穩定。

證明 將控制器代入系統(3)，可得：

利用基于擴張狀態觀測器和跟蹤微分器的反推方法，設計系統(1)的控制器。

步驟1 考慮子系統∑1，定義變量z1=y-yr，對z1求導可得：

(4)

由于f1(x1(t-d1(t)))是未知函數，使用擴張狀態觀測器對未知量進行估計。在假設1和假設2成立的條件下，構建擴張狀態觀測器，如下式：

(5)

其中：Z1,1、Z1,2為擴張狀態觀測器的狀態；β1、β2為適當參數；f1j(E1),j=1,2為滿足條件E1f1j(E1)≥0的適當非線性函數。

(6)

定義變量z2=x2-x2d，將其代入擴張狀態觀測器(5)可得：

(7)

(8)

假設z2=0，f1(x1(t-d1(t)))-Z1,2可被看作是干擾，則式(8)可變為：

(9)

由輸入到狀態穩定性定理可知，若z2=0時，系統(4)是輸入到狀態穩定的。也就是說只要f1(x1(t-d1(t)))-Z1,2有界，那么z1就有界。

步驟2 對變量z2求導，可得：

(10)

(11)

(12)

其中：Z2,1、Z2,2為擴張狀態觀測器的狀態；β1、β2為適當參數；f2j(E2),j=1,2為滿足條件E2f2j(E2)≥0的適當非線性函數。

可選Lyapunov函數為V2=V1+V21，對其進行求導并整理可得：

(14)

(15)

步驟i對zi=xi-xid進行微分得：

(16)

(17)

(18)

其中：Zi,1、Zi,2為擴張狀態觀測器的狀態；β1、β2為適當參數；fij(Ei),j=1,2是滿足條件Eifij(Ei)≥0的適當的非線性函數。

定義變量zi+1=xi+1-xi+1,d，同時可設計如下虛擬控制器：

(19)

(20)

步驟n對zn=xn-xnd進行微分得：

(21)

(22)

建立擴張狀態觀測器：

(23)

其中：Zn,1、Zn,2為擴張狀態觀測器的狀態；β1、β2為適當參數；fnj(En),j=1,2為滿足條件Enfnj(En)≥0的適當非線性函數。

根據以上步驟可設計實際控制器為：

(24)

(25)

注1 本文的擴張狀態觀測器選自文獻[10]。只要選取適當參數β1、β2和非線性函數fi,1(Ei)、fi,2(Ei)(i=1,2,…,n)，擴張狀態觀測器對多數系統都能估計出其狀態變量。

定理1 系統(1)在滿足假設1和假設2的情況下，可以通過設計虛擬控制器和實際控制器，使得閉環系統的狀態漸近收斂到原點的鄰域內且輸出信號跟蹤參考信號。

(26)

那么式(25)可以變為：

(27)

3 仿真例子

為了證明本文方法的有效性，選取系統如下：

其中：g1=3.0;g2=10.9;時變時延d1(t)=1-0.5cost;時變時延d2(t)=1-0.5sint。取參考信號yr=0.5sint+sin(0.5t)，設初始值為x1(0)=2,x2(0)=-2。擴張狀態觀測器和跟蹤微分器的參數可選為：β1=255,β2=0.2,ω=3.5。仿真圖見圖1～圖4。圖1給出了系統輸出x1與參考信號yr隨時間變化曲線。圖2為跟蹤微分器的狀態v1,1及虛擬控制x2d的時間響應曲線，證明其跟蹤效果很好。圖3為擴張狀態觀測器狀態Z1,2及非線性項f1的時間響應曲線，圖4是擴張狀態觀測器狀態Z2,2及非線性項f2的時間響應曲線。由圖3和圖4可知：擴張狀態觀測器的狀態可以很好地估計未知非線性項。分析圖1～圖4可知：本文的設計方法有效。

圖1 系統輸出x1與參考信號yr隨時間變化曲線圖2 跟蹤微分器的狀態v1,1及虛擬控制x2d的時間響應曲線

4 結論

本文針對一類具有時變時延的不確定非線性系統的跟蹤控制問題，通過將具有時變時延的未知非線性項看作不確定項，利用擴張狀態觀測器的狀態實時估計系統中的不確定項，使用反推技術逐步得到實際控制器。對于在反推技術中出現的虛擬控制的導數，利用跟蹤微分器對其進行跟蹤。仿真結果驗證了本文設計方法的有效性。

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國家自然科學基金項目(61573230);山西省回國留學人員科研基金項目(2015-017)

孟宇(1990-),女,山西忻州人,碩士生;李慶奎(1971-),男,通信作者,山東郯城人,副教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為切換時滯系統、網絡控制系統及供應鏈系統.

2016-08-21

1672-6871(2017)02-0048-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.009

TP13

A