石灰巖斷口細觀復雜程度的分形幾何學分析

劉傳孝，王 龍， 張曉雷， 李茂桐，周 桐

(1.山東農業大學 水利土木工程學院，山東 泰安 271018; 2.中國科學院 武漢巖土力學研究所，湖北 武漢 430071)

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石灰巖斷口細觀復雜程度的分形幾何學分析

劉傳孝1，王 龍2， 張曉雷1， 李茂桐1，周 桐1

(1.山東農業大學 水利土木工程學院，山東 泰安 271018; 2.中國科學院 武漢巖土力學研究所，湖北 武漢 430071)

對石灰巖進行實驗室內單軸、三軸壓縮試驗，得到應力-應變時間序列及巖石損傷破壞實驗斷口；對不同圍壓條件下壓縮破壞的實驗斷口進行掃描電鏡取像實驗，計算石灰巖斷口細觀尺度下的分數維，以定量追溯其損傷破壞特征。得到圍壓提高后(< 20 MPa)的壓縮破壞過程趨向復雜、巖石破壞斷口分數維增大的一般規律；當圍壓增加到巖石單軸抗壓強度約2/3時，高圍壓引發的徑向新損傷主導了后期壓縮過程，致使最終破壞原因趨于簡單，巖石破壞斷口分數維降至最低。在連續損傷力學的基本關系式中引入分數維約化指標，構建了描述石灰巖細觀破壞特征的分形損傷統計模型。同應力-應變關系的實驗結果比較，表明分形損傷理論模型符合實驗關系曲線，能理想地反映石灰巖三軸壓縮實驗結果的應變軟化特性，是對巖石細觀損傷破壞特征的有益探討。

巖土工程；石灰巖；損傷；分形幾何學；細觀尺度

0 引 言

巖石是由多種礦物晶粒、孔隙和膠結物組成的復合體，在長期地質構造過程中，其內部形成了大量不同階次的隨機分布的微觀孔隙和裂紋等缺陷，在單調加載或重復加載下巖石的微缺陷導致其黏聚力減弱，微裂紋、微孔隙發育貫穿，材料逐漸劣化并導致最終破壞。在宏觀尺度上，天然巖體又為多種地質構造面(節理、斷層和弱面等)所切割，表明巖石是一種很特殊的復雜材料，實質上是似連續、似破斷介質。隧道工程的穩定性取決于圍巖的性質、產狀及其應力環境等，隧道工程圍巖在現場處于單軸、三軸壓縮工作狀態，雖然與其賦存深度及構造應力場等有關，但仍然可以通過實驗室內實驗近似再現其破壞過程。而巖石是結構極其復雜的非連續和非均質體，無論從微觀到宏觀都呈現出強烈的非連續、非均質特性，表現出非線性、各向異性、隨機性和流變性等復雜力學行為[1]。因此，隧道圍巖損傷破壞機理的跨尺度空間應用問題的研究具有必要性。將巖石損傷破壞斷口表面視為具有統計自相似分形特征，則可以用分形幾何學理論定量地刻畫斷口的復雜程度，從而探討隧道工程圍巖在工作狀態下的細觀損傷破壞機理[2-3]。

分形幾何學理論自誕生以后，在數學、物理、化學、計算機、水利、土木、化工、生態、大氣及地震等領域得到迅速發展，作為研究非線性復雜巖石動力學系統演化特性的一種有效方法，越來越得到廣泛應用[4-13]。正分數維D可應用于定量描述動力學系統幾何結構和物理空間結構的破碎度，是定量評價系統復雜程度的重要指標，即D越高，系統的復雜程度越高、幾何體的構造越復雜或越支離破碎。楊圣奇等從巖石內部微缺陷分布的隨機性出發，結合Weibull分布定義損傷變量，建立了巖石單軸壓縮下的損傷統計模型[14-15]。曹文貴等將連續損傷理論與概率論結合，從巖石微元強度服從某種隨機分布角度出發，建立了在圍壓下巖石損傷軟化的統計模型[16-17]。謝和平等研究表明，材料的最終宏觀斷裂破壞與其內部微裂隙的發育和聚集有密切的聯系，斷裂表面是材料損傷破壞后留下的關于斷裂過程的記錄。在斷口上蘊藏著關于損傷破壞機理的信息，通過研究斷裂表面可以追溯其產生的原因。巖石破壞后的斷口具有自相似的分形特征，用分數維可以對巖石斷口的復雜程度進行定量描述[2,12]。劉樹新等基于Mohr-Coulomb準則和巖石微元強度服從Weibull隨機分布的特點，在損傷本構模型中引入分形參數，對巖石單軸壓縮試驗進行了研究[18-19]。

筆者運用分形幾何學方法，定量描述壓縮試驗破壞后的石灰巖斷口的復雜程度，以探討石灰巖的細觀損傷破壞特征。結合巖石損傷統計特性與分形幾何學理論，建立描述石灰巖細觀破壞特征的分形損傷統計模型，并對理論模型的合理性進行了實驗結果驗證。

1 石灰巖細觀損傷破壞的分形特征

1.1 巖石力學性質實驗

實驗用石灰巖的賦存深度為506 m，取樣、運輸并加工成近似標準試件。尺寸為φ47×88 mm的圓柱形試件應用于單軸壓縮試驗，尺寸為φ47×92 mm的試件應用于圍壓為20 MPa三軸壓縮試驗，尺寸為φ48×92 mm的試件應用于圍壓為40 MPa三軸壓縮試驗。設計實驗在SAW-2000型微機控制電液伺服巖石三軸試驗機上進行，該試驗機采用3套德國DOLI-EDO公司的EDC控制器，以及MOOG公司的D633比例伺服閥共同完成試驗過程。試驗機剛度高(2×1010N·m-1)、響應頻率快，能自動控制及測量試驗參數，并繪制出應力-應變曲線。巖石力學性質實驗得到的應力-應變時間序列，分別如圖4、圖5和圖6中的曲線B，得到的石灰巖損傷破壞斷口，留用于細觀尺度層次下的掃描電鏡取像實驗。石灰巖基本力學性質實驗參數，見表1。

表1 石灰巖基本力學參數

1.2 巖石損傷破壞斷口的掃描電鏡取像實驗

采用日本電子株式會社的JSM-6510LV高低真空掃描電鏡，獲取壓縮實驗破壞后的石灰巖斷口圖像。設計各類實驗斷口的放大倍數均分別為200、500、1 000、2 000及4 000倍，顯然屬于細觀尺度層次。得到石灰巖單軸壓縮實驗斷口的掃描電鏡圖像，如圖1；圍壓20 MPa時石灰巖三軸壓縮實驗斷口的掃描電鏡圖像，如圖2；圍壓40 MPa時石灰巖三軸壓縮實驗斷口的掃描電鏡圖像，如圖3。

1.3 巖石損傷破壞的細觀分形特征

首先用Photoshop對掃描電鏡圖像進行濾鏡處理，之后采用盒子計數法計算濾鏡圖像的分數維。作者采用C++語言對盒子計數法原理編程“RELEASE”，實現了濾鏡圖像輸入后分數維的直接輸出[15]。得到不同圍壓壓縮實驗石灰巖斷口在細觀尺度下的分數維，見表2。

圖1 石灰巖單軸壓縮實驗斷口掃描電鏡圖像Fig. 1 Limestone fractures images from scanning electron microscope in uni-axial compressing test

圖2 石灰巖三軸(圍壓20 MPa)壓縮實驗斷口掃描電鏡圖像Fig. 2 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (surrounding pressure 20 MPa)

圖3 石灰巖三軸(圍壓40 MPa)壓縮實驗斷口掃描電鏡圖像Fig. 3 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (confining pressure 40 MPa)

放大倍數圍壓/MPa02040分數維×200×500×1000×2000×40001.94201.99601.99672.00582.01502.01552.05372.02272.02242.01551.97001.99041.97511.99001.9990

常規室內巖石三軸試驗采用單一圍壓軸對稱應力系統，先對巖石試件施加一恒定的側壓力σ2=σ3，然后再增加軸向荷載σ1，直到試件破壞。由表2可以看出，圍壓由0MPa增加到20MPa時，分數維增大，符合圍壓提高后的壓縮破壞過程趨向復雜、巖石破壞斷口分數維增大的一般規律。但當圍壓增加到40MPa時，預先施加的圍壓約達到其單軸抗壓強度(59.286MPa)的2/3，已經對試件造成了徑向新的明顯損傷，在此損傷的基礎上試件壓縮破壞所需的豎向荷載僅為57.937MPa，即高圍壓引發的新損傷主導了后期壓縮過程，破壞原因簡單，致使巖石破壞斷口分數維基本降至最低。同時，各級放大倍數所對應的同尺度下的最大分數維，均出現在圍壓為20MPa時巖石的壓縮破壞斷口上，是進行分數維約化處理的基礎。

2 石灰巖損傷分形統計本構模型

2.1 單軸壓縮試驗分形損傷統計本構模型

巖石是一種復雜的非均質材料，其內部隨機分布著大量的微裂紋、微空隙等缺陷。假設巖石強度服從Weibull分布，其概率密度函數為

(1)

式中：ε為巖石試件的應變；m、F為Weibull分布參數，反映巖石材料的力學性質，可經由實驗確定[14-15]。

巖石材料的損傷由內部微元體破壞引起，設在某一級荷載作用下已破壞的微元體數目為Nt，與微元體總數N之比即為損傷變量D。所以，在任意區間[ε，ε+dε]內產生破壞的微元數目為NP(x)dx，當加載到某一水平ε時，已破壞的微元體數目為

(2)

將式(2)代入D的表達式，得

(3)

根據連續損傷力學的基本關系式，有

σ=Eε(1-δD)

(4)

式中：E為彈性模量；δ為從0到1變化的系數。

現將式(4)中的系數δ，用分數維約化處理后的數值f代替，即令f=分數維/同尺度層次最大分數維，得

σ=Eε(1-fD)

(5)

用分數維約化處理后的數值代替損傷變量的系數，即通過分數維來調節損傷變量的變化，建立了分數維與損傷程度之間的關系。而斷口上蘊藏的關于損傷破壞機理的信息，可以通過分形幾何學理論定量描述其復雜程度的途徑追溯，定量評價的石灰巖斷口復雜程度越高，表明其損傷程度越高。

將式(3)代入式(5)，得

(6)

式(6)即為單軸壓縮下巖石材料的分形損傷統計本構模型。

2.2 三軸壓縮試驗分形損傷統計本構模型

對于三軸壓縮條件下的巖石材料，有連續損傷力學的基本關系式：

σ=Eε(1-δD)+μ(σ2+σ3)δD

(7)

(8)

(9)

聯立式(8)、式(9)，求解得：

(10)

(11)

3 石灰巖損傷分形本構模型實例

3.1 單軸壓縮分形損傷模型的實例驗證

石灰巖單軸壓縮試驗曲線，如圖4中B。

圖4 單軸壓縮實驗曲線與模型理論曲線Fig. 4 Comparison between experimental and theoretical curves in uni-axial compressing experiment

分數維約化參數的處理是基于同尺度層次的最大分數維，由表2中的分數維可以計算得到石灰巖斷口各放大倍數所對應的分數維約化參數f；表1中的基本力學參數結合f，可以計算得到建立石灰巖分形損傷統計本構模型的參數m；表1中的基本力學參數結合f與m，可以計算得到參數F。石灰巖單軸壓縮細觀損傷分形理論模型的相關計算參數，見表3。

表3 石灰巖單軸壓縮分形損傷模型的計算參數

Table 3 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in uni-axial compressing experiment

倍 數×200×500×1000×2000×4000f0.96400.97200.98700.99200.9998m2.67582.38652.51532.60172.4474F/(×10-3)4.45904.45603.60204.52804.5380

將表3中的計算參數代入單軸壓縮下巖石材料的分形損傷統計本構模型即公式(6)，得到石灰巖分形損傷統計本構模型，繪制各細觀尺度下的應力-應變理論曲線，如圖4。可見5個尺度層次(或放大倍數)下單軸理論曲線的集中程度高，但其與試驗曲線B的符合程度一般，表明分形損傷理論模型在一定程度上可以反映石灰巖單軸壓縮細觀損傷破壞過程。

3.2 三軸壓縮分形損傷模型的實例驗證

3.2.1 圍壓20 MPa的三軸壓縮試驗

圍壓為20 MPa的石灰巖三軸壓縮試驗曲線，如圖5中B。

圖5 三軸壓縮實驗曲線與模型理論曲線(圍壓20 MPa)Fig. 5 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 20 MPa)

由表2可見，各尺度層次下圍壓為20 MPa時石灰巖斷口的分數維最大，所以各放大倍數所對應的分數維約化參數f均為1；僅通過表1中的石灰巖力學實驗參數，即可計算得到分形損傷統計本構模型建立所需的參數m；通過參數m及表1中的基本力學性質，可計算得參數F。因此在進行圍壓為20MPa的三軸壓縮實驗時，石灰巖的細觀損傷分形理論模型的計算參數中，分數維約化參數f為不變量。

將計算參數代入三軸壓縮下巖石材料的分形損傷統計本構模型即公式(8)，得到石灰巖分形損傷統計本構模型。由于計算參數f、m及F均為定值，因此各細觀尺度下的應力-應變理論曲線相同，繪制如圖5。比較理論曲線與實驗曲線，二者在峰前段符合程度高，表明分形損傷理論模型比較符合實驗結果，較好地反映了圍壓20MPa時石灰巖三軸壓縮細觀損傷破壞特征。

3.2.2 圍壓40MPa的三軸壓縮試驗

圍壓為40MPa的石灰巖三軸壓縮試驗曲線，如圖6中B。

圖6 三軸壓縮實驗曲線與模型理論曲線(圍壓40 MPa)Fig. 6 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 40 MPa)

由表2中的分數維計算得石灰巖斷口各放大倍數所對應的分數維約化參數f；通過參數f結合表1中的基本力學參數，計算得石灰巖分形損傷統計本構模型建立需要的參數m；結合參數f、m與表1中的基本力學參數，計算得參數F。統計石灰巖三軸壓縮(圍壓40MPa)細觀損傷分形理論模型的計算參數，見表4。

表4 石灰巖三軸壓縮分形損傷模型的計算參數Table 4 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in tri-axial compressing experiment

將表4中的計算參數代入三軸壓縮下巖石材料的分形損傷統計本構模型即公式(8)，得到石灰巖分形損傷統計本構模型，繪制各細觀尺度下的應力-應變理論曲線，如圖6。理論曲線與實驗曲線比較表明，在進行圍壓為40 MPa的石灰巖三軸壓縮實驗時，分形損傷理論模型同實驗結果的符合程度最高，很好地反映了石灰巖三軸壓縮細觀損傷破壞過程。

4 結 論

1)引入分形幾何學理論研究石灰巖壓縮破壞的實驗斷口，應用分數維定量追溯其細觀損傷破壞原因。

2)隨著試驗圍壓的提高(<20 MPa)，石灰巖壓縮破壞斷口的分數維增大，其細觀損傷破壞過程趨向復雜；試驗圍壓提高到巖石單軸抗壓強度約2/3時，新生徑向損傷主導了后續簡單的壓縮破壞過程，石灰巖細觀損傷斷口的分數維最小。

3)引入分數維約化指標，構建了描述石灰巖破壞特征的分形損傷統計模型，同實驗結果的符合程度較高，在細觀尺度上比較理想地反映了石灰巖的損傷破壞過程。

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(責任編輯：朱漢容)

Fractal Geometry Analysis on Complexity of Limestone Fracture Mesoscale

LIU Chuanxiao1, WANG Long2, ZHANG Xiaolei1, LI Maotong1, ZHOU Tong1

(1. School of Water Conservancy and Civil Engineering, Shandong Agricultural University, Tai’an 271018, Shandong, P. R. China; 2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, Hubei, P. R. China)

The stress-strain time series and rock damage experimental fractures were obtained by laboratory uni-axial and tri-axial compressing experiments on limestone. The experimental fractures with the compressive failure of different confining pressures were analyzed by scanning electron microscope imaging experiment. Fractal dimensions in mesoscale space of limestone fractures were calculated to trace the damage feature quantitatively. The general rule that when the confining pressure increases (< 20 MPa), the compressive failure process inclines to be complicated and the fractal dimensions of limestone factures increase was obtained. When the confining pressure increased to about 2/3 uni-axial compressive strength of rock, latter compressing process may be controlled by new radial damage caused by high surrounding pressure, which resulted in that the final failure cause tended to be simple and the fractal dimensions of rock damage factures tended to be the minimum. The fractal dimension reduction index was introduced into the basic relation of continuum damage mechanics, and a fractal damage statistical model describing mesoscale failure mechanism of limestone was established. Comparing with the stress-strain test results, it is indicated that the fractal damage theory model is fitted with the experimental relation curve and can ideally reflect the strain softening feature of limestone tri-axial compression test. The proposed model is a valuable discussion for mesoscale failure mechanism of the damaged rock.

geotechnical engineering; limestone; damage; fractal geometry; mesoscale

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.13

2016- 01-10；

2016- 02-22

國家自然科學基金項目(51004098；51574156)；山東省自然科學基金項目(ZR2014DM019)

劉傳孝(1970—)，男，山東郯城人，教授，博士生導師，主要從事非線性動力學、計算力學、巖土力學與工程方向的科研與教學工作。E-mail: Lchuanx@163.com。

TU451

A

1674-0696(2017)07-077-06