笛卡爾創(chuàng)立解析幾何之思

何小菲++程懿

摘要：笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)的最大成就，它實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和幾何的有機(jī)整合，為微積分學(xué)的建立創(chuàng)建了條件。本文結(jié)合笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的經(jīng)歷，提出了在興趣、獨(dú)立思考、方法、專(zhuān)注、有機(jī)結(jié)合思想等幾個(gè)方面的反思。

關(guān)鍵詞：笛卡爾；解析幾何；反思

勒奈·笛卡爾是偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家，解析幾何的創(chuàng)始人，被黑格爾稱(chēng)為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他的哲學(xué)與數(shù)學(xué)思想對(duì)歷史的影響深遠(yuǎn)，其理性思想為近代哲學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

笛卡爾最大的貢獻(xiàn)之一是創(chuàng)立了以建立坐標(biāo)系為核心的解析幾何，整合了代數(shù)和幾何。他引進(jìn)坐標(biāo)用代數(shù)方程表示曲線(xiàn)，通過(guò)對(duì)方程的討論來(lái)給出曲線(xiàn)的性質(zhì)，首次確切地陳述了用方程表示一般圖形的方法程序，巧妙地把過(guò)去對(duì)立著的兩個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，并且引入了變量思想，使運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，解決了幾何中的點(diǎn)與代數(shù)中有次序的實(shí)數(shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，是17世紀(jì)數(shù)學(xué)的最大成就。在現(xiàn)代社會(huì)中有非常重要的應(yīng)用，例如衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的原理；計(jì)算機(jī)屏幕中每個(gè)像素就是以其在平行與垂直坐標(biāo)位置中的一對(duì)數(shù)字來(lái)表示；圖表、地圖、數(shù)字圖片，還有工程設(shè)計(jì)、太空航行及原油勘測(cè)，也都是應(yīng)用卡氏坐標(biāo)系統(tǒng)；在日常生活中許多含有變量的資料，可以用卡氏坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行分析；解決數(shù)學(xué)物理上的許多問(wèn)題，建立坐標(biāo)是一個(gè)更加簡(jiǎn)便的方式等等。

結(jié)合笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的經(jīng)歷，本文提出了以下幾點(diǎn)反思。

一、興趣是最好的老師

笛卡爾從小就對(duì)數(shù)學(xué)有著極大的興趣，他不斷積極探索，不僅認(rèn)真研究了古希臘的幾何代數(shù)的發(fā)展及難題，而且周游各地，專(zhuān)心尋求“世界這本大書(shū)”中的智慧，了解最新學(xué)術(shù)進(jìn)展。對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，是他研究解析幾何的不竭動(dòng)力。

在教學(xué)中，教師也應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)變成學(xué)生自己感興趣的事。例如課前一般先用情景導(dǎo)入或視頻、圖片導(dǎo)入等方法，科學(xué)課中講述科學(xué)家們的故事等，激發(fā)學(xué)生興趣，集中注意力于當(dāng)前的課堂；帶領(lǐng)學(xué)生做一些有趣的科學(xué)實(shí)踐，注重培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)，比如參觀(guān)科學(xué)博物館、觀(guān)察大自然、鼓勵(lì)閱讀科學(xué)書(shū)籍等等。

二、注重獨(dú)立思考

笛卡爾從小出生在戰(zhàn)亂年代的富裕家庭，身體虛弱，因此11歲之后才入學(xué)，同時(shí)得到了不用進(jìn)行晨堂課程的特權(quán)。這個(gè)特別的安排讓笛卡爾養(yǎng)成了一個(gè)終身的習(xí)慣：一覺(jué)醒來(lái)后可以躺在床上想想事情、做做功課，之后才開(kāi)始一天的生活。這讓他可以任意遨游在自己的想法中，不用受到緩慢課程進(jìn)度的影響。他學(xué)到了如何自我學(xué)習(xí)，特別是在數(shù)學(xué)研究上非常有用。他這種獨(dú)立思考的智慧，讓他可以在思想上快速發(fā)展，并在之后的人生中不受到傳統(tǒng)理論的影響，創(chuàng)造出嶄新的數(shù)學(xué)與科學(xué)知識(shí)。

在如今的信息化時(shí)代，我們更應(yīng)加強(qiáng)自己的獨(dú)立思考能力。當(dāng)面對(duì)媒體帶來(lái)的各種新聞和信息的沖擊時(shí)，我們不能盲目地跟風(fēng)，而要運(yùn)用自己的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行深入的思考，形成自己的見(jiàn)解。獨(dú)立思考也要求我們對(duì)事要有一個(gè)懷疑態(tài)度，也就是學(xué)習(xí)笛卡爾的“懷疑主義”。我們永遠(yuǎn)無(wú)法得到真理，只是在不斷靠近真理的途中。

三、對(duì)方法的學(xué)習(xí)比知識(shí)更重要

隨著學(xué)習(xí)的深入，笛卡爾越發(fā)覺(jué)得其他一切學(xué)科帶來(lái)的疑惑越來(lái)越多，他認(rèn)為教科書(shū)中哪些微妙的論證，不過(guò)是模棱兩可甚至前后矛盾的理論，而唯有數(shù)學(xué)能帶來(lái)確鑿的知識(shí)，給予他安慰，因此，他一直在尋找著一套方法，來(lái)解釋和認(rèn)識(shí)事物。他寫(xiě)的著作《方法論》開(kāi)頭就強(qiáng)調(diào)了方法的重要性而不是知識(shí)的重要性，而他的解析幾何也是屬于一種結(jié)合幾何與代數(shù)的解決問(wèn)題的方法。

知識(shí)是螺旋前進(jìn)和不斷更新的，學(xué)到的知識(shí)可能只適用與當(dāng)前或只適用于某一狀態(tài)下，比如牛頓的經(jīng)典力學(xué)和愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，因此掌握學(xué)習(xí)的方法比掌握知識(shí)本身更重要。方法的學(xué)習(xí)能夠讓我們更好地進(jìn)行探索和學(xué)習(xí)更多更新的知識(shí)，并應(yīng)用于生活。同樣地，在教學(xué)過(guò)程中，教科書(shū)上的也不一定是正確的，一方面是科學(xué)本身是一直在發(fā)展和進(jìn)步的，科學(xué)知識(shí)在不斷地更新；另一方面是為了適應(yīng)學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平，也就是前概念，教材會(huì)將一個(gè)事物的解釋簡(jiǎn)單化，從而有益于學(xué)生的理解，比如光合作用的進(jìn)行是否需要光。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考的重要性。

四、注重體驗(yàn)和自省

笛卡爾非常注重體驗(yàn)與自省。1618年，他加入了荷蘭王室的一個(gè)軍隊(duì)，想要學(xué)習(xí)戰(zhàn)爭(zhēng)的藝術(shù)，借由軍隊(duì)導(dǎo)出游歷和冒險(xiǎn)。因?yàn)樗亲栽笍能姡膊恢?，因此他有更多的自由和?shí)踐進(jìn)行數(shù)學(xué)和科學(xué)上的研究，并嘗試去發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)和科學(xué)背后的各種含義。在他成長(zhǎng)和游歷的期間，他總是能趕上世界上發(fā)生的一些大事，例如參加了國(guó)王的心臟安葬儀式等；同時(shí)，他在游歷各國(guó)時(shí)期，也了解了許多工程建設(shè)，對(duì)物理、數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用都有了更深的了解，他還曾運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)天賦幫助過(guò)船長(zhǎng)處理海上的風(fēng)浪。

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”。只有實(shí)踐，才能檢驗(yàn)真理。在教學(xué)過(guò)程中，教師也應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證理論，鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)應(yīng)用于生活。

五、專(zhuān)注的態(tài)度

在巴黎生活期間，笛卡爾下定決心專(zhuān)注于研究之后，與許多朋友保持距離，甚至悄悄搬家不告訴任何朋友新地址，以減少社交。他搬到了平和安靜而又帶有田園風(fēng)的地方，做一個(gè)單純的觀(guān)察者，心無(wú)旁騖地進(jìn)行自己的研究工作。然而，做事專(zhuān)注并不代表與世隔絕，把自己孤立起來(lái)。盡管笛卡爾減少了與當(dāng)?shù)嘏笥训纳缃?，但他非常注重?guó)際上學(xué)術(shù)的發(fā)展，并通過(guò)好友書(shū)信來(lái)了解最新動(dòng)態(tài)。1618年11月，笛卡爾偶然結(jié)識(shí)了其在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面的導(dǎo)師貝爾曼，之后雖然與貝爾曼之間的友誼出現(xiàn)了裂縫，但他因?yàn)橐恍W(xué)術(shù)上的信息共享仍保持著聯(lián)系。同時(shí)，他在荷蘭躲避社會(huì)人士期間，通過(guò)數(shù)學(xué)家梅森神父與歐洲主要學(xué)者保持密切聯(lián)系。

人的精力都是有限的，我們很難同時(shí)將很多事做好，因此，想要將事情做到極致，往往需要十分的專(zhuān)注與靜心。

六、有機(jī)結(jié)合的思想

笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，充分體現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合的思想。在1618年，笛卡爾萌發(fā)了用兩條正交直線(xiàn)表明坐標(biāo)來(lái)解決自由落體問(wèn)題的興趣，將數(shù)學(xué)和物理學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)；1619年，他利用數(shù)形結(jié)合原理解決了一個(gè)關(guān)于比例中項(xiàng)插入問(wèn)題，第二年2用此原理證明了用拋物線(xiàn)和圓的交點(diǎn)可求出四次方程的根，并具體標(biāo)出了圓的中心系那個(gè)對(duì)于拋物線(xiàn)的軸和頂點(diǎn)切線(xiàn)的距離，從而體現(xiàn)了坐標(biāo)方法，將幾何與代數(shù)有機(jī)地結(jié)合了起來(lái)。

其實(shí)很多時(shí)候，我們的前人已經(jīng)做出了許多從無(wú)到有的創(chuàng)舉，發(fā)現(xiàn)了許多新事物或者找到了自然界更接近真理的規(guī)律，亦或是創(chuàng)造出促進(jìn)人類(lèi)生產(chǎn)生活的新工具和方法。想要?jiǎng)?chuàng)造出完全全新的事物是很難的，尤其是在這各方面的發(fā)明都已經(jīng)許多、科技快速發(fā)展的時(shí)代，但我們可以將不同的事物相結(jié)合，從而使之碰撞出絢麗的火花，就如同笛卡爾將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造出劃時(shí)代意義的解析幾何。

參考文獻(xiàn)：

[1]阿米爾·艾克塞爾， 艾克塞爾， Aczel，等. 笛卡爾的秘密手記[M]. 上海人民出版社， 2008.

[2]笛卡爾， 江文. 笛卡爾文集[M]. 中國(guó)戲劇出版社， 2008.