一類非線性SEIRS傳染病傳播數學模型

王 婷，王 輝，胡志興

(北京科技大學 數理學院，北京 100083)

一類非線性SEIRS傳染病傳播數學模型

王 婷，王 輝，胡志興

(北京科技大學 數理學院，北京 100083)

研究了一類具有非線性發生率的易感者-暴露類-患病者-恢復者-易感者(SEIRS)傳染病模型。利用Routh-Hurwitz判別法，分析了無病平衡點與地方病平衡點的局部漸近穩定性；采用Lyapunov-LaSalle不變原理，分析了無病平衡點的全局漸近穩定性；運用持久性理論證明了模型的持久性，并給出了地方病平衡點全局漸近穩定的猜想。最后通過數值模擬驗證了結論與猜想。

無病平衡點；地方病平衡點；Lyapunov-LaSalle不變原理；Routh-Hurwitz判別法；基本再生數；非線性飽和發生率；持久性理論

0 引言

1 傳染病模型的建立

建立以下易感者-暴露類-患病者-恢復者-易感者(susceptible-exposure-infected-recovery-susceptible，SEIRS)傳染病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)和R(t)分別為t時刻易感者、暴露類、患病者和恢復者人群的數量；M為初始人口規模；b為人均出生率；μ為自然死亡率；β為有效接觸率；γ為免疫喪失率；σ為潛伏期個體變成患病者的概率；α為因病死亡率；τ為患病者恢復率；α1和α2為環境和心理等因素對于疾病的抑制作用因數；b、μ、σ和M為正數，其余參數非負。此外，本模型只考慮患病者具有傳染性的情況。

規定在t時刻人口規模為N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)。t時刻總人口規模變化率為：

N′(t)=bM-μS(t)-μR(t)-μE(t)-(μ+α)I(t)=bM-μN(t)-αI(t)，

2 模型分析

3 無病平衡點P1和地方病平衡點的局部穩定性

命題1 R0≠1時，無病平衡點P1是局部漸近穩定的。

證明 模型(1)在無病平衡點P1處的特征方程為：

(λ+μ)(λ+μ+γ)(λ+μ+σ)(λ+μ+α+τ)(1-R0)=0。

因為R0≠1，所以可求得此時矩陣的特征值分別為λ1=-μ，λ2=-(σ+μ)，λ3=-(μ+α+τ)，λ4=-(μ+γ)。由于模型(1)中參數均為非負，所以所有特征值均具有負實部，故無病平衡點P1是局部漸近穩定的，命題1得證。

d0λ4+d1λ3+d2λ2+d3λ1+d4=0，

行列式

Δ1=d1=4μ+A1+γ+α+τ+σ>0；

Δ3=(d1d2-d3)d3-d12d4=n1(x1x2-x1A1+x2A1-A12)(σA2)2+n2σA2+n3，

其中：n1=2μ(2μ+A1+γ)+(α+τ+σ)(2μ+γ)+γA1;n2=A1(x1+x2)(x3+2x1x2)-(x1-x2)×A1[x4+(x1-x2)(μ+γ)]-x4(x12+x22)-x1x2(x1x2+2x3)；n3=x1x22x3(1+x1+x2)+x1x2x4×(x12+x1x2+x4-x3)+(x1+x2)2A1γστ。

命題2 若R0>1，則有：

4 無病平衡點P1的全局穩定性與模型的持久性

定理1 若R0<1,則無病平衡點P1是全局漸近穩定的。

證明 定義Lyapunov函數V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)，其中:

容易證明V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)是正定的。以下證明

由Lyapunov-LaSalle不變原理知:無病平衡點P1是全局漸近穩定的。定理1得證。

利用文獻[9]中的定理4.6以及文獻[10-11]可以證明模型(1)的持久性。

定理2 若R0>1，模型(1)滿足初值S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0的任意解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))是持久的，即存在正常數mi并使得

設(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈M?，則有I(t)≡0。記ω(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))為從(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X出發的解的ω-極限集。

令Ω′=∪{ω(S(0)，(0)，(0)，(0))|S(0)，(0)，(0)，(0)∈M?}，則在M?上有I(t)=0。則模型(1)的極限系統為：

(2)

(3)

其中:(S,E,I,R)的初值(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X0。由文獻[12-13]知，如果

Ws(P1)∩X0=φ

(4)

成立，其中Ws(P1)為P1的穩定流形，則式(3)成立。假設式(4)不成立，則存在一個初始值為(S(0),E(0),I(0),R(0))∈X0的解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))∈X0，t≥0，使得t→∞時，有

(5)

(6)

因此，當t≥T時，式(6)與式(5)矛盾，故式(4)成立。所以模型(1)為持久的，即定理2得證。

5 數值模擬

采用數值模擬來驗證無病平衡點P1的全局漸近穩定性。對模型(1)中的參數選擇如下：

M=60,b=0.65,μ=0.01,β=2.5,σ=0.005，α1=8，α2=3，τ=0.2，γ=0.05 α=0.03。此時R0=0.434 0<1。任意選擇初始值E0=(2 500,1 900,1 600,1 400)，無病平衡點P1=(3 900,0,0,0)。因此，由定理1知，無病平衡點P1是全局漸近穩定的。無病平衡點P1的全局漸近穩定性的數值模擬圖如圖1所示。

6 結束語

[1]ZHOUXY,CUIJA.AnalysisofstabilityandbifurcationforanSEIRepidemicmodelwithsaturatedrecoveryrate[J].Communicationsinnonlinearscienceandnumericalsimulation,2011,16(11):4438-4450.

[2]WANGJL,LIUSQ,ZHENGBW,etal.QualitativeandbifurcationanalysisusinganSIRmodelwithasaturatedtreatmentfunction[J].Mathematicalandcomputermodelling,2012,55(3/4):710-722.

[3]WENLS,YANGXF.GlobalstabilityofadelayedSIRSmodelwithtemporaryimmunity[J].Chaos,solitionsandfractals,2008,38(1):221-226.

[4]ZHAOYA,JIANGDQ,MAOXR,etal.ThethresholdofastochasticSIRSepidemicmodelinapopulationwithvaringsize[J].Discreteandcontinuousdynamicalsystemsseriesb,2015,20(4):1289-1307.

[5]SUNCJ,HSIEHYH.GlobalanalysisofanSEIRmodelwithvaryingpopulationsizeandvaccination[J].Appliedmathematicalmodelling,2010,34(10):2685-2697.

[6]LIXZ,ZHOULL.GlobalstabilityofanSEIRepidemicmodelwithverticaltransmissionandsaturatingcontactrate[J].Chaos,solitionsandfractals,2009,40(40):874-884.

[7]ABTAA,KADDARA,HAMADTA.GlobalstabilityfordelaySIRandSEIRepidemicmodelswithsaturatedincidencerates[J].Electronicjournalofdifferentialequations,2012,386(2):956-965.

[8]LIUZJ.DynamicsofpositivesolutionstoSIRandSEIRepidemicmodelswithsaturatedincidencerates[J].Nonlinearanalysisrealworldapplications,2013,14(3):1286-1299.

[9] THIEME H R.Persistence under relaxed point-dissipativity (with applicationto an endemic model)[J].SIAM journal on mathematic analysis,1993,24(2):407-435.

[10]劉俊利，賈瀅.一種具有媒體報道的SEIRS傳染病模型的動力學分析[J].紡織高校基礎科學學報，2016，29(1)：18-25.

[11] 劉俊利，劉璐菊.具有媒體報道的傳染病模型穩定性[J].河南科技大學學報(自然科學版)，2016，37(2)：88-91.

[12] SUN C J,YANG W,ARINO J,et al.Effect of media-induced social distancing on disease transmission in a two patch setting[J].Mathematical biosciences,2011,230(2):87-95.

[13] LEEBGEER P D,SMITH H L.Virus dynamics:a global analysis[J].SIAM journal on applied mathematics,2003,63(4):1313-1327.

國家自然科學基金項目(61174209，11471034)

王婷(1991-)，女，山東棗莊人，碩士生；王輝(1965-)，女，山西榆次人，副教授，碩士，碩士生導師，主要研究方向為泛函微分方程與動力系統.

2016-09-01

1672-6871(2017)02-0084-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.016

O175

A