用于三體系統(tǒng)玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)的事件混合方法

何慶華

(中國(guó)工程物理研究院流體物理研究所,綿陽(yáng) 621900)

用于三體系統(tǒng)玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)的事件混合方法

何慶華?

(中國(guó)工程物理研究院流體物理研究所,綿陽(yáng) 621900)

(2016年7月23日收到;2016年11月3日收到修改稿)

玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)(BEC)可以用于測(cè)量粒子出射區(qū)的時(shí)間空間性質(zhì),事件混合方法是用于觀測(cè)BEC效應(yīng)的常用手段,對(duì)于相對(duì)論能區(qū)重離子碰撞等可以產(chǎn)生大量全同末態(tài)粒子的反應(yīng),這種方法具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì).但是對(duì)于末態(tài)粒子數(shù)非常有限的反應(yīng),守恒關(guān)系、共振態(tài)和一些其他原因引起的關(guān)聯(lián),對(duì)事件混合方法產(chǎn)生不可忽視的干擾,事件混合在消除玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)的同時(shí)也消除了其他所有的關(guān)聯(lián),嚴(yán)重制約了BEC研究.本文探索一種適合末態(tài)只有兩個(gè)全同玻色子的三體反應(yīng)系統(tǒng)的事件混合方法,提出了五種可行的事件混合限制條件,采用數(shù)值模擬研究了不同限制條件對(duì)事件混合的效果,甄別出最優(yōu)的限制條件.測(cè)試結(jié)果顯示,當(dāng)要求混合事件的丟失質(zhì)量與原始反應(yīng)一致,并將原始事件樣本中玻色子能量高于某一給定值的事件剔除掉,這種限制條件下得到的事件混合結(jié)果最優(yōu),可以用于觀測(cè)BEC效應(yīng).另外,要求兩個(gè)交換玻色子的方位角一致時(shí)得到的結(jié)果也較優(yōu),相比前者,此限制條件不需要?jiǎng)h除一部分事件,可以得到更好的統(tǒng)計(jì)誤差.

玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián),事件混合,強(qiáng)度干涉

1 引 言

強(qiáng)度干涉提供了一種獲取全同粒子發(fā)射源時(shí)空尺寸的有效方法[1-3],被廣泛用于高能粒子反應(yīng)產(chǎn)生的夸克膠子等離子體的尺寸測(cè)量[4].對(duì)于核反應(yīng)產(chǎn)生的短壽命核子共振態(tài),如果在衰變過(guò)程中能放出兩個(gè)或兩個(gè)以上相同玻色子或費(fèi)米子,這種方法也能獲得其壽命及空間尺寸信息[5].強(qiáng)度干涉基本原理是全同粒子波函數(shù)之間干涉引起的一種關(guān)聯(lián),當(dāng)有兩個(gè)玻色子從某個(gè)源出射(圖1),它們的波函數(shù)要寫成對(duì)稱的形式,這種對(duì)稱性導(dǎo)致了當(dāng)兩個(gè)玻色子的動(dòng)量很接近時(shí)它們的出射概率會(huì)提高,而提高的幅度依賴于源的大小.因此,這種現(xiàn)象提供了一種間接測(cè)量玻色子出射源大小的方法.

玻色子之間的強(qiáng)度關(guān)聯(lián)一般被稱為玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)(Bose-Einstein correlations,BEC)[4],Hanbury-Brown和Twiss[6]于20世紀(jì)50年代第一次將其用于測(cè)量遙遠(yuǎn)天體的大小,因此BEC也被稱為HBT效應(yīng).1959年,Goldhaber等[7,8]第一次在粒子物理領(lǐng)域觀測(cè)到BEC效應(yīng),他們?cè)谫|(zhì)子-反質(zhì)子湮滅實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),相比不同電荷π介子,相同電荷π介子在出射方向靠近時(shí)的發(fā)生概率要高一些.到目前已經(jīng)開展了一系列強(qiáng)子、正負(fù)電子及重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)的BEC研究[9-14],觀測(cè)到高能區(qū)電子、強(qiáng)子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)反應(yīng)區(qū)的半徑都小于1 fm,沒(méi)有觀測(cè)到其與質(zhì)心能量明顯的依賴關(guān)系.在重離子對(duì)撞實(shí)驗(yàn)中,發(fā)現(xiàn)粒子出射源空間尺寸與對(duì)撞原子核序數(shù)A的依賴關(guān)系可以用一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)描述[4]：r=1.2×A1/3fm,即與A1/3成正比.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)示意圖 右邊探測(cè)器1與2各自分別探測(cè)到一個(gè)玻色子,動(dòng)量分別為p1與p2,這兩個(gè)玻色子從左邊的反應(yīng)區(qū)出射,圖中的虛線和實(shí)線代表兩種不可區(qū)分的出射路徑Fig.1.(color online)Schematic illustration of Bose-Einstein correlations of two bosons.Two detectors capture two bosons emitted from a source with momentap1andp2respectively.Two possible trajectories of them,represented by a solid and a dashed line respectively,cannot be distinguished.

實(shí)驗(yàn)上通過(guò)測(cè)量全同玻色子動(dòng)量的關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)BEC進(jìn)行定量分析.關(guān)聯(lián)函數(shù)是兩個(gè)玻色子相對(duì)動(dòng)量譜ρBEC(p1,p2)與一個(gè)參考樣本的相對(duì)動(dòng)量譜ρnoBEC(p1,p2)的比值.實(shí)驗(yàn)上無(wú)法直接測(cè)量參考樣本,只能通過(guò)間接方法獲得.有效的參考樣本除了沒(méi)有BEC外在其他所有方面與真實(shí)的物理樣本一致.目前較為成熟的參考樣本生成途徑可分為兩大類：1)數(shù)值模擬方法;2)在原來(lái)的樣本基礎(chǔ)上產(chǎn)生參考樣本.數(shù)值模擬方法主要用在高能QCD微擾能區(qū),常用的模擬強(qiáng)子反應(yīng)的兩個(gè)蒙特卡羅程序?yàn)镠ERWIG和JETSET[4],但是這些模型目前還不能夠很好地描述BEC效應(yīng),在數(shù)據(jù)分析中常作為參考.另外一類方法根據(jù)不同反應(yīng)會(huì)有不同方案.絕大多數(shù)實(shí)驗(yàn)都是π±π±的BEC分析,對(duì)于此類實(shí)驗(yàn),一個(gè)簡(jiǎn)單的方法就是選擇電荷不同的π介子對(duì)π±π?作為參考樣本.但是對(duì)于電荷為零的玻色子對(duì),如π0π0,此方法不再適用,需要采用事件混合方法[15],即從一系列不同時(shí)間產(chǎn)生的相同類型的反應(yīng)中取出兩個(gè)粒子組成參考樣本.事件混合方法也可用于如π±π±此類反應(yīng)的BEC分析,它是目前被廣泛采用的一種方法.

對(duì)于高能區(qū)末態(tài)粒子數(shù)(high-multiplicity)高的非惟一性(inclusive)反應(yīng),事件混合方法已被多次成功用來(lái)測(cè)量BEC效應(yīng)及估計(jì)共振態(tài)的本底分布.Drijard和Fischer[16]研究了事件混合方法用于提取高能區(qū)inclusive反應(yīng)共振態(tài)信息的應(yīng)用,詳細(xì)分析了事件混合方法的特點(diǎn),指出只要在事件混合中根據(jù)具體問(wèn)題找到合適的限制條件,這種方法可以有效產(chǎn)生兩個(gè)全同粒子的非關(guān)聯(lián)不變質(zhì)量譜,實(shí)驗(yàn)信號(hào)減去這個(gè)本底譜就可獲得共振態(tài)信息.

但是在低能區(qū),對(duì)于末態(tài)粒子數(shù)非常有限,如雙中性π介子光生反應(yīng)γp→π0π0p,事件混合方法的應(yīng)用面臨許多挑戰(zhàn).其他原因引起的關(guān)聯(lián)(如共振態(tài)、守恒關(guān)系和一些未被完全理解的過(guò)程)對(duì)事件混合方法產(chǎn)生不可忽視的干擾,事件混合在消除BEC的同時(shí)也消除了其他所有的關(guān)聯(lián),使得提取BEC信息產(chǎn)生困難,嚴(yán)重制約了BEC研究[17].目前對(duì)于低末態(tài)粒子數(shù)的事件混合方法尚缺少較為系統(tǒng)的研究,現(xiàn)有的文獻(xiàn)大多關(guān)注的是數(shù)值模擬修正或嘗試用一種解析的方法來(lái)描述這些干擾并從結(jié)果中消除其影響[18].Klaja等[19]在研究pp→ppη和pp→pp+pions反應(yīng)中兩個(gè)質(zhì)子的關(guān)聯(lián)時(shí)碰到了類似的問(wèn)題,對(duì)于三體反應(yīng)導(dǎo)致的兩個(gè)質(zhì)子間的非強(qiáng)度關(guān)聯(lián)對(duì)強(qiáng)度關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響,他們通過(guò)模擬評(píng)估了三體反應(yīng)引起的其他關(guān)聯(lián)因素的作用,通過(guò)修正關(guān)聯(lián)函數(shù)得到結(jié)果.雖然這些工作促進(jìn)了對(duì)這些問(wèn)題的理解,但是目前還是缺少一種成熟的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.如果能夠找到合適的限制條件,使得事件混合最大限度地避免受到小系統(tǒng)守恒關(guān)聯(lián)的干擾,找到一種既可以消除BEC關(guān)聯(lián)也能保持其他關(guān)聯(lián)的事件混合方法,將從根本上解決這一問(wèn)題,得到一種干凈的處理方法.對(duì)于研究低能區(qū)有限粒子數(shù)的BEC效應(yīng)將是關(guān)鍵的突破.

本文針對(duì)末態(tài)粒子數(shù)為三個(gè)、只產(chǎn)生兩個(gè)全同玻色子的三體系統(tǒng)的BEC分析,提出了以下5種事件混合限制條件：1)丟失質(zhì)量一致性;2)極角一致性;3)方位角一致性;4)動(dòng)量一致性;5)能量上限限制.然后采用數(shù)值模擬方法,以γp→π0π0p反應(yīng)為例子,分析了以上每種方法的作用,最后篩選出最適合的限制條件.

2 事件混合限制條件

兩個(gè)粒子的BEC函數(shù)定義為

其中,ρBEC(p1,p2)為實(shí)際發(fā)生的具有BEC效應(yīng)的兩個(gè)粒子的概率分布,ρnoBEC(p1,p2)為人為產(chǎn)生的沒(méi)有BEC效應(yīng)的概率分布(即參考樣本).如果假設(shè)粒子出射區(qū)的密度分布為高斯分布n(x)=n(0)e-x2/2r20,則關(guān)聯(lián)函數(shù)可表示為

其中N為歸一化系數(shù),Q為兩個(gè)玻色子相對(duì)四維動(dòng)量的不變質(zhì)量：Q2=-(p1-p2)2,λ2表示玻色子出射的混沌度,其在0-1范圍內(nèi)變化,0對(duì)應(yīng)完全相干出射,1對(duì)應(yīng)完全混沌出射,r0代表出射區(qū)的高斯半徑.

測(cè)量關(guān)聯(lián)函數(shù)的過(guò)程首先是獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中兩個(gè)玻色子的相對(duì)動(dòng)量Q的分布,然后采用事件混合方法得到參考樣本的Q分布,前者與后者的比值就是所測(cè)的關(guān)聯(lián)函數(shù),用(2)式擬合關(guān)聯(lián)函數(shù)得到參數(shù)r0和λ2的值.

如圖2所示,混合事件是通過(guò)從兩個(gè)不同的事件中取出兩個(gè)粒子組合而成,一個(gè)有效的參考樣本應(yīng)具有：a)無(wú)BEC關(guān)聯(lián);b)保持原有反應(yīng)引起的其他動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián).由于事件混合是把不同時(shí)刻發(fā)生的事件中的信息組合得到新的事件,粒子間原有所有關(guān)聯(lián)被打破,因此混合樣本滿足條件a),但是不滿足條件b).

圖2 (網(wǎng)刊彩色)事件混合方法示意圖,混合事件(c)由事件1(a)和事件2(b)分別取出一個(gè)粒子組成Fig.2.(color online)Mixed event(c)is produced by taking two bosons from event 1(a)and event 2(b).

對(duì)于γp→π0π0p反應(yīng)的事件混合,一個(gè)前提要求是兩個(gè)事件的系統(tǒng)總能量相同時(shí)才能混合,這樣混合事件的系統(tǒng)能量與原來(lái)事件就是一致的.事件混合面臨的另外一個(gè)難點(diǎn)是,絕大多數(shù)情況下混合事件的丟失質(zhì)量與原來(lái)反應(yīng)的丟失質(zhì)量相差甚遠(yuǎn).為了使得混合事件與真實(shí)事件一致并有效,只有混合事件的丟失質(zhì)量與原始反應(yīng)一致才保留此混合事件,否則淘汰,這就是丟失質(zhì)量(missing mass,MM)限制條件[5],數(shù)學(xué)表達(dá)為

其中Mcut為限制閾值,根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件的分辨率決定,這里設(shè)為10 MeV.這個(gè)限制條件的一個(gè)前提是兩個(gè)被混合的真實(shí)事件的丟失質(zhì)量必須是一樣的.丟失質(zhì)量利用四維動(dòng)量守恒計(jì)算：其中為系統(tǒng)總的四維動(dòng)量.

為了研究丟失質(zhì)量限制條件對(duì)γp→π0π0p反應(yīng)中兩個(gè)π0事件混合的作用,需要產(chǎn)生一個(gè)事件樣本,其中除了γp→π0π0p有關(guān)的守恒定律外沒(méi)有其他的物理限制.本文采用歐洲核子中心(CERN)研發(fā)的軟件平臺(tái)ROOT里的一個(gè)工具TGenPhaseSpace[20]來(lái)生成純相空間分布的γp→π0π0p事件樣本,此算法基于已被收入CERN系統(tǒng)庫(kù)函數(shù)的GENBOD函數(shù),它的算法由Raubold和Lynch提出[21].

生成純相空間γp→π0π0p樣本的過(guò)程如下：首先需要輸入的是系統(tǒng)的總能量Etot,它是入射光子能量Eγ和靜止靶質(zhì)子的質(zhì)量mp之和Etot=Eγ+mp,還有末態(tài)粒子總數(shù)N=3和這些粒子對(duì)應(yīng)的質(zhì)量mi,每次產(chǎn)生的事件都會(huì)返回一個(gè)反映其產(chǎn)生概率的權(quán)重因子,這個(gè)因子的值基于相空間積分RN：

其中P與pj分別為系統(tǒng)總的四維動(dòng)量和單個(gè)粒子的四維動(dòng)量.按照權(quán)重因子存活下來(lái)的事件即為預(yù)期的純相空間樣本.圖3給出了模擬生成的γp→π0π0p事件的達(dá)利茲(Dalitz)圖,即事件概率在π0π0的不變質(zhì)量平方m2(π0π0)和π0p的不變質(zhì)量平方m2(π0p)的二維平面上的分布圖,圖中所示均勻的分布說(shuō)明模擬生成的事件樣本符合純相空間樣本的分布.模擬中,入射光子的能量設(shè)為Eγ=1.0 GeV.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)模擬產(chǎn)生的純相空間γp→π0π0p事件樣本的達(dá)利茲圖,入射光子的能量Eγ為1.0 GeVFig.3. (color online)Dalitz plot ofm2(π0p)versusm2(π0π0)for the generated pure phase space γp→π0π0p sample.The incident photon energy is 1.0 GeV.

基于生成的純相空間γp→π0π0p事件,驗(yàn)證了丟失質(zhì)量限制條件的作用,圖4對(duì)比了有無(wú)丟失質(zhì)量限制條件時(shí)事件混合的結(jié)果.圖4(a)給出兩種情況下混合事件的丟失質(zhì)量譜,可以看出無(wú)丟失質(zhì)量限制條件時(shí)得到的丟失質(zhì)量在質(zhì)子質(zhì)量?jī)蓚?cè)彌散開,而具有此限制條件時(shí)則被限制在質(zhì)子質(zhì)量的位置.圖4(b)給出的是混合事件中π0π0的相對(duì)動(dòng)量Q的分布圖,圖中顯示無(wú)此限制條件時(shí)一些混合事件的Q值超出了純相空間Q譜的右邊界,是一些沒(méi)有物理意義的事件,而丟失質(zhì)量限制條件很好地將所有混合事件都限制在具有物理意義的范圍內(nèi).圖4(c)給出的是原來(lái)樣本的Q分布與混合樣本的Q分布的比值,即關(guān)聯(lián)函數(shù),結(jié)果顯示有丟失質(zhì)量限制條件時(shí)的關(guān)聯(lián)函數(shù)相比無(wú)此限制時(shí)隨Q的變化更平緩,更接近一個(gè)有效事件混合的要求.以上結(jié)果顯示丟失質(zhì)量限制條件可以有效杜絕沒(méi)有物理意義的混合事件的產(chǎn)生,并能得到更適合BEC分析的事件混合結(jié)果.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)有無(wú)丟失質(zhì)量(MM)限制條件得到的混合事件對(duì)比 (a)丟失質(zhì)量分布,為了方便對(duì)比,這幾個(gè)分布沒(méi)有歸一到其積分值;(b)兩個(gè)π0介子的相對(duì)動(dòng)量Q分布;(c)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.4.(color online)Comparison between the event mixing results with the missing-mass(MM)cut and those without this cut：(a)Missing mass distributions;(b)distributions of the relative momentum of two pions;(c)correlation functions.

對(duì)于純相空間分布的γp→π0π0p事件,一個(gè)有效的事件混合方法應(yīng)該產(chǎn)生一個(gè)平的關(guān)聯(lián)函數(shù),雖然丟失質(zhì)量限制條件極大地優(yōu)化了事件混合結(jié)果,但其依然不能產(chǎn)生一條平的關(guān)聯(lián)函數(shù).雖然在擬合時(shí)可以加入額外的參數(shù)來(lái)消除這種不平的影響,但是如果能找到合適的限制條件得到一條平的關(guān)聯(lián)函數(shù),不僅不需要額外增加擬合參數(shù),也能使結(jié)果更加清晰,因此本文提出了下面五種限制條件：

條件1)僅丟失質(zhì)量(MM)限制條件;

條件2) 丟失質(zhì)量限制條件及|cosθ1-cosθ2|＜0.1,其中θ1和θ2代表事件混合中要交換的兩個(gè)玻色子的出射極角,這里定義入射光子的方向?yàn)閆軸;

條件3) 丟失質(zhì)量限制條件及|φ1-φ2|＜π/20,其中φ1和φ2代表要交換的兩個(gè)玻色子的出射方位角;

條件4)丟失質(zhì)量限制條件及||p1|-|p2||＜0.02 GeV,其中p1與p2代表要交換的兩個(gè)玻色子的三維動(dòng)量;

條件5)丟失質(zhì)量限制條件及玻色子最高能量限制條件.

條件5)中的玻色子最高能量限制條件是在原始事件樣本中剔除一部分特殊的事件,剔除標(biāo)準(zhǔn)是這些事件中任何玻色子的能量超過(guò)一個(gè)給定的最高能量限值Emax.對(duì)于入射光子能量Eγ=1.0 GeV的γp→π0π0p反應(yīng),最優(yōu)的Emax為0.5 GeV[5].

3 數(shù)值測(cè)試與討論

本文采用數(shù)值模擬測(cè)試以上五種不同限制條件對(duì)事件混合的作用,為了甄別哪種限制條件能更有效地產(chǎn)生混合事件并準(zhǔn)確獲得BEC參數(shù)r0和λ2,除了采用純相空間事件樣本,也使用了具有BEC效應(yīng)的事件樣本.這些BEC樣本是在純相空間分布的γp→π0π0p事件樣本基礎(chǔ)上改造而成,通過(guò)剔除樣本中的一部分事件使其符合BEC統(tǒng)計(jì),剔除的概率按照(2)式給出,具體的過(guò)程如下：

1)計(jì)算事件中兩個(gè)π0的相對(duì)動(dòng)量Q,代入(2)式計(jì)算對(duì)應(yīng)的C2(Q)值;

2)產(chǎn)生一個(gè)0-1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)R;

3)比較R與如果R比較大,刪除這個(gè)事件.

為了比較,總共產(chǎn)生了一個(gè)純相空間分布的樣本(標(biāo)記為noBEC)和四個(gè)具有BEC效應(yīng)的樣本(標(biāo)記為BECi,i=1,2,3,4),入射光子能量Eγ以及BEC參數(shù)r0和λ2在表1中列出.

表1 生成BEC樣本的BEC參數(shù)及入射光子能量Table 1.Combinations of BEC parametersr0andλ2for Monte Carlo BEC samples.

圖5給出了BEC2樣本的達(dá)利茲圖,圖中所示的事件密度隨π0π0的不變質(zhì)量平方m2(π0,π0)的降低而升高,指出BEC事件生成過(guò)程成功改變了純相空間樣本的密度分布.

為了驗(yàn)證BEC效應(yīng)產(chǎn)生方法的有效性,圖6與圖7分別給出了BEC樣本的Q分布圖和其與noBEC樣本Q分布的比值,即關(guān)聯(lián)函數(shù),利用(2)式擬合得出的BEC參數(shù)與輸入?yún)?shù)在誤差范圍內(nèi)完全符合,說(shuō)明了上面的BEC產(chǎn)生過(guò)程是有效的.

基于生成的noBEC樣本和4個(gè)具有BEC效應(yīng)的BEC樣本,對(duì)其進(jìn)行事件混合,并分別嘗試了前面提出的5種事件混合限制條件的效果,得到的關(guān)聯(lián)函數(shù)在圖8中給出.結(jié)果顯示,這五種不同的限制條件的作用具有很大差異.對(duì)于限制條件1-4,它們得到的noBEC樣本的關(guān)聯(lián)函數(shù)都不是一條平坦的直線,條件1得到的C2(Q)隨Q上升,條件2的隨Q先減后增,條件3的隨Q先降后趨于平坦,條件4的先是平坦后隨Q上升,條件5的在Q小于0.6 GeV的區(qū)間是一條平坦的直線,只有在Q＞0.6時(shí)稍有掉落.對(duì)于具有BEC效應(yīng)的四個(gè)樣本,這五種限制條件都能在Q接近0時(shí)觀測(cè)到關(guān)聯(lián)函數(shù)有一個(gè)上升趨勢(shì).

由于限制條件1-4得到的關(guān)聯(lián)函數(shù)都不是平坦的,所以用改造過(guò)的(2)式來(lái)擬合：

其中1+αQ項(xiàng)為引入的線性因子,α由擬合得出.限制條件5得到的noBEC的關(guān)聯(lián)函數(shù)為一條平坦直線,其得到的關(guān)聯(lián)函數(shù)依然用(2)式來(lái)擬合,擬合得到的BEC參數(shù)r0和λ2在圖8中每一個(gè)子圖中都有顯示,同時(shí)也在表2中列出.

為了比較這幾種方法獲得BEC參數(shù)的可靠性,定義了如下品質(zhì)因子qmix：

圖6 模擬產(chǎn)生的BEC樣本的Q分布圖,為了比較,也給出了純相空間分布的noBEC樣本的Q分布(標(biāo)記為‘PS’)Fig.6.TheQspectra of the generated BEC samples.For comparison,the noBEC sample’sQdistribution(labeled as ‘PS’)is also presented.

圖7 模擬產(chǎn)生的BEC樣本得到的關(guān)聯(lián)函數(shù),即BEC樣本的Q分布圖與noBEC樣本Q分布的比值,用(2)式擬合得到的BEC參數(shù)r0和λ2值也顯示在圖中Fig.7.Correlation functions of the four Monte Carlo BEC samples.The fitted BEC parametersr0andλ2are presented as well,obtained by fitting Eq.(2)to the correlation functions.

表2 五種限制條件下事件混合方法得到的BEC樣本的BEC參數(shù)r0和λ2及品質(zhì)因子qmixTable 2.Fitted BEC parametersr0andλ2for the correlation functions obtained by event mixing with thefive constraints,and the factors of qualityqmix.

圖8 對(duì)于noBEC樣本和四個(gè)BEC樣本,五種限制條件下事件混合得到的關(guān)聯(lián)函數(shù),其由原始事件的Q分布和事件混合得到的Q分布的比值得到,用(2)式或(5)式擬合得到的BEC參數(shù)r0和λ2值也在圖中給出Fig.8.Correlation functions of the four Monte Carlo BEC samples and the noBEC sample,calculated as theQdistribution of the two pions from original sample normalized to that from the mixed events obtained with different constraints in the mixng.The fitted BEC parametersr0andλ2are presented as well,obtained by fitting Eq.(2)or(5)to the correlation function.

結(jié)果表明限制條件5)得到的品質(zhì)因子值最低,即得到的BEC參數(shù)與輸入的值最接近,其他品質(zhì)因子值由低到高依次為限制條件3),2)和4),最差為限制條件1).

如果考慮到實(shí)際應(yīng)用,限制條件5)是比較可行的觀測(cè)BEC的方法.首先因?yàn)槠鋵?duì)于無(wú)BEC效應(yīng)的樣本可以得到一個(gè)平坦的關(guān)聯(lián)函數(shù),因此不用額外的擬合參數(shù),比其他四個(gè)限制條件少一個(gè)參數(shù).其次它的數(shù)值測(cè)試得到的BEC分析品質(zhì)因子最好.但是限制條件5)需要舍棄掉一部分事件,使統(tǒng)計(jì)誤差變差.如果考慮到統(tǒng)計(jì)誤差,限制條件3)也是較優(yōu)的選擇.

4 結(jié) 論

本文研究了用于觀測(cè)末態(tài)只有兩個(gè)全同玻色子的三體反應(yīng)系統(tǒng)的玻色-愛(ài)因斯坦關(guān)聯(lián)的事件混合方法,為了探索一種合適的事件混合方法,提出了五種用于事件混合的限制條件.并采用數(shù)值模擬研究了不同限制條件下事件混合方法的效果,挑選出了最優(yōu)的限制條件.模擬結(jié)果指出,當(dāng)要求混合事件的丟失質(zhì)量與原始反應(yīng)的一致,并將原始事件樣本中玻色子能量高于某一給定值的事件剔除掉,這種限制條件下得到的事件混合結(jié)果最優(yōu),可以用于三體系統(tǒng)BEC效應(yīng)測(cè)量.

[1]Gyulassy M,Kauffmann S K,Wilson L W 1979Phys.Rev.C20 2267

[2]Boal D H,Gelbke C K,Jennings B K 1990Rev.Mod.Phys.62 553

[3]L’H?te D 1992Nucl.Phys.A545 381

[4]Alexander G 2003Rep.Prog.Phys.66 481

[5]He Q H 2014Ph.D.Dissertation(Sendai,Japan：Tohoku University)

[6]Hanbury-Brown R,Twiss R Q 1954Philos.Mag.45 663

[7]Goldhaber G,Fowler W B,Goldhaber S,et al.1959Phys.Rev.Lett.3 181

[8]Goldhaber G,Goldhaber S,Lee W,Pais A 1960Phys.Rev.120 300

[9]Khachatryan V,Sirunyan A M,Tumasyan A,et al.2010Phys.Rev.Lett.105 032001

[10]Baym G 1998Acta Phys.Pol.B29 1839

[11]Zhang W N,Tang G X,Zhang S,Chen X J,Huo L,Liu Y M 2001High Energy Phys.Nucl.Phys.25 237(in Chinese)[張衛(wèi)寧,唐圭新,張盛,陳相君,霍雷,劉亦銘2001高能物理與核物理25 237]

[12]Zhang Y,Yang J,Zhang W N 2015Chin.Phys.C39 034103

[13]Ren Y Y,Efaaf M J,Zhang W N 2010Chin.Phys.C34 472

[14]Huo L,Zhang W N,Chen X J,Zhang J B,Tang G X 2003High Energy Phys.Nucl.Phys.27 53(in Chinese)[霍雷,張衛(wèi)寧,陳相君,張景波,唐圭新2003高能物理與核物理27 53]

[15]Kopylov G I 1974Phys.Lett.B50 472

[16]Drijard D,Fischer H G 1984Nucl.Instrum.Meth.A225 367

[17]Chaj?cki Z for the STAR Collaboration 2007Eur.Phys.J.C49 81

[18]Chaj?cki Z,Lisa M 2008Phys.Rev.C.78 064903

[19]Klaja P,Moskal P,Czerwinski E,et al.2010J.Phys.G:Nucl.Part.Phys.37 055003

[20]http：//root.cern.ch/root/html/TGenPhaseSpace.html[2016-07-01]

[21]James F 1968CERN68 15

PACS:25.75.Gz,05.30.Jp,05.10.Ln,25.20.Lj DOI:10.7498/aps.66.022501

Event mixing constraints for Bose-Einstein correlations in reactions with three particles in the final state

He Qing-Hua?

(Institute of Fluid Physics,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900,China)

23 July 2016;revised manuscript

3 November 2016)

Bose-Einstein correlations(BEC)are widely used to gain an insight into the spatiotemporal characteristics of boson emitters.It was used for the first time in the 1950s by R.Hanbury-Brown and R.Q.Twiss[Hanbury-Brown R,Twiss R Q 1954Phil.Mag.45 663]in astronomy to measure the dimension of distant astronomical objects emitting photons,and hence is also known as Hanbury-Brown-Twiss effect(HBT).In nuclear and particle physics field,BEC also has important applications in the investigation of the space-time properties of subatomic reaction region,especially in elementaryparticle collisions and relativistic heavy-ion collisions with large multiplicity at high energies.Its potential application in exclusive reactions with low multiplicity in the non-perturbative QCD energy region may offer complementary information like duration and size of nucleon resonances,which are generally excited by hadronic or electromagnetic probes and usually decay into the ground states accompanied by emission of identical mesons.However,the event mixing technique,which is highly adopted for BEC observations in inclusive reactions at high energies with large multiplicity cannot be directly applied to the BEC measurement in exclusive reactions with very limited multiplicity at low energies.The event mixing method produces un-correlated samples from original sample through making mixed events by randomly selecting the momenta of two bosons from different original events.It works well for the high multiplicity case because the degree of freedom of final state particles is large compared with that of the low multiplicity case.In exclusive reactions with a very limited number of identical bosons in the final state,this method is however strongly interfered by non-BEC factors such as global conservation laws and decays of resonances.Appropriate constraints are required to control the event mixing process in order to eliminate the influence of those non-BEC factors.In this study,we are trying to develop an event mixing method for BEC measurement in reactions having only three final state particles and only two identical bosons among them.For this end,five constraint modes for the event mixing are proposed and investigated via Monte Carlo simulation.Each mode employs one or a combination of the following cut conditions:1)missing mass cut(MM)that requires the missing mass of the mixed event to be equal to that of the original event;2)polar angle consistency cut(PAC)that requires that the swapping particles should come from the same polar angle bin;3)azimuthal angle consistency cut(AAC);4)momentum consistency cut(MC);5)energy upper limit cut(EU)that requires that any boson energy should not exceed a given upper limit.The double neutral pion photoproduction on the proton around 1 GeV is taken for example to demonstrate the effects of these constraints on the event mixing.In the simulation,one event sample free of BEC effects and four samples in the presence of BEC effects are generated for testing the ability for these constraints to extract BEC parameters.It is found the constraint mode using the MM and PAC cuts,and the mode employing the MM and AAC cuts,and the mode adopting the MM and the EU cuts can be used to observe BEC effects and extract BEC parameters.Among them,optimum results can be achieved by the combination of the MM and EU cuts.

Bose-Einstein correlations,event mixing,intensity interference

:25.75.Gz,05.30.Jp,05.10.Ln,25.20.Lj

10.7498/aps.66.022501

?通信作者.E-mail：hetsinghua@163.com

?Corresponding author.E-mail：hetsinghua@163.com