不對稱外磁場下兩量子比特系統的幾何相

蘇耀恒,陳愛民，2,王 軍,李躍文

(1.西安工程大學 理學院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學 理學院，陜西 西安 710049；3.中航光電科技股份有限公司 光電設備事業部，河南 洛陽 471000)

不對稱外磁場下兩量子比特系統的幾何相

蘇耀恒1,陳愛民1，2,王 軍1,李躍文3

(1.西安工程大學 理學院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學 理學院，陜西 西安 710049；3.中航光電科技股份有限公司 光電設備事業部，河南 洛陽 471000)

研究了不對稱旋轉外磁場下具有XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統的幾何相。考慮體系的絕熱條件，利用數值模擬的方法得到量子比特系統的4個本征態的Berry相，研究了外加旋轉磁場的極角以及量子比特之間相互作用的各向異性參數對4個本征態的Berry相的影響。研究結果表明：當極角保持不變，各向異性參數由0增加至無窮大的過程中，系統的哈密頓量由一種極限下的含外場的XX模型經過中間的海森堡模型，逐漸演化為另外一種極限下的Ising模型。4個本征態的Berry相都有各自獨特的變化規律，且極角越小幾何相趨于穩定越快。通過對系統Berry相的研究，可以得到系統在不同參數區間對應的模型的轉化，并對本征態的幾何性質有更進一步的認識。

量子信息；兩量子比特系統；幾何相；海森堡相互作用

0 引言

量子信息[1]是指在物理系統的量子態中所保存的物理信息。量子信息最基本的單元是量子比特[2]，這是一個二能級態的量子系統。例如，光子的兩個偏振方向、原子中電子的兩個能級或者環路中電流的不同方向等，在測量時都可以很容易被區分開來。量子系統的哈密頓量不僅決定了量子態的能級，更決定了這個物理系統的態隨時間的演化情況。在許多應用中，哈密頓量的物理參數都是由含時的外部或環境因素決定的，因而研究含時的哈密頓量在實際的物理領域中是很重要的。通常，含時的哈密頓量總會導致幾何相位[3](Berry相)的出現。目前，人們對不同量子比特系統的幾何相已經開展了廣泛的研究[4-6]，基于Berry相的量子操作已經在核磁共振[7]和束縛離子[8]系統中實現。人們比較感興趣的是復合系統的幾何相，因為其可以應用到量子信息執行過程中[9-10]。量子比特系統的操作，可以通過控制系統參數來改變復合系統的子系統相互作用來實現[11]。文獻[12]研究表明：在含時外場作用下，復合系統的幾何相和系統的糾纏存在特定的聯系。近年來，大量研究者開始通過研究幾何相來探測系統的相變[13-14]。

迄今為止，對于旋轉外場作用下XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統幾何相的研究，都是在對稱外磁場的條件下進行的。對于非對稱的情況，由于不能直接得到系統本征態的解析解，幾何相的研究變得更加復雜。因此，本文主要通過數值模擬的方法，研究在不對稱外磁場下XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統的本征態演化，給出了系統本征態的幾何相隨相互作用的各向異性參數的變化情況。對于幾何相的研究可以更透徹地了解量子系統的性質，以便進一步應用于實際的量子操作。

1 模型

H=HB+Hxxz,

(1)

若旋轉外場的圓頻率為常數ω，則有φ(t)=ωt。在外場旋轉一個周期τ的過程中，φ緩慢地由φ(0)=0變為φ(τ)=2π。注意：當極角θ=0和π時，外加旋轉場約化為一個沿z方向的靜場，此時模型描述的是一個哈密頓量不含時的系統。在研究系統本征態的幾何相時，考慮θ的對稱性，則只需要限制θ的取值為0<θ<π。

通過對哈密頓量進行研究可以發現：隨著各向異性參數Δ由0增大到無窮大，系統的哈密頓量由一種極限下的含外場的XX模型經過中間的Δ=1時的海森堡模型，逐漸演化為另外一種極限下的Ising模型。

2 數值模擬

(2)

在絕熱的循環演化條件下，Berry相是與路徑有關的，不管哈密頓量的形式是什么，只要參數空間中給出的是同一個幾何路徑，則可以得到相等的Berry相。

2.1 不同極角 θ對應的Berry相隨各向異性參數 Δ的改變

令J作為能量符號，并且外場強度B=Jx。本文主要討論各向異性參數Δ以及旋轉外場極角θ對系統Berry相的影響。注意：幾何相的周期為2π，即當γn=2π rad時也表示沒有Berry相的產生。

圖1 選定不同的極角 θ，Berry相γn隨各向異性參數 Δ的變化曲線

由圖1a可知：當θ=0.01π時，隨著各向異性參數Δ的增大，γ1先保持0 rad不變，后在Δ≈0.4處迅速增大到2.0π rad再保持不變；而γ3的值先保持2.0π rad不變，后在Δ≈2.7附近迅速減小到0 rad再保持不變，這兩個本征態的幾何相都隨Δ的變化呈單調變化趨勢。值得注意的是:γ2先保持2.0π rad不變，后在Δ≈0.4處迅速減小到0 rad后保持不變；當Δ繼續增大，在Δ≈2.7再一次迅速增大到2.0π rad并在其后保持不變，在Δ的增加過程中，γ2一共經歷了兩次劇烈的變化。γ4始終保持2.0π rad不變，即不管各向異性參數怎么改變，始終沒有幾何相。因此，在整個參數區間中一共有兩個幾何相的轉變點，這是由于隨著Δ的改變，磁場強度B和相互作用J共同影響了系統的本征態。綜上可以看出：對于4個本征態對應的Berry相，除了在很短的參數區域以外，幾乎整個區間的幾何相都為2.0π rad或 0 rad，即不存在幾何相。可以預見:隨著θ的值趨于0，外加旋轉場約化為一個沿著z方向的靜場，模型描述的是一個哈密頓量不含時的系統，其本征態的幾何相都趨于零。4個本征態的Berry相之間還滿足以下關系：當Δ≈0.4時，γ1=γ2；當Δ≈2.7時，γ2=γ3。

由圖1b可知：當θ=0.20π時，隨著 Δ的增大，γ1迅速增大到2.0π rad后保持不變；γ2先減小到一個最小值(不等于0 rad)后增大，最終保持2.0π rad不變；γ3單調逐漸減小，最終保持0 rad不變；γ4單調逐漸增大到4.0π rad。當Δ→∞時，所有本征態的幾何相全部消失。Δ=0時,各本征態幾何相對應的值與系統參數的選取有關。4個本征態的Berry相之間還滿足以下關系：當Δ≈0.3時，γ1=γ2;當Δ≈2.2時，γ2=γ3。

圖1d給出了當θ=0.60π時，系統哈密頓量的4個本征態的Berry相γn隨著各向異性參數Δ的變化曲線。圖1d與圖1b和圖1c中相應的曲線對比可以看出：當θ>π/2時，曲線的變化趨勢發生了變化。但由圖1c和圖1d易知：同一個本征態對應的幾何相的曲線沿著γ=2.0π rad的直線相互對稱，即γn(θ)=4.0π-γn(π-θ)。再由幾何相的周期可知，γn(θ)=-γn(π-θ)。

2.2 本征態的Berry相隨各向異性參數 Δ的變化情況

圖2 Berry相γn隨各向異性參數 Δ的變化曲線

3 結論

(1)當保持極角θ不變時，隨著各向異性參數Δ由0增大到無窮大，模型本征態的幾何相發生了很大的改變。

(2)各向異性參數Δ變化的過程中，在Δ=1.0的海森堡模型的兩端，始終有兩個兩兩交點的存在，對應γ1=γ2和γ2=γ3，交點對應的Δ值隨著極角θ的增大而減小。

(3)當極角θ=π/2時，對應于外場為靜場的情況，此時無論各向異性參數Δ怎么變化，γn的值始終保持0 rad不變，即沒有幾何相產生。而Berry相的值隨著極角θ的變化曲線關于θ=π/2具有對稱關系γn(θ)=-γn(π-θ)。

(4)當各向異性參數Δ→0時，即對應含外場的XX模型時，4個本征態的Berry相γn都具有確定的非零值，這個值與外場極角的值有關。只有當θ→0時，γn→0。而當各向異性參數Δ→∞，即對于Ising模型，無論極角怎么變化，4個本征態都沒有Berry相產生。當各向異性參數Δ由0增大到無窮大，極角越小，Berry相趨于穩定越快。

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國家自然科學基金項目(11504283);中國博士后基金面上項目(2014M562385);西安交通大學基本科研業務費自由探索與自主創新類項目(xjj2014006)

蘇耀恒(1981-),男,河南鄭州人,講師,博士,主要研究方向為介觀物理和量子計算.

2016-07-25

1672-6871(2017)02-0079-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.015

O469

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