一類食餌捕食者模型的分支分析

劉 永,趙維銳

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢 430070)

一類食餌捕食者模型的分支分析

劉 永,趙維銳

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢 430070)

針對食餌捕食者問題，研究了具有廣義Holling IV型功能反應食餌捕食者模型。在適當的條件下，該模型可能具有一個退化的正平衡點和一個非退化的正平衡點。以描述捕食者變化的兩個變量作為分支參數，進行分支分析。當參數發生變化時，在退化平衡點的附近該食餌捕食者系統產生了一個Bogdanov-Takens分支。利用標準型理論和隱函數定理，得到了Bogdanov-Takens分支中鞍結點分支曲線、Hopf 分支曲線和同宿軌道分支曲線的近似表達式。

Bogdanov-Takens分支；退化平衡點；Holling IV型功能反應；食餌捕食者模型

0 引言

食餌捕食者之間的動態關系一直是生物學和生物數學領域的一個重要課題，吸引了國內外很多學者的關注。文獻[1-4]詳細研究了如下形式的食餌捕食者系統：

(1)其中：x(t)和y(t)分別為食餌和捕食者在時刻t的種群密度；p(x)為功能反應函數；r為食餌的固有增長率；K為環境容量；s為捕食者的增長率；h為反應捕食者種內競爭的正常數。考慮到環境中隨機因素的影響，文獻[5]提出了具有時滯和隨機項的食餌捕食者模型，并得到了系統全局穩定的條件。利用Euler-Maruyama方法可以得到隨機種群模型的數值解，并且數值解均方收斂于解析解[6]。

本文研究了具有廣義Holling IV型功能反應[7]的食餌捕食者模型，即：

(2)

其中：r,K,a,s,h為正常數；b為任意常數。在詳細討論之前，進行尺度放縮：

(3)

1 Bogdanov-Takens分支的存在性

(4)

其中：x∈(0,1)。注意到方程(4)是1個一元三次方程，在區間(0,1)可能有1個、2個或者3個正解與之對應，系統(3)可能有1個、2個或者3個正平衡點。系統(3)在E(x,y)處的雅可比矩陣為：

顯然，若det(J(E))≠0，E(x,y)是一個非退化平衡點；若det(J(E))<0，則E(x,y)是一個鞍點;若det(J(E))=0，則E(x,y)是一個退化平衡點。對于平衡點的數目和類型，類似于文獻[8]，有以下的引理1。

引理1 設

則以下結論成立：

(Ⅰ)若Δ>0，則系統(3)有1個唯一的正平衡點E*=(x*,y*)。

(Ⅱ)若Δ=0并且

證明 因為(x0,y0)是平衡點，故x0是以下方程的解：

f(x)=g(x,y(x))=0，

其中：y(x)是由h(x,y)=0在x=x0處確定的隱函數，對h(x,y)=0關于x求導，可得：

f(μ)=0,f′(μ)=0。

由此可得：

(5)

并且，系統(5)具有兩個正平衡點：

2 Bogdanov-Takens分支

選取δ,β作為分支參數，當δ,β發生變化時，研究系統(3)的分支情況，即考慮如下的系統：

(6)

(7)

首先，作一個仿射變換：

y1=x1，y2=α10x1+α01x2，

則系統(7)可以寫成如下形式：

(8)

結合系統(8)，可得：

(9)

現在，在原點(0,0)的小鄰域內作一個光滑的坐標變換：

X1=z1,X2=z2+C1(z1,z2)，

則系統(9)轉化成如下形式 ：

(10)

(11)

則系統(11)可以寫成如下形式：

(12)

(13)

其中：

R(x,y,λ)是關于x,y的冪級數，并且任意一項xiyj滿足i+j≥3,j≥2。可以驗證:

因此，以上的參數變換是非奇異的，并將對應的eij代入，則系統(13)變成如下形式:

(14)

(15)

選擇μ1和μ2作為分支參數，可得:當(λ1,λ2)在原點附近變化時，系統(14)產生了一個Bogdanov-Takens分支。結合隱函數定理，在原點分支曲線的局部表示如下(為了方便起見，記f1=2β(μ-1)2-μ3-μ2,f2=β(μ-1)2-μ3)。

(Ⅰ)鞍結點分支曲線：

曲線SN包含SN+和SN-兩部分，其中，SN+={(λ1,λ2):μ1(λ1,λ2)=0,μ2(λ1,λ2)>0}，SN-={(λ1,λ2):μ1(λ1,λ2)=0,μ2(λ1,λ2)<0}。

(Ⅱ)Hopf分支曲線：

(Ⅲ)同宿軌道分支曲線：

綜上所述，有以下的定理：

3 結束語

[1] HUANG J,RUAN S,SONG J.Bifurcations in a predator-prey system of Leslie type with generalized Holling type III functional response[J].Journal of differential equations,2014,257(6):1721-1752.

[2] CAI L,CHEN G,XIAO D.Multiparametric bifurcations of an epidemiological model with strong Allee effect[J].Journal of mathematical biology,2013,67(2):185-215.

[3] LI Y,XIAO D.Bifurcations of a predator-prey system of Holling and Leslie types[J].Chaos,solitons & fractals,2007,34(2):606-620.

[4] BRAZA P A.The bifurcation structure of the Holling-Tanner model for predator-prey interactions using two-timing[J].SIAM journal on applied mathematics,2003,63(3):889-904.

[5] 聶文靜,王輝,胡志興,等.一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型[J].河南科技大學學報(自然科學版),2015,36(6):75-81.

[6] 郭書東,張啟敏.跳擴散種群系統的數值解[J].河南科技大學學報(自然科學版),2009,30(5):89-92.

[7] ANDREWS J F.A mathematical model for the continuous culture of microorganisms utilizing inhibitory substrates[J].Biotechnology and bioengineering,1968,10(6):707-723.

[8] XIAO D,RUAN S.Global analysis in a predator-prey system with nonmonotonic functional response[J].SIAM journal on applied mathematics,2001,61(4):1445-1472.

[9] CHOW S N,HALE J K.Methods of bifurcation theory[M].Heidelberg:Springer Science & Business Media,2012.

[10] PERKO L.Differential equations and dynamical systems[M].Heidelberg:Springer Science & Business Media,2013.

國家自然科學基金項目(11601402);湖北省自然科學基金項目(2013CFB347)

劉永(1990-),男,安徽蒙城人,碩士生;趙維銳(1967-),男,湖北恩施人,教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為動力系統.

2016-05-30

1672-6871(2017)02-0089-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.017

O193

A